还剩16页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
平面向量的分解定理向量是数学中重要的一种概念,平面向量是我们基础的概念之一这个PPT将会对平面向量的相关概念、原理、定理和应用进行详细的介绍什么是平面向量?概念及性质平面向量是拥有大小和方向的一种向量,由有向线段表示同一向量可以由不同的有向线段表示坐标表示使用笛卡尔坐标系,则表示在平面上向量的表示其中和是向量在$\vec{v}x,y$x yx轴和轴上的分量y平面向量的加法运算规则是什么?三角形法则1将两个向量首尾相接起来形成三角形,从同一个端点开始,另一个端点为和向量即可得到和向量的大小方向平行四边形法则2以两个向量的起点为定点,以两个向量为相邻边构成一个平行四边形,从构成平行四边形的定点出发引一条对角线,和向量即为对角线平面向量的数乘运算规则是什么?数乘的定义方向大小数乘即向量与纯量实数相乘,若,则数乘结果与数乘结果的大小为倍$k0$$|k|$仍得到一个向量原向量同方向;若,的原向量的大小$k0$则数乘结果与原向量反方向平面向量的模长及其性质?定义1平面向量的模长记作,是指由向量的起点和终点所成的线$\vec{a}$$\|\vec{a}\|$段长度性质2模长当且仅当向量零向量时等号成立$\|\vec{a}\|\geq0$.$\vec{a}$平面向量的点乘运算及其运算规则?定义1平面向量和的点积记作$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{a}\cdot\vec{b},是一个标量$计算公式2,分$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$$a_1,a_2,b_1,b_2$别是向量的坐标平面向量的叉乘运及其运算规则?定义1平面向量和的叉积记作$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{a}\times\vec{b},是一个向量$计算公式2$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}ijk\\a_1a_2其中,0\\b_1b_20\end{vmatrix}=0,0,a_1b_2-a_2b_1$$为三维坐标系的基本向量i,j,k$平面向量的基本性质和定理?共线定理平行定理垂直定理两个非零向量共线,当且仅两个非零向量平行,当且仅两个非零向量互相垂直,当当它们的比例为定值,即当它们线性相关且仅当它们的点积为$0\vec{a}=k\vec{b}$线性相关向量组的向量分解方法?线性组合向量分解如果是如果是$\vec{a}_1,\vec{a}_2,...,\vec{a}_n$$\vec{a}_1,\vec{a}_2,...,\vec{a}_n$一个向量组,那么任一向量都可以唯一个向量组,且其中一部分线性无关,则每个向量$\vec{b}$一地表示为与此线性无关向量组都有唯一的分解$\vec{b}=k_1\vec{a}_1+k_2的形式\vec{a}_2+...+k_n\vec{a}_n$平面向量投影的概念及其计算公式?定义1向量的投影是指在方向上$\vec{a}$的它的标量分量计算公式2向量在方向$\vec{b}$$\vec{a}$上的投影长度为$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|^2},向量\vec{a}$$\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}$平面向量的正交性及其判定方法?定义判定方法如果两个向量的点积为,则这两个向量互相垂直,判断向量和向量是否0$\vec{a}$$\vec{b}$我们称它们为正交向量正交,只需要判断$\vec{a}\cdot\vec{b}=0是否成立$平面向量组的正交化方法?施密特正交化给定一个向量组,将起始向量定为正交系,对于剩余向量进行正交化,处理后向量组中的任意两个向量均正交施密特标准正交化在施密特正交化的基础上,对正交化向量组中的向量,进行单位化,使得向量组中的向量模长都为1平面向量的分解定理的概念及其证明?定义证明对于正交向量组结合正交向量的定义,$\vec{a_1},\vec{a_2},...,$\vec{x}=k_1和任意一个向量,向量\vec{a_n}$$\vec{x}$$\vec{a_1}+k_2\vec{a_2}+...+k_n可以唯一表示为,其中与\vec{x}$$\vec{x}=\vec{a_n}+\vec{r}$$\vec{r}$$均正交进\operatorname{proj}_{\vec{a_1}}\vec{x}+\oper\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}$而得到atorname{proj}_{\vec{a_2}}\vec{x}+...+\operat$\vec{r}=\vec{x}-k_1orname{proj}_{\vec{a_n}}\vec{x}$\vec{a_1}+k_2\vec{a_2}+...+k_n\vec{a_n}$平面向量的分解定理的应用举例?平面向量加法平面向量投影对于向量组任意向量在向量方向$\vec{a_1},\vec{a_2},...,$\vec{b}$$\vec{a}$,可以将向量进行分解,上的投影\vec{a_n}$$\vec{b}$$再对每个向量分别进行加法也可\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}$以看做是一个向量组中的向量平面向量的极坐标表示法及其相互转换?极坐标表示法极坐标系下的加法运极坐标系下的数乘运123算算在平面直角坐标系中,向量可以表示两个向量在极坐标系下相向量在极坐标系下的数乘,$\vec{a}$为长度和方向加,只需将两个向量的极只需要将长度与标量相乘,$r$$的极坐标形式坐标相加即可不改变向量的方向\theta$$\cos\theta,\sin\thetar$平面内两条直线的夹角余弦公式?公式极坐标系下的推导设和为平面内的两条直线,设的极坐标表示法为$l_1$$l_2$$$l_1$$\cos\alpha,为它们的夹角,向量和,的极坐标表示法为\theta$$\vec{a}$\sin\alpha$$l_2$$是和的方向向,则$\vec{b}$$l_1$$l_2$\cos\beta,\sin\beta$$\cos量,则$\cos\theta=\frac{\vec{a}\theta=\cos\alpha,\sin\alpha\cdot\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}$\cos\beta,\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2b_1^2+b_2^2}}$平面向量的几何意义和物理意义?几何意义1向量描述的是具有方向和大小的物理量,如速度、力、位移等向量的方向表示物理量作用的方向,而向量的模长则表示物理量的大小物理意义2向量场(矢量场)是物理学中常用的一种描述性工具在物理学的各个领域中,经常需要用到向量场来描述力(电场、磁场、重力等)的作用平面向量在几何、物理、工程等领域的应用?工程绘图物理实验几何建模向量是工程绘图的一个重要工具,向量被广泛地应用于物理实验之在计算机图形学、制图和等CAD可以用来描述各种几何问题,如中,特别是在机械和电磁学领域领域中,向量在几何建模中有着夹角、距离和斜率等广泛的应用。