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人大微积分课件定6-2积分在几何上的应用欢迎来到人大微积分课程的第六章第二节!本节课我们将学习定积分在几何上的应用,探索它在计算面积、体积和质量等方面的神奇力量定积分的定义和意义定义1定积分是对函数在一个区间上的值进行求和的操作,可以理解为区间上各个小矩形的面积之和意义2定积分可以用于计算曲线下的面积、物体的体积和连续分布的质量等计算方法3通过将区间分割成无穷多个小矩形,然后将每个小矩形的面积相加,可以得到定积分的值定积分与区间长度的关系积分与长度短区间分割长区间近似定积分的值与曲线在区间上的当区间被分割得足够细致时,对于较长的区间,可根据定积长度有直接关系,较长的曲线每个小矩形的宽度将趋近于零,分的性质进行近似计算,节省将对应于更大的定积分值准确计算长度将更加可靠计算资源定积分的运算性质线性性质1定积分具有线性性质,即倍数关系、加法关系和分割关系区间可加性2对于两个区间,可以将它们的定积分进行分别计算,然后相加加法性3对于一个区间,可以将它分割成多个子区间,然后计算每个子区间上的定积分,再将它们相加定积分的几何解释计算曲线下面积计算曲线长度计算几何体体积通过将曲线下的区域划分成将曲线分割成许多小线段,通过将几何体切割成无穷多无穷多个小矩形,求和这些然后对每个小线段的长度进个小体积,求和这些小体积,小矩形的面积,即可得到曲行求和,即可得到曲线的长即可得到几何体的体积线下面积度曲边梯形的面积梯形面积公式计算过程梯形面积公式对于一个曲边梯形,可以通过将曲边梯形划分成若干个小矩曲边梯形的面积可以通过上底、将它近似为一系列矩形,计算形,计算每个小矩形的面积,下底和高的长度来计算,公式矩形面积之和,从而获得近似再将它们相加,即可得到曲边为面积=上底+下底×高的曲边梯形面积梯形的面积近似值÷2矩形法和梯形法的计算原理矩形法1矩形法是基于区间上某一点的函数值来计算小矩形的面积,然后将这些小矩形的面积相加得到定积分梯形法2梯形法是基于区间上两个点的函数值来计算小梯形的面积,然后将这些小梯形的面积相加得到定积分计算步骤3使用矩形法或梯形法计算定积分的步骤包括选择划分区间、选择近似方法、计算近似矩形或梯形的面积,然后将面积相加得到定积分定积分的上界和下界上界下界应用举例如果函数在区间上的每个如果函数在区间上的每个定积分的上界和下界可以点处的值都小于或等于一点处的值都大于或等于一用于估计函数在区间上的个常数,那么这个常数就个常数,那么这个常数就值,帮助进行近似计算是上界是下界。