北京大学数学物理方法经典课件第十三章-变分法

数学物理方法经典课件第十三章变分法-本章将为您介绍最基本的变分法概念和相关定理，以及如何使用变分法解决各种实际问题函数的极小值与极大值定义函数在定义域内的最小值和最大值关键点最值存在的必要条件是定义域闭区间内的连续函数示例如何用变分法求出一个函数的最值变分法的基本思想历史基础概念适用范围变分法最早由欧拉提出，即泛函、变分、变分的充常用于动力学、力学、量用于解决弦的振动问题分性条件等子力学等领域变分法的求解步骤确定待求泛函1直接用泛函与变量表示问题建立变分问题2用变分得到待求项的求解方程求解欧拉拉格朗日方程3-得到变量的解方程欧拉拉格朗日方程-欧拉方程拉格朗日方程欧拉拉格朗日方程-第一变分对的变分对求取极小值得到变量的将欧拉方程与拉格朗日方程E=0L解方程结合在坐标系中的欧拉拉格朗日方程-名称公式说明笛卡尔坐标系中的欧拉用于解决笛卡尔坐标系中-Euler-Lagrange拉格朗日方程的问题Equation inCartesianCoordinates极坐标系中的欧拉拉格用于解决极坐标系中的问题-Euler-Lagrange朗日方程Equation inPolarCoordinates广义坐标系中的欧拉拉适用于任意坐标系，常出-Generalized Euler-格朗日方程现于复杂动力系统的求解Lagrange Equation中变分法在物理学和天文学中的应用双摆问题天体轨道问题哈密顿力学问题一种常见的非线性动力学系变分法常用于计算质点在引变分法与哈密顿力学紧密相统，可以用变分法求解力场中的轨道关，许多哈密顿系统的解可以通过变分法求出变分法在数学中的应用变分计算强野健次郎猜想数学物理方程123一种组合数学问题，猜想的证明中大量使许多数学物理方程，变分法在计算中扮演用了变分法例如极小表面问题、了重要角色图像处理等，可以通过变分法求解变分法在材料力学中的应用应变能的计算塑性问题可逆膜过滤器变分法可以用于确定起伏变分法非常适合求解包含变分法可用于生成优化的不平的表面的应变能材料的塑性问题，特别是薄膜结构，从而获得理想在三维情况下的可逆膜过滤器变分法在量子力学中的应用方程量子力学密度矩阵方程Schrodinger描述微观体系的状态演化和许多量子力学问题需要使用在许多物理学领域中都需要规律变分法进行求解使用变分法求解此问题变分法在非线分析中的应用函数极值极化问题局部算子问题变分法可以用于确定一变分法可以用于计算非变分法可用于寻找局部个局部最优解，即使它线性偏微分方程的极化算子问题中的局部极小不是全局最优解问题解问题函数的应用Green函数在物理力学和数学中都具有广泛的应用使用变分法，我们可以确定函数，并Green Green将其用于一些物理学和数学问题中变分法与变换Lagrange变换乘子Lagrange Lagrange将力学问题转化为泛函问题，是变分法中重通过乘子法，我们可以让变分法Lagrange要的概念之一在不同价值的条件下计算最优解哈密顿力学中的变分法定义哈密顿的主要目标是寻找粒子和场的运动方程，在这个过程中变分法帮助寻找优化方案使用场景哈密顿力学中的变分法有着非常广泛的适用场合，可以用于计算所有类型的问题计算方法使用变分法和哈密顿力学的极小值原理，我们可以找到研究问题的最优解变分法的数学形式变分法可以有多种形式在一些情况下，我们可以将它看作是一个泛函或一个微分方程，而在其他情况下，我们可以将它看成是一个优化问题或一个最大化二次型问题变分法与最优化问题单目标优化问题1变分法和单目标优化问题之间有着深入的联系多目标优化问题2变分法可以用于多目标问题，例如基于熵优化的多目标逆运动学问题约束优化问题3变分法可以用于解决受多个限制条件影响的优化问题，例如受多种地质应力影响的裂隙网络的最优剖分问题常见问题的变分方法求解拉布拉斯公式电荷分布问题通过变分法，我们可以用拉布拉斯公式解决变分法结合不等式制约条件，可以用于计算最优无约束分割的问题，以及最优定向树形电荷分布，在地震学、海洋学和地质学中的结构的问题应用变分法的应用展望随着各领域越来越高难度问题的累积，变分法的应用领域也会不断拓展未来，变分法将成为解决各类重大问题的可靠工具。