[其它考试]线性代数课件：12第六章实二次型

线性代数课件第六章实二次型本章将深入探讨实二次型的各种性质和应用，包括定义、特征值、正负性判定、标准型、正交对角化和合同矩阵等内容让我们开始深入学习吧！实二次型的定义和性质定义性质特殊情况实二次型是一个关于实向量的实二次型具有对称性和二次齐平方和函数是实二次型的一种二次多项式次性特殊情况实对称矩阵的特征值和特征向量特征值特征向量特征值特征向量方程-实对称矩阵的特征值都是实数特征向量是实对称矩阵对应特征值特征值特征向量方程是实对称矩-的线性无关解阵的特征值和特征向量的定义正定、负定、半正定和半负定实二次型正定实二次型负定实二次型半正定实二次型半负定实二次型对于任意非零实向量，对于任意非零实向量，对于任意非零实向量，对于任意非零实向量，都有二次型的值大于零都有二次型的值小于零都有二次型的值大于等都有二次型的值小于等于零于零用特征值判定实二次型的正负性正定实二次型1特征值全为正数时，实二次型是正定的负定实二次型2特征值全为负数时，实二次型是负定的半正定实二次型3特征值全为非负数时，实二次型是半正定的实二次型的标准型和规范型标准型规范型对角阵实二次型的标准型是一种方便进行实二次型的规范型是实对称矩阵的对角阵有对称矩阵的特殊性质，是性质分析和计算的简化形式对角阵表示规范型的实现形式实二次型的正交对角化正交对角化过程1通过正交变换，将实对称矩阵对角化为对角阵特殊情况2实对称矩阵的特征向量可以两两正交应用3正交对角化可以简化实二次型的计算和分析实二次型的主轴定理定理实二次型的主轴是实二次型的一个基，通过正交变换可以将实二次型变换为以主轴为坐标轴的形式特点变换后的实二次型成为与原实二次型相似的实二次型重要性主轴定理为实二次型的性质分析提供了很多便利实二次型的规范形式和规范矩阵规范形式1规范形式是经过正交变换后的实二次型以规范矩阵形式表示规范矩阵2规范矩阵是实二次型规范形式的矩阵表示规范性质3规范矩阵是对角阵，其对角线上的元素称为规范形式的规范系数标准正交基下的实二次型矩阵标准正交基矩阵表示对角阵标准正交基是由实二次型的特征向在标准正交基下，实二次型的矩阵对角阵具有简洁的形式，易于计算量组成的正交基表示是对角阵和分析实二次型的矩阵特征值和矩阵特征向量矩阵特征值1矩阵特征值是实二次型的特征值，与特征值特征向量方程关联-矩阵特征向量2矩阵特征向量是实二次型的特征向量，与特征值特征向量方程关联-关系3矩阵特征值指明了实二次型的正负性，矩阵特征向量提供了实二次型的基。