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2023年大学生考研心得总结考研数学线性代数冲刺必看的重点向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节,而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展向量与线性方程组的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系1齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系齐次线性方程组可以直接看出一定有解,因为当变量都为零时等式一定成立一一印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况
1、有唯一零解;
2、有非零解当齐次线性方程组有唯一零解时,是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立,而当齐次线性方程组有非零解时,存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的故向量与线性方程组在此又产生了联系一一齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的2齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数经过“秩义线性相关、无关X线性方程组解的判定”的逻辑链条,就可以判定列向量组线性相关时,齐次线性方程组有非零解,且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量基础解系线性表示3非齐次线性方程组与线性表示的联系非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示,使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解行列式与矩阵行列式、矩阵是线性代数中的基础章节,从命题人的角度来看,可以像润滑油一般结合其它章节出题,因此必须熟练掌握行列式的核心内容是求行列式一一具体行列式的计算和抽象行列式的计算其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型,主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言,考点不在如何求行列式,而在于结合后面章节内容的比较综合的题矩阵部分出题很灵活,频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵相关的重要公式、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等特征值与特征向量相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容一一既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性牵一发而动全身本章知识要点如下.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质.相似矩阵及其性质,需要区分矩阵的相似、等价与合同.矩阵可相似对角化的条件,包括两个充要条件和两个充分条件充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量.实对称矩阵及其相似对角化,n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵二次型这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵,必存在正交矩阵使其可以相似对角化其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用这四个方面是历年考研数学线代部分的重点,希望考生以此为重点,由点及面,复习好线性代数这部分。