Sobolev空间的建立

Sobolev空间

一、定义（-）弱导数的定义设对于给定的重指标，称为〃的a阶弱导数，如果存在函数使得对于\/好球成立济公=~\^tA^uDapdx.并记u=Dau.二Sobolev空间的定义对plm是非负整数，定义Sobolev空间WnpQ=〃CCl{〃|Dau€〃C|a|m}={w|wg〃QDaug〃O|a|根}.在W«C中引入范数]6小|/=归叫，18ML.p.q=max，〃二8\ct\imHs.C££.—dxy=WP口Mm|a|/«

0、、麒业〃Lq，P=8是赋范空间.⑴非负性当i〃8时，任意的〃£w〃g则帆”=工£|7|/‘公之0，_1_且MLp=oLZl力“〃1〃公犷=o=Dau=0对任意|a|m均成立o“二；lal^m当〃=00时，任意的〃£仍卬（），则ML〃=W1X且M〃p=0=max||Dfzz/||=0=Dau=0对任意|a区机均成立=«=0；ii齐次性当1«〃8时，任意〃£Wg0sK有网=«ZlFdg=时ZlDaU\Pdxy=冽M；\a\m\a\/n当〃=00时，任意〃wWMCBeK有网=熠.阙=尸麒I叫=刚I；iii三角不等式性:当1«〃8时，任意〃£Wg有.+W=LAD%+Vlpdxy=LzID\\p+\DavIdxy\a\ni\a\m£1£DauI”dxy+[ziDav\pdxy=m+Ml；\a\^m\a\^m当〃=8时，任意〃£WpQveWwpQ有仙十代麒忸〃+W卜嗨尸〃+g归悭M叫+xM=H+H-所以，Sobolev空间WPQ是一个赋范空间.

二、Sobolev空间的主要性质―完备性WQ是Banach空间.证明只要证明W是完备的.任取W〃Q中的Cauchy序列｛/》则忧一/儿〃-0ky-oc.而|小儿’=1£―阅\a\ni=£||%-/力力即仍〃力1区⑼是〃中的Cauch列，由〃的完备性知，存在丁£〃|区，使得zr/Sg/fg.在弱收敛的意义下，zr£-g即对任意£〃gL+L=i有pq£Dfjpdx-£gapclxjToo.特别对任意℃小，有L力阳x—Lgpdxjfoo.这是因为|[产力温3口”泌1[V—ga|.|9lc/x1炉力-g°L帆〃-0应用Holder不等式令1=0得[j»其中好crc.在利用弱导数的定义得，对于任意peC；Qj-co时有一-1严.泌.即当时，ZT力在Q内弱收敛于〃/记成Daf.弱收敛Q“/〃C由极限的唯一性，得ZT/=g£〃C\a\m且C/f8・这就说明，若｛/；｝是WiC中的Cauchy序列，则必存在/£W”Q使得力―/”/⑼―即wg是完备的.从而WC是Banach空间.-可分性当1«〃8时，W〃Q是可分的.证明只要证明当1W〃8时，C是可分的也就是说〃尸中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数3作■.k设尸表示所有有理数多项式全体，Pk=^if\feP}A=CjR#=1则户在Q中稠密.事实上，对/£C任意的£0由GC在〃中稠密知，存在g£C°g使得另外容易看出，0=00%.*=1故g属于某个C0Q“，利用weierstrass定理知，匕在C0C”J中稠密，也就是说存在丘小使得|二/|肯|.「，VxeQw.因为有界，故有\_心-川京广山上“少\_=Lig-〃ipY故其中，/gA=uh.这就说明户在〃q中稠密，且户是一个可列集，因而n A=AxAx…x》是dC可列的稠密集，即〃01工〃8是可分的，从而WQ也是可分的.三自反性:设1pv8则WQ是自反空间.

三、Sobolev空间的嵌入定理一设C具有锥性质B表示与R”中一上攵维平面的交集，1式左工〃，〃，为正整数，/为非负整数，\Wpg则有下列嵌入关系情形A假设nipn§.n-mp〈女〈〃则WfQ1rQpqn-inpWapgiWMgpqnpn-mpW*PQiWMg£n-mp情形B假设〃〃=〃，贝I」对1W攵有Wk矶C1W，Qpjqs.特别若〃=1则〃z=〃，这时当4=8时，上两式仍成立.情形C假设〃w〃，则以Q.―设具有强局部Lipschitz性质情形C假设〃p〃〃Tp则P情形C假设〃=〃i-lp则w…Q1cJaQ0czl.若p=ln=m-l则上式对a=1也成立.

四、建立Sobolev空间的意义随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的.但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题.广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev空间.它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。