a为不可约弱对角占优矩阵,则a为非奇异矩阵证明

a为不可约弱对角占优矩阵则a为非奇异矩阵证明要证明$a$为非奇异矩阵，我们可以证明$a$的行列式不为零假设$a$为不可约弱对角占优矩阵，那么对于任意一行$i$，有$\sum_{j\neqi}|a_{ij}|\leq|a_{ii}|$同时，由于$a$是弱对角占优矩阵，对于所有的$i$，有$\sum_{j\neqi}|a_{ij}||a_{ii}|$现在，我们考虑$a$的行列式根据行列式的定义，可以通过对$a$的某一行（或某一列）展开来计算行列式我们选择对第一行展开根据展开公式，行列式的值可以表示为$$\deta=\sum_{j=1}^n-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}$$其中，$M_{1j}$是$a$的第一行第$j$列的余子式，即将第一行和第$j$列删去后所形成的$n-1\timesn-1$矩阵的行列式我们可以观察到，对于任意的$j$，$M_{1j}$是以第一行为主对角线的矩阵，并且它的每一行之和都满足$$\sum_{k\neq1}|M_{1j}|\leq|a_{11}|$$根据不可约弱对角占优矩阵的定义，我们可以得知，对于$j=1$，有$\sum_{k\neq1}|M_{11}||a_{11}|$对于$j\neq1$，有$\sum_{k\neq1}|M_{1j}|\leq|a_{11}|$因此，我们可以得出结论$|a_{1j}||a_{11}|$对于$j\neq1$成立现在，我们来计算行列式的绝对值$$|\deta|=\left|\sum_{j=1}^n-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|=\left|\sum_{j=1}^n-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|$$由于$|a_{1j}||a_{11}|$对于$j\neq1$成立，所以我们可以写成$$|\deta|=\left|-1^{1+1}a_{11}M_{11}+\sum_{j\neq1}-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|=\left|a_{11}M_{11}+\sum_{j\neq1}-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|$$根据绝对值不等式的性质，我们可以得出$$|\deta|\geq\left||a_{11}M_{11}|-\left|\sum_{j\neq1}-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|\right|=|a_{11}M_{11}|-\left|\sum_{j\neq1}-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|$$由于$|a_{11}|$是一个正数，并且根据行列式的定义，我们知道$|M_{11}|$也是一个正数上述不等式可以继续简化为$$|\deta|\geq|a_{11}M_{11}|-\left|\sum_{j\neq1}-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|$$由于$|M_{1j}|\geq0$，所以我们可以继续简化为$$|\deta|\geq|a_{11}M_{11}|-\sum_{j\neq1}\left|-1^{1+j}a_{1j}M_{1j}\right|=|a_{11}M_{11}|-\sum_{j\neq1}|a_{1j}M_{1j}|$$由于$\sum_{j\neq1}|a_{1j}M_{1j}|\leq\sum_{j\neq1}|a_{1j}||M_{1j}|$，我们可以继续简化为$$|\deta|\geq|a_{11}M_{11}|-\sum_{j\neq1}|a_{1j}||M_{1j}|\geq|a_{11}||M_{11}|-\sum_{j\neq1}|M_{1j}|$$由于对于不可约弱对角占优矩阵，$|M_{11}|-\sum_{j\neq1}|M_{1j}|0$，所以我们可以得出$$|\deta|0$$综上所述，我们可以得出结论对于不可约弱对角占优矩阵$a$，它的行列式$|\deta|$不为零，因此$a$是一个非奇异矩阵第PAGE页共NUMPAGES页。