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二次型及其标准型这是一场讲述二次型及其标准型的课程,我们将深入探讨它们的定义、分类和转化方法,以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点,希望您能够收获满满
一、二次型的概念定义矩阵表示二次型是一个多元实数函数,其中自变量的任意二次型都可以表示成矩阵的形式二次齐次部分称为二次型对称矩阵特征矩阵与某一二次型对应的矩阵为对称矩阵每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向量
二、二次型的分类正定二次型负定二次型半正定二次型在全空间内取正值,且仅在零在全空间内取负值,且仅在零在全空间内取非负值,且在某点处取零值点处取零值点处取零半负定二次型在全空间内取非正值,且在某点处取零
三、二次型的标准型消元法1通过矩阵初等变换将二次型化为标准型完成平方项法2通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型正交变换法3通过正交变换使得二次型化为标准型
四、实对称矩阵的对角化对角化定理任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化特征矩阵其特征矩阵是一个对角矩阵,对应的特征向量即为变换矩阵的列向量正交矩阵变换矩阵是一个正交矩阵,即其转置等于其逆
五、二次型的规范化规范化定理奇异值分解优化问题中的应用每个二次型都可以通过正交变通过奇异值分解,可以将任意在优化问题中,可以通过规范换达到规范形式,其中自变量矩阵化为一个对角矩阵和两个化二次型来处理一些特殊情况部分是平方项相加的形式,而正交矩阵的乘积系数全是或10
六、提高拓展多项式对称型奇异值分解与最小二乘法12一类特殊的二次型,在某些应用领域有重将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到要作用一种快速求解带权重线性最小二乘问题的方法。