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曲面积分习题课欢迎加入曲面积分习题课!本课程将介绍曲面积分的各种概念和计算方法,帮助你轻松应对这一难点什么是曲面积分曲面积分是多元函数的一种重要的积分形式,常用于计算物理场的通量和功通过对参数化曲面的积分,我们可以计算平面或空间场的流量、引力场的势能等曲面积分的物理意义流量电场通量磁场通量曲面积分可以用于计算物理场的曲面积分可用于计算电场通量,曲面积分也可以用于计算磁场通流量,如瀑布从悬崖壁上流下的帮助我们理解电场的分布与关联量,帮助我们理解磁场的传播与水流量影响参数化曲面的定义曲面定义参数化定义曲面一般指在空间中定义的一个三维表面,如将曲面上的任一点表示成参数的函数,则可用球面、圆柱面、锥面等参数方程表达曲面参数化方法曲面面积常用的参数化方法包括直角坐标、广义柱面、对参数化曲面在一定区域的积分即为曲面积分,广义圆柱面等可以求得曲面面积双向曲面的概念及其参数化方法双向曲面是具有两个不同法向的曲面,如马蜂窝球,球内外等它们的参数化方法与单向曲面略有不同,需要划分参数范围进行处理曲面积分的类型第一类曲面积分第二类曲面积分与标量函数的积分类似,对标量场在曲面上的积分与矢量函数的积分类似,对矢量场对曲面的流量进行积分第一类曲面积分的定义及计算方法第一类曲面积分是指对已知的(标量)函数在曲面上进行积分,可通过将参数化曲面代入积分式中计算此处不再赘述具体的计算方法计算第一类曲面积分的典型例题现给定一曲面和一函数,求该函数在曲面上的积分通过合理的参数化和计算公式,可以得到结果下图为一个典型的计算过程曲面积分式结果要进行曲面积分,需要先选定曲将参数化的曲面代入积分式中,根据计算公式,可以得到该函数面并进行参数化即可计算曲面积分在曲面上的积分第二类曲面积分的定义及计算方法第二类曲面积分是指对已知的矢量场在曲面上进行积分,计算矢量场通过曲面的流量可通过将几何体积除以时间,换算成流量值,再代入积分式中进行计算计算第二类曲面积分的典型例题现给定一曲面和一矢量场,求该矢量场通过曲面的流量通过合理的参数化和计算公式,可以得到结果下图为一个典型的计算过程曲面矢量场结果要进行曲面积分,需要先选定曲矢量场在曲面上的流量是曲面积根据计算公式,可以得到该矢量面并进行参数化分的主体元素场通过曲面的流量公式与曲面积分Green公式是一个关于二维平面向量的公式,它可以用来将曲面积分转化为线积分曲面积分的计算就会变得Green更加简单和方便根据公式计算曲面积分Green的方法公式可以将曲面积分和梯度积分相互转化当已知一个求导后为的标Green0量函数,并将它的梯度积分代入曲面积分式中,即可通过公式将曲面Green积分转化为梯度积分,进而计算曲面积分公式与曲面积分Stokes类似于公式,公式将曲面积分转化为与曲面边缘有关的线积分通过将曲面边缘参数化,并利Green Stokes用曲面曲率进行计算,可以较为容易地求解曲面积分根据公式计算曲面积分Stokes的方法通过取曲面的边缘,建立边界曲线,再将曲面积分转化为线积分,并代入公式,即可求解曲面积分问题由于建立边界曲线和计算曲率的具体Stokes方法略有不同,计算过程相对较为复杂流量与曲面积分流量是指矢量流经某个面的总量通过曲面积分的计算,我们可以得到物理场的通量值,了解矢量场在某个曲面上的传播和影响情况流量计算的曲面积分公式流量的计算常用第二类曲面积分公式,即将矢量场在曲面上的投影向量点积作为被积函数,通过参数化曲面计算积分流量计算的坐标系选择流量计算常需根据物理场的实际情况,在选定曲面时考虑合适的位置、方向和坐标系一般情况下三维直角坐标系较易进行计算,但在某些情况下面积分的计算可以统一到极坐标、圆柱坐标、球坐标等中进行流量计算的具体实例现给定一个矢量场和一个曲面,求该矢量场通过该曲面的流量通过合理的参数化和计算公式,可以得到结果下图为一个典型的计算过程曲面矢量场结果需要选取合适的曲面,并确定面要根据题意给定的矢量场计算通最后,我们可以求得该矢量场通积分所处的坐标系过曲面的流量值过曲面的流量流量是许多物理场计算中必不可少的元素,掌握流量的计算可以在很多领域都能得到应用曲面积分与实际应用力学中的应用电学中的应用曲面积分广泛应用于力学中,如对流体运动中流过曲面积分也可用于电学的计算中,如计算电场通过曲面的体积等的计算曲面的通量等感谢观看感谢大家观看本次曲面积分习题课,希望大家可以通过学习,掌握曲面积分的相关概念,加强对该领域的理解,提高对物理场和矢量场等复杂物理现象的计算能力祝大家学习愉快!。