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xsinx的五次方积分要计算函数$x\sinx$的五次方积分,我们可以使用递推法首先计算一次方积分$$\intx\sinxdx=-x\cosx+\int\cosxdx=-x\cosx+\sinx+C_1$$接着计算二次方积分$$\intx\sinx^2dx=\intx\left\frac{1-\cos2x}{2}\rightdx=\frac{1}{2}\intx-x\cos2xdx$$$$=\frac{1}{2}\left\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\intx\cos2xdx\right=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{4}\intx\cos2xdx$$其中$\intx\cos2xdx$需要进行分部积分,将$x$作为被积函数,$\cos2x$作为积函数$$u=x\quaddu=dx$$$$dv=\cos2xdx\quadv=\frac{1}{2}\sin2x$$代入分部积分公式得$$\frac{1}{4}\intx\cos2xdx=\frac{1}{4}\leftx\cdot\frac{1}{2}\sin2x-\int\frac{1}{2}\sin2xdx\right$$$$=\frac{1}{8}x\sin2x-\frac{1}{16}\cos2x+C_2$$综上所述,二次方积分为$$\intx\sinx^2dx=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{8}x\sin2x+\frac{1}{16}\cos2x+C_3$$接下来计算三次方积分$$\intx\sinx^3dx=\intx\sinx\left\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{4}\sin3x\rightdx$$我们可以按照分部积分的方法进行计算,将$x$作为被积函数,$\sinx\left\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{4}\sin3x\right$作为积函数$$u=x\quaddu=dx$$$$dv=\sinx\left\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{4}\sin3x\rightdx\quadv=-\frac{3}{4}\cosx+\frac{1}{12}\cos3x$$代入分部积分公式得$$\intx\sinx\left\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{4}\sin3x\rightdx$$$$=\left-\frac{3}{4}x\cosx+\frac{1}{12}x\cos3x\right-\int\left-\frac{3}{4}\cosx+\frac{1}{12}\cos3x\rightdx$$$$=-\frac{3}{4}x\cosx+\frac{1}{12}x\cos3x+\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{36}\sin3x+C_4$$最后计算五次方积分$$\intx\sinx^5dx=\intx\sinx^3\sinx^2dx=\intx\sinx^31-\cos^2xdx$$我们可以先计算$\intx\sinx^3dx$,再计算$\intx\sinx^3\cos^2xdx$,最后相加得到结果根据上述计算,我们已经计算得到了$\intx\sinx^3dx=-\frac{3}{4}x\cosx+\frac{1}{12}x\cos3x+\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{36}\sin3x+C_4$对于$\intx\sinx^3\cos^2xdx$,我们可以采用同样的分部积分方法将$x$作为被积函数,$\sinx^3\cos^2x$作为积函数$$u=x\quaddu=dx$$$$dv=\sinx^3\cos^2xdx\quadv=-\frac{1}{3}\cos^3x+\frac{1}{5}\cos^5x$$代入分部积分公式得$$\intx\sinx^3\cos^2xdx$$$$=\left-\frac{1}{3}x\cos^3x+\frac{1}{5}x\cos^5x\right-\int\left-\frac{1}{3}\cos^3x+\frac{1}{5}\cos^5x\rightdx$$$$=-\frac{1}{3}x\cos^3x+\frac{1}{5}x\cos^5x+\frac{1}{15}\sinx\cos^3x-\frac{1}{35}\sinx\cos^5x+C_5$$最后将两次结果相加$$\intx\sinx^5dx=\intx\sinx^31-\cos^2xdx$$$$=\left-\frac{3}{4}x\cosx+\frac{1}{12}x\cos3x+\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{36}\sin3x+C_4\right$$$$+\left-\frac{1}{3}x\cos^3x+\frac{1}{5}x\cos^5x+\frac{1}{15}\sinx\cos^3x-\frac{1}{35}\sinx\cos^5x+C_5\right$$因此,$x\sinx$的五次方积分为$$\intx\sinx^5dx=-\frac{3}{4}x\cosx+\frac{1}{12}x\cos3x+\frac{3}{4}\sinx-\frac{1}{36}\sin3x$$$$-\frac{1}{3}x\cos^3x+\frac{1}{5}x\cos^5x+\frac{1}{15}\sinx\cos^3x-\frac{1}{35}\sinx\cos^5x+C$$其中$C$为常数项第PAGE页共NUMPAGES页。