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定积分的概念欢迎来到本课程!本节课将介绍定积分的概念和相关知识点什么是定积分数学定义定积分是求曲边梯形面积的极限值,也是区间上的面积和,是微积分的重要概念直观理解定积分描述了一个函数在区间上的累积变化,可以用于求面积、体积、平均数等问题定积分的意义和应用意义应用定积分是微积分的基础,让我们可以精确求解它广泛用于科学和工程中,如求曲线长度、决函数的变化量定转移函数、求解微分方程等定积分的符号表示定积分符号积分上下限将区间[a,b]和被积函数fx代入符号中,得到一上限b表示区间的末端,下限a表示区间的起点个数值结果被积函数fx是所要进行积分的函数,它定义了被积曲线的高度定积分的基本性质线性性积分中值定理单调性123可加性和可减性,即定积分满足中值定理,若在区间上始终fx fx[a,b]与的和的积分等于即所有定积分的和等于大于,则定积分在同gx0的积分与的积分区间长度与曲线平均值一区间上具有单调性和fx gx之和或差之积保号性定积分的计算方法牛顿莱布尼茨公式1-将积分求导,可以得到原函数原函数与不定积分都是表示定积分的重要方式分部积分2将积分转化为两部分,让被积函数在其中一部分上求导,另一部分求积分换元积分法3将被积函数的自变量进行代换,使原积分值变为新积分值定积分的常见函数三角函数指数函数sinx和cosx都可以用定积分表示,可以用于e^x的定积分是e^x本身,可用于求解无穷增长求解周期性问题或衰减问题对数函数lnx的定积分是xlnx-x+C,可用于求解复合增长或衰减问题定积分的反函数反函数定义定积分的反函数对于一个函数,它的反函数表示输出变量如果知道函数的定积分,那么可以通过求fx fx是的输入,输出变量是导反推出的函数表达式x fxy xfx定积分的积分区间闭区间开区间半开区间表示所有从到的所有表示所有在和之间的和表示所有在到[a,b]x a b a,b x a b[a,b a,b]xab值,都可以参与积分所有值,但和本身不参与之间的所有值,包括其中一ab积分个边界定积分的积分上下限下限上限积分的下限定义了开始计算区间的点积分的上限定义了结束计算区间的点定积分的积分域一元函数1定积分的积分域是一条对应函数在轴和积分区间上的区域x二元函数2定积分的积分域是在平面上的区域,积分函数是函数在此平面域内的投影xy定积分的面积表示左矩形法1按照函数的左端点在轴上的点作为x高度,等宽的矩形求和右矩形法2按照函数的右端点在轴上的点作为x高度,等宽的矩形求和梯形法3按照函数在小区间上对应的梯形面积求和,可以得到更加精确的结果定积分的体积表示回转体积壳体积法通常用来计算在两个函数之间按照曲线轴进行通过将旋转轴取站在函数的边缘,计算出由保旋转所形成的体积存于引共面上微小横行环张成的微小空间的体积盘体积法通过断面投影面积与不断影区间进行计算,可以求解较为简单的旋转体积问题定积分的微元法微元法原理微元法应用微元法是将被积函数分成若干个微小的元素,微元法可以用于计算定积分的瑕积分、曲线积每个元素的贡献可以表示为微小面积与微元函分、曲面积分等,是微积分中的常见方法数值的乘积定积分的瑕积分定义1瑕积分是所要求解的曲边梯形面积存在间断点、奇点或无穷处时的积分算法2常见的方法包括去瑕法、主值法、留数法等,具体取决于不同的单独分积分应用3瑕积分可以用于求解振幅、深度、质量、能量等问题,是微积分中的重要工具定积分的曲线积分定义曲线积分是沿着给定曲线的积分,在物理和数学中很常见算法通常使用换元和路径分段方法求解,可用于求解能量、位移、势能等问题定积分的路径无关性矢量场定义保守场定义路径无关性可以通过矢量场的定义进行证明,该保守场是指通量积分对于路径没有依赖性,可以定义称为黎曼条件用来描述物理中的力场、磁场等定积分的曲面积分定义算法曲面积分是对曲面上的函数进行积分,通常应可使用高斯公式、斯托克斯公式等方法求解用于流量、面积、压力等问题定积分的环量积分定义公式12环量积分是确定在一个封闭路径上的矢量积分值等于曲线沿着正方向的矢量场积分场,用来计算该路径与矢量场之间的旋度值加上曲线沿着负方向的矢量场积分值定积分的一般形式椭圆积分伽玛函数椭圆积分是代表椭圆曲线上的长度、弧度、面积伽玛函数是反比例因子,它可以用于求解积累发等量的常数生数量在不断增加的概率分布定积分的数值解法梯形法1将区间分成多个小区间,每个小区间按照梯形形状进行大概估算可以用于求解较为简单的问题辛普森法2将区间分成多个小区间,每个小区间按照二次曲线形状进行更加精确的估算,具有高精度和较高的运算成本数值微积分3通过使用数值微积分方法,如泰勒展开、拉格朗日、牛顿-科茨等方法,求解定积分的数值解。