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二次函数顶点坐标公式的推导过程在解析二次函数的图像特征时,我们常常关心二次函数的顶点坐标和对称轴本文将详细介绍顶点坐标公式的推导过程在传统方法中,通常采用完全平方公式求解二次函数的顶点坐标完全平方公式是指将二次项通过完全平方方式转换为形如$x-h^2$具体推导过程如下根据平面直角坐标系中的二次函数图像,可以确定二次函数的对称轴为垂直于$x$轴的直线任意一条垂直于$x$轴的直线在直角坐标系中的一般式都为$x=h$,其中$h$为该直线在$x$轴上的截距那么,$h$就是二次函数对称轴的$x$坐标接下来,我们假设顶点坐标为$hk$,其中$k$为$y$坐标由于$fx$的图像在对称轴上是对称的,所以该函数对应点的坐标应该分别对称在$x=h$轴上于是,可以将二次函数的一般式表示为$$y=ax-h^2+k$$要求出二次函数的顶点坐标,我们还需要推导出系数$a$和$k$的值由于二次项系数$a\neq0$,所以$a$是一个有符号实数如果$a0$,则二次函数图像向上开口,此时顶点坐标即为最小值点,也称为极小值点如果$a0$,则二次函数图像向下开口,此时顶点坐标即为最大值点,也称为极大值点接着,我们考虑从一般式$y=ax-h^2+k$中求解系数$a$和$k$的值对于一个开口向上的二次函数,它的最小值对应着顶点坐标设该坐标为$hk$,则有$$y=ax-h^2+k$$代入$hk$得$$k=ah-h^2+k\Rightarrowk=k$$由此可得,顶点坐标的$y$坐标$k$等于该二次函数的最小值接着,计算$a$的值我们已知该二次函数对称轴的方程为$x=h$,并且该函数在对称轴上的函数值为$k$因此,点$hk$是该函数的对称轴与最小值的交点即有$$y=k\quadx=h$$将$y=ax-h^2+k$带入上式并化简得$$k=ah-h^2+k\Rightarrowa=\frac{y-k}{x-h^2}$$于是我们就得到了二次函数顶点坐标公式对于二次函数$y=ax^2+bx+c$,其中$a\neq0$,其对称轴为$x=h$,顶点坐标为$hk$,其中$$h=-\frac{b}{2a}\k=f\left-\frac{b}{2a}\right=\frac{4ac-b^2}{4a}$$此即为二次函数顶点坐标公式的推导过程通过这个公式,我们可以快速准确地求解二次函数的顶点坐标和对称轴,帮助我们更好地理解和应用二次函数第PAGE页共NUMPAGES页。