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第一章习题
1.
11.2判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化并讨论它们的真值.J2是无理数.是命题,简单命题.p J2是无理数.真值:15能被2整除.是命题,简单命题.p5能被2整除.真值:03现在在开会吗?不是命题.4x+
50.不是命题.5这朵花真好看呀!不是命题.62是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p2是素数.q:三角形有3条边.pgq真值17雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.P雪是黑色的.q太阳从东方升起.p»q真值:082008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯*9太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.P太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.10小李在宿舍里.是命题简单命题.P小李在宿舍里.真值唯一.11全体起立!不是命题.4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.P4是2的倍数.q:4是3的倍数.pVq真值14是偶数且是奇数.pVqAr一pAqAr=S0l27由最小项定义可知道原命题的成真赋值为000010001111成假赋值为011X1001011』由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为pVqAr-pAqAr=1734563-ip-qaqar解-ip—qaqar=--pvqAqAr=PA-iqAQAF0既-iP-qaqar是矛盾式「p-qaqar的主合取范式为MoAMAM2AM3aMtAM5aM6aM7成假赋值为000001010Oil
100101111.
13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值vvA1
①pfq-*r;
②q-pfr.解p-q-r=—»pvq-r0—ipv—iqvr=—pv—qvr=—ipAqv—iqarv—irvpv—«pa—iqarv—1rvpv—ipAqv—«qaf=—PAqArv—ipAqA—«rv—ipA—iqArv—PA—iqA—«rvpA—qArvpa—qA—«rv-«p/\qAro£0123457q-*p^r=—qv—pvro—ipv—iqvr=L0123457所以两式等值2
①pfq=-p八q=pAqV-qVqApV—pOpAqV—p/\—qV—q/\pV-pA-qO—pAqV—pA—qVp八—qVmoViii2o£012p/\~q处原为-qAp不是极小项
②令A=pTqB二一p/\qC=—pAqV—pA-qVpA—qD=pIq则B*二~pVqp|q=D且ABC所以DA*C*C*二-pVqA^pV^qApV-qn012Z3所以
①!?
②
1.15某勘探队有3名队员,有一天取得一块矿样,3人判断如下甲说这不是铁,也不是铜;乙说这不是铁,是锡;丙说这不是锡,是铁;经实验室鉴定后发现,其中一人两个判断都正确,一个人判对一半另一个人全错了根据以上情况判断矿样的种类解p是铁q是铜r是锡由题意可得共有6种情况1甲全对,乙对一半,丙全错「p八一K0A-pA—irVpArArA—»p
①2甲全对,内对一半,乙全错一P八一qA—rA-pVrApApA-r
②3乙全对,甲对一半,丙全错一p/\rA-pAqV―qApArA—p
③4乙全对,丙对一半,甲全错一p/\rA—rA—«pVrApApAq
④5丙全对,甲对一半,乙全错―irApA-pAqVpA-1qApAr
⑤6丙全对,乙对一半,甲全错―«rApA—pA—irVpArApAq
⑥则
①V
②V
③/
⑤V
⑥ol
①0-1PA—qA—«pA—irArA—1pV—pA—ApArArA—pq0V0=02=—ipA—qA-rA—«pApA—«rV—«pA—,qArApApA—«r0OVO0O
③o——pAq八r/\—pV—«pArA—qApArA—^p=—pAqArV0=—ipAqAr
④o—ipArA—rA—pApAqV—pArArApApAq=0vo«o§=—^rApA—pAqApAfV-rApApA—^qApA—r=0VpA—A-r«pA—^qA-r©=-rApA—pA—«rApAqV—«rApApArApAq«OV0=0所以
①V
②V
③▽
④V
⑤V
⑥=—^pAq/XrVp/\—iqA—ir而这块矿石不可能既是铜又是锡,所以只能是
1.16判断下列推理是否正确,先将命题符号化,再写出前提和结论让后进行判断3如果今天是1号,则明天是5号今天是1号,所以明天是5号解前提pfq,P结论q推理的形式结构为p-q/\pfq证明
①p-q前提引入p前提引入q假言推理此命题是正确命题
1.162判断下列推理是否正确,先将命题符号化再写出前提和结论,然后进行判断如果今天是1号,则明天是5号明天是5号,所以今天是1号解设p今天是1号q明天是5号,则该推理可以写为pfq/\qfP前提pfq,q结论p判断证明pfq/\qfp=—P^qAqVp0—p-qV-qVp=——pVqV—qVpOpA—qV—qVp=~qVp此式子为非重言式的可满足式,故不可以判断其正确性所以此推理不正确3如果今天是1号,则明天是5号,明天不是5号,所以今天不是1号解:p:今天1号.q明天是5号.p—qA「qf「p前提:p-q-q.结论-«p.证明:
①p-q前提引入
②「q前提引入
③「p
①②拒取式推理正确1前提一1pA—q—^qVr—结论一ip.证明
①「qVr前提引入
②-T
③—《q
④—1pA—q
⑤一《pVq
⑥F即推理正确2前提pfqfsqpV—r结论rfs.证明
①pV—r
②r
③p
④pfq-s
⑤qfs
⑥q
⑦s由附加前提证明法可知,结论正确前提q-pq3ssnttAr.结论pAqASAE证明1tAF;前提引入t;1的化简s―t;前提引入s-t/\tfs;3的置换t-s4的化简s;25的假言推理q-s;前提引入q-s/\s-q;7置换s-q8的化简q;69的假言推理llqfp;前提引入p;1011的假言推理r1的化简PAQASAF6101213的合取所以推理正确18如果他是理科学生,他必学好数学如果他不是文科学生,他必是理科学生他没学好数学所以它是文科学生判断上面推理是否正确,并证明你的结论解P他是理科学生q:他学好数学广他是文科学生前提pfq,-]r-*p-|q结论r
①IP前提引入
②pfq前提引入
③1P
①②拒取式
④1r-*P前提引入
⑤r
③④拒取式
1.19给定命题公式如下pvqA-ro求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值解pvqA-irPqqrrqrppPqrpqrpqrpqrpqrpqrmmem5Vm4m
22、
4、
5、
6、
7.\pvqA-ir
0、
1、3既
010、
100、
101.110111是成真赋值,
000、
001、011是成假赋值
1.20给定命题公式如下」pAqtt求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值解-1pAqTT«PAqvropAqarv-irvpv-ipaqv-iqafopAqArvpAqA-irvpaqakvpA-iqArv-pAqArv-ipA-iqAronhvsvniTvnisvni3Vmi=m7vm6vn15Vm3vmioZl、
3、
5、
6、7/.-ipAqttun
0、
2、4既
001、01k10K
110、111是成真赋值,
000、
010、100是成假赋值例题例
1.25给定命题公式如下,用等值演算判断公式类型pAqfpVq解U—pAqVpVq0—pV-iqVpVq=—pVpV—qVqQ1V1ol所以为重言式p一q一p-q八q-p解p-q一p-q八qfpop-q一-q=p-qLp—q八p-qLp-q0p-qLp-qO「p—qVp^qo「pfqAqfpVp-qAq^p=「pfqV「qfpVpfqA「pfqV「qfpVqfp=1V-iq-*pA1Vq-polAl=1所以此式是重言式红色字体部分可删去-1p-qAq解-Ipfq/\qO-i-»PVqAqpA-iqAqopAJqAqup/\0o0由上使等值演算结果可知此式为矛盾式°pA「pcq=0-q=0-q八q—0=-i0vqA-iqv0=-q由此结果可得此式为非重言式的可满足式pfpvq;解p—pvqo-ipvpvq=-«pvpvq=lvq=1所以该命题公式是重言式pV—pqA—qArolf0Ar01—0ofVOo0所以为矛盾式pfqfpp解p-q-pp-«pfqVpp--pVqVpppA-iqVppPPp-p八p-p等价等值式pfP等幕律ipVp蕴涵等值式1所以该式为重言式例
1.25第8题pAqVpA—q=pAqVpApAqV—q=pVpAqVpApV-iqAqVf^pApVqApV—iq«pApV—.qOP或pAqVpA—^q=pAqV—»q=pAl=P为可满足式-npVqVr-ipA-iqA-ir-ipVqVr-«pA-iqA-ir-ipVqA-ir-1pA-iqA-ir-!pA-iqA-ir-npA-iqA-r-ipA-iqA-«rf-pA-qA-irA-ipA-iqA-rf-1PA-«qA-r-!pA-iqA-irf-.pA-iqA-ir-i-ipA-qA-irV-IpA-iqA-ir1所以该式为重言式pAqAr解是非重言式的可满足式,因为000是其成假赋值,111是其成真赋值是命题复合命题.P4是偶数.q:4是奇数.p/\q真值014李明与王华是同学.是命题,简单命题.P李明与王华是同学.真值唯一.15蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.P蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:
11.3判断下列各命题的真值.⑴若2+2=4则3+3=
6.2若2+2=4则3+3W
6.⑶若2+2W4则3+3=
6.4若2+2W4贝IJ3+3W
6.2+2=4当且仅当3+3=
6.62+2=4当且仅当3+3W
6.72+224当且仅当3+3=
6.82+2W4当且仅当3+3W
6.答案设P2+2=4q:3+3=6则pq都是真命题.lp-q真值为L2p--|q真值为
0.3-]pfq真值为L4-|pf-|q真值为
1.5pgq真值为
1.6p—nq真值为
0.7npoq真值为
0.8-|q真值为L4将下列命题符号化,并讨论其真值1如果今天是1号,则明天是2号P今天是1号q明天是2号符号化为p—q真值为12如果今天是1号,则明天是3号P今天是1号q明天是3号符号化为pfq真值为
01.5将下列命题符号化12是偶数又是素数2小王不但聪明而且用功3虽然天气很冷,老王还是来了4他一边吃饭,一边看电视5如果天下雨,他就乘公共汽车上班6只有天下雨,他才乘公共汽车上班7除非天下雨,否则他不乘公共汽车上班意思为如果他乘公共汽车上班,则天下雨或如果不是天下雨,那么他就不乘公共汽车上班8不经一事,不长一智答案1设p2是偶数,q2是素数符号化为pAq2设p小王聪明,q小王用功符号化为pAq3设p天气很冷,q老王来了符号化为pAq4设p他吃饭q他看电视符号化为pAq5设p天下雨,q他乘公共汽车符号化为p-q6设p天下雨,q他乘公共汽上班符号化为q-p7设p天下雨,q他乘公共汽车上班符号化为q-p或-«q—「p8设p经一事,q长一智符号化为
1.6设pq的真值为0;rs的真值为1求下列各命题公式的真值pVqArp-rA-pVsPAqVr-*pVqArAs4「pVqfr/\]pfrV-S解⑴pVqAr2p^rA-pVs3pAqVr-*pVqArAs4-«pVq-rA-PfrV-«s
1.7判断下列命题公式的类型1p—pvqvr解由真值表可知,该命题公式为重言式2pfpfp由真值知命题公式的类型是重言式31q-*pAp此命题公式是矛盾式4p—q一「q-「p解其真值表为:由真值表观察,此命题为重言式.5「p—qfqf「p解其真值表为:由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.7pV--pfq八「qA-t解:结论此命题为矛盾式
1.78p—qf—pVq.由此可以知道,上式为非重言式的可满足式.9pfq八qfr-pr解:该命题为永真式10pVq-r-s解:结论此命题为非重言式可满足式
1.8用等值演算法证明下列等值式1pAqVpA—^qOp证明pAqVpA—qopAqV—«q«pAl=P-1p-q=pvq/\-ip/\q证明-p—•qO「pfq/\qfp»^-.pvqA-.qvpipvqv—1—.qvp=p△「qvq△[p=pA-qvqApA-iqv-.p=pvqA-iqvqApv-ipA-iqv-ip»pvqAlAlA-iqv-p«pvqa-iqv-ip=pvqA-ipAq
1.9用等值演算法判断下列公式的类型-1pAq-p.解l-ipAq.p0-i-.pAqvp=-i-1pAqA-ip=pAqA—ip=pA-^pAq=07\q0即原式为矛盾式.p-qAqpnpnq解pfq/\qfp—p—qop»q3p—qopnqTpnqAp^qTpnq=P-qTp—qo」pnqvpcq=1即pfq八q-p-Kp-^q是重舌式3」pfqfqf「p.解一ipfqfqf「p=-.pVqV-qV-ipO-ipA-iqV-1qV-ip«-pVGpA-iqA-iqV-iqV-ip=-pV-ipV-qA-iqV-iqV-ip]»-.pV-iqA-ipV-iqo-ipV-iq或[pfq—q-「p=-pVqVJqV-p=^pA-iqV-.qV-ipO-1P八「qV-iqV-ip结合律o—pV—iq吸收律结论该公式为可满足式
1.121求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值pVqAr-pAqAr=一pVqArVpAqAr=-ipA-qV-«rVpAqAr=-•pA^qV-^pA-«rVpAqAr=-PA-«qArV-rV-«pA-»rAqV1qVpAqAr=^pA-iqArVipA-«qAirVipA-«qA-«rV^pAqA^rVpAqAr^-ipA-«qArV-^pA-iqAirVipAqA-rVpAqAr^-pA-qA-irV-pA-qArV-pAqA-TVpAqAr»mOVmlVm2Vm7=£0127故其主析取范式为pqrqArpVqAr00100pqrsP-r「P-ipVspmAipVs00110110PqrsqvrPAqVrPvqrAspVqArAspAqVr—pVqArAs0011100101Pqrs-1prA「Pq一r八「PpVqfrA-iprV「s-pVqfrAip一r0C11111111Pqrpvqpvqvrpfpvqvr000001001011010111011111100111101111110111111111P-1Ppf-1Ppf-1pf1P01111001pqqfPnqfp-|qfpAp001000i0101010011100pq—1ppfq「q-「pp—q一f-ip001i1110i101i1100i00111001i1Pq—1p-qqf「pp—qLqf「P0010i10i1i11100ii1110i00pqrpV-pqA--qFqA「qAFpV-pfqA-qA[r00010100001100000101010001110000100101001011000011010101111000pqp-qpVqTpVqpoqfTpVq001011010101100101111100Pqrpfqq-rp—q八qfrP-rA00011111001111110i0100110111111110001001101010111101000111111111PqrspVqpVqfrpVqfr一s0000010000101100100100011011010010101011000110110011111111111111110110110110011001011001100101011010111111000101。