高斯滤波器和2RC滤波器

第五章高斯滤波器

5.1介绍高斯滤波器被广泛应用于表面轮廓分析美国标准美国机械工程师协会2002和国际标准国际标准化组织1996都对它进行了阐述高斯滤波器的权重函数滤波器在时域和空间域的定义如下S言为5」式子中a=Jln2/=

0.4697a是权重函数距离原点的位置，於是粗糙度中长波波长的截止频率通过对连续函数Sx进行傅里叶变换可以得到函数的传递特性，变化如下S/2=J^mSxeiAxdx=夫一―”石为eiAxdx=/一兀=彳沟

5.2从等式

5.2，能够看出该正弦波振幅有衰减其波长截止波长仅二3是

0.5因此在截止处，滤波器传递了50%下面的例子展现了，在给定权重函数下，其高斯滤波器传递曲线的样子范啰

5.1在给定空间域融xAc下，描绘高斯滤波器S其中让/lc=

0.8mm采样间隔Ax=ljim下面是MATLAB生成的代码，并且其所描述的图展现在图

5.1a图

5.】a绘制高斯滤波器芥=

0.8mmb高斯滤波器传递特性lambdac=

0.8;%inmmdx=

0.001;%inmmx=-lambdac:dx:lambdac;alpha=

0.4697;S=l/alpha*lambdac.*exp-pi*x/alpha*lambdac.A2;%generatetheGaussianfilterS=S/sumS;%normalizeounitsumplotxS;xlabel*Distancemm;ylabelWeightingfunction9;范例

5.2产生高斯滤波器S的振幅传输特性，并且评估正弦波的振幅传输特性，其截止波长2e=

0.8mm高斯滤波器的传递特性能够同样获得，通过借助第四章

4.4范例所示的矩形滤波器例程传递特性如图

5.1b所示该正弦波由

0.8mm波长组成，其振幅衰减为

0.53的阵列元素有11个因此高斯滤波器在截止频率处，传输量为50%留意在图

5.1b所示的传递特性中，可以清晰的看到，在其截止频率处有一个坡度过程，并没有直上直下的锐利过渡这意味着滤波器不能立即抑制全部波长小于截止频率的波长，而是在截止频率处使它们渐渐变弱这个传递特性也能够被描述通过直接对等式

5.2采样m=sizcSl;%lengthofGaussianfilter1=8;%lengthofaprofileisassumedtobe8mmn=l/dx;%numberofprofilepointsS=[zerosn/2-floorm/2I;S;zerosn/2-floorm/2-11];%centerthefillerandzero-padto8000longS^fftS;%DFTofSj=2:l:floorn/2+l^;%generatewavelengtharrayforXaxisof%transmissionplotwave=n*dx./j-l;scmilogxwavc100*absSf2:floorn/2+11;xlabclWavelengthmm;ylabel；Ainplitude%;

5.2高通和低通滤波器迄今为止描述的滤波器都是低通滤波器，由于它只能传递低频部分波长大于截止波长第3章和第4章所描述的矩形滤波器和步进滤波器也都是低通滤波器低通滤波器是一个平均滤波器由于它能产生一个光滑的轮廓一个滤波器也能够被设计成只传输高频的信号这种滤波器是众所知周的高通滤波器高斯高通滤波器的传递特性如下S/A=1-冷

5.3这个高通高斯滤波器在截止波特长也传递50%这是很重要的，由于它阐释了高斯低通和高通在传递上的互补性这可以表明高频信号与低频信号的差异仅仅表现在原始轮廓因此用两种不同滤波器同时捕获高频和低频信号是没有必要的

5.3用高斯滤波器量化粗糙度、波纹度和外形滤波器的输出是粗糙度，波纹度还是外形三者为专业术语，取决于滤波器的类型高通或者低通和截止波长的阈值如之前第3章所述，由于粗糙度，波纹度还是外形都有自己明确定义的带宽范围，所以构造带宽的上限和下限截止波长要符合各自要求ASMEB

46.1标准中定义截止波长曲卬作为波纹度的长波截止波长，M卬作为波纹度的短波截止波长，於作为粗糙度的长波截止波长，击作为粗糙度的短波截止波长M的选择等于加卬ASMEB

46.1与ISO11562两者都已经给出了截止波长的推举阈值除此之外，他们也供应了进一步的指导对于截止比率的选择例如，选择M与一个适当的Xc/as比率将限制探针的大小美国机械工程师协会2002滤波器与截止波长人相关联构成低通滤波器，与此相对应滤波器与截止波长2c相关联，则构成一个高通滤波器上述这对滤波器应用到轮廓上输出的是粗糙度假如想获得波纹度需要调整到人卬低通以cw高通外形通常包含了全部大尺寸波长，因此下端的截止波长为“；通常来说这样就足够了但值得留意的是在ASMEB

46.1标准中并没有定义小图

5.2举例说明白上述滤波器的不同图

5.2划分粗糙度轮廓、波纹度轮廓、外形轮廓的五种滤波器的传递特性Zy=25um^c=

0.8inm^.yHj=

0.8inmA.»v=8min//=8mm综上所述，很明显依据粗糙度或者波纹度的定义，我们需要两个滤波器同时操作来获得然而事实上有些简洁化的公共认可，这样通过一个信号的滤波操作也可以简洁的获得粗糙度或者波纹度首先，截止波长为人的低通滤波器有时可以被忽视，或者用自动滤波器仪器的初始数据其次一种状况是，轮廓长度通常并没有足够的长度去捕获外形，因此截止波长Acvv的高通滤波器并没有用到最终一种状况是，在第

5.2部分已经有所提及，采用高斯低通和高通滤波器的互补定义，可以用一个滤波器来评估粗糙度和波纹度截止波长zc的高通或者低通总的来说，粗糙度轮廓能够通过用一个截止波长为船的高通滤波器去过滤原始轮廓来获得波纹度轮廓与原始轮廓和粗糙度轮廓的区分是很简洁的在原始轮廓上应用高斯低通滤波器人就以获得波纹度的表面轮廓同样的这也是粗糙度轮廓与波纹轮廓和原始轮廓之间的区分无论怎么做，两者产生的结果是一样的

5.4截止波长的影响当2c增加，粗糙度轮廓的带宽将变大，因此应当增加振幅参数，例如Ad来计算粗糙度轮廓另一方面，同样的截止波长将导致波纹度轮廓中的一些波长被移除，作为这个结果应当在计算波纹度轮廓时，减小振幅参数收I

5.5相位特性我们已经特别具体的争论了高斯滤波器的振幅传递特性，但是对于相位特性我们还没有提及高斯滤波器并不会使两个不同波长的正弦波产生相对的相位转变换句话说，每一个进入滤波器的正弦波形都会复现它进入时的相位特性，并不会发生相位转变这种相位不变的特性，也正是高斯滤波器的最大优点6总结高斯滤波器可能是今日被用的最广泛的滤波渊我们本章复习了它的定义和实现方法我也争论了高通和低通滤波器的定义而且我们还争论了高斯高通和低通滤波器是如何互补的，因此用两个滤波器操作获得粗糙度和波纹度是多余的高斯滤波器的相位不变性，使得它的输出不会扭曲变形练习通过对公式

5.2的连续采样生成一个高斯低通滤波器曲线假设比=

0.8mm采样间隔Ax=1pm和图

5.1b对比两者相同吗？生成一个如图

5.2所示的图，假设轮廓长度是1000mm采样间隔为Ax=1pm截止波长参考图

5.2所示写一个高斯函数文件myGaussian.m调用该函数需要给两个参数间隔和截止波长（两者单位相同），然后函数产生一个高斯低通滤波器，这个高斯函数是经过归一化的，为了使全部的权重统一用截止波长

0.8mm的高斯低通滤波器滤波2mm波长振幅为1pm的曲线z】，采用高斯滤波器的振幅传递曲线观看振幅衰减状况采样间隔参数为=1pm用同样的滤波器滤波

0.5mm波长振幅为

0.5Hm的曲线z2观看其振幅衰减状况依据练习

5.4和已知高斯滤波器的相位特性，计算并绘制滤波输出，高斯滤波器的滤波轮廓为练习

5.4争论的两个正弦波之和用空间卷积验证练习

5.4的结果并用

5.3制作的高斯滤波函数生成这个滤波器用频域积分验证练习

5.4的结果为了这个窗口能匀称排放这8000长度的数组，需要在高斯滤波器的空间域填补零点然后对滤波器和轮廓执行DFTs进行逐项积分用反向DFT进行评估并提取相关部分补偿相位（看

4.6的例子）这个波纹度轮廓肯定是和

5.5与

5.6中产生的轮廓相同，除了在边缘上可能有少许差别用空间卷积方法过滤练习

3.1中的轮廓z用三种不同截止波长的低通高斯滤波器，分别是

0.5mm

0.8mm和2mm从波纹度轮廓w上截取截止长度的一半计算波纹度轮廓卬中的职7其中Wa被定义为Wa=桀幽之，卬⑴是波纹度数组的第i个元素，〃是数组卬的长度随着截止波长的增加是仅，增加还是减小，为什么？参考文献美国机械工程协会2002ASME546/2002表面纹理（表面粗糙度，波纹度和花纹）ASME.美国.纽约国际标准化组织/996JSO〃562:/996几何产品规格（GPS）-表面纹理:轮廓方式-滤波器相位调整特性，\SO焉士日闪虱第6章2RC滤波器

6.1引言最早用于表面测量的滤波器是2RC流波器这种滤波器早期由硬件构成，现在已经可以便利使用软件执行2RC滤波器并不是一个线性相位的滤波器，并且对粗糙度和波纹度两个流波器需要区分来看待尽管2RC滤波器很早就被应用于表面轮廓漉波，但是却在高斯滤波器之后来争论它，是由于这种滤波器在执行时更具有挑战性的问题存在ASMEB

46.1标准（美国机械工程协会2002）对2RC滤波器有所提及，但是国际标准中并没有涉及该滤波器22RC高通滤波器从历史上来看，2RC滤波器仅仅被用于从原始轮廓中提取粗错度轮廓，因此文献报道中一般仅供应了2RC的粗糙度滤波器的权重函数为了猎取表面的波纹的轮廓，需要一个单独的波纹度权重函数（看练习

6.1）高通粗糙度滤波器的权重函数如下$）=卷（2-4号卜”-4勃

6.1其中A=

3.64x是权重函数距离原点的位置，〃是粗糙度长波的截止波长高通滤波器的传递特性可以通过对其连续传递函数S（x）做傅里叶变换可以获得SfW=（1-;7c^）-

26.2其中r1/遍并且j=口等式

6.1的权重函数是很重要的权重函数供应了一个轮廓的高频组成部分，但是空间卷积也是很重要的，它是一个平均处理的过程对等式

6.1的权重函数进行卷积，将得出一个“二等分线”二等分线和粗糙度轮廓是有区分的然而从公式

6.1并不能很清晰的看出两者的区分，假如读者对此很感爱好，可以看

6.3节，此节将对这个问题作出解释2RC滤波器在截止波特长的振幅衰减是75%o从公式

6.2推断此时z=Aco并且滤波器不具有相位不变的特性这意味的不同波长的正弦波其输出相位会有不同程度的偏移量这将导致在输出轮廓上消失失真，因此这并不是一个有用的特性尽管受此限制2RC滤波器仍旧被用了很多年，由于那时候的数字滤波器不能识别表面轮廓的起点下面的例子展现了2RC滤波器的这些方面例子

6.1绘制权重函数，振幅传输图，高通2RC滤波器的相频特性图假设截止波长Ac=

0.8mmu2RC滤波器的权重函数被生成在-2〃4%W0由于这个流波器关于原点并不对称事实上，滤波器在原点前沿是单边的传递特性能够用很多种方式生成，在这个例子中，我们将直接对公式

6.2采样图

6.1a-c分别展现了2RC滤波器的权重函数、振幅传输和相频特性lambdac=

0.8;%截止波长单位mmdx=

0.001;%间隔单位mmA=2pi/sqrt3;x=-21ambdac:dx:0;forj=l:l:lcngthx%生成权重函数Sj1=A/lambdac2-A/lambdac*absxj*exp-A/lambdacabsxj;endS=S/sumS;%单位归一化处理plotxSxlabelDistancemm;ylabclWcightingfunction*;lamda=

0.002:

0.001:8;%生成波长轴Sf=1-il/sqrt

3.lamda/lambdac.A-2;%对公式

6.2连续采样semilogxlamda100*absSf;%取肯定值%amplitudetransmissionxlabeKWavelengthylabclCAmplitudc%;%绘制振幅用“％”semilogxlamdaangleSf;%用角度绘制相位xlabclWavclcngthmm，；ylabelPhaseradians^;%绘制相位单位弧度图

6.1a两电阻两电容2RC滤波器的权重函数b振幅传输特性c相位特性例子

6.2用截止波长为

0.8mm高通2RC滤波器，按

3.1范例中所述的空间卷积方法生成一个滤波轮廓z2RC高通滤波器关于原点并不对称因此这个滤波器不得不在卷积的时候做一个关于原点的镜像来完成卷积过程回想一下卷积镜像操作的定义；用这个建立的镜像来做卷积和多项式相乘并且卷积后的轮廓长度为n+m-l其中n是原始轮廓的长度，m是滤波器数组的长度就对称的滤波器来说，来自卷子阵列中心的n个元素代表了波纹度轮廓，但是就2RC滤波器来说，n个元素代表二等分线这是由于滤波器数组的原点占有的权重比例最大，并且它是滤波轮廓的起始点在轮廓结束端，当滤波器从表面纪录时，滤波器的前部是在轮廓表面外边的，这时已经不能评价一个真实的平均移动了就高斯滤波器来说，权重最大的点是对称排列在中间的，并且卷积阵列的中心点在波纹度轮廓时，是被剔除的图

6.2a展现了原始轮廓，并且和一个二等分线轮廓图

6.2b展现了粗糙度轮廓图

6.2a用2RC高通滤波器生成的轮廓z和二等分线b用2RC高通述波器生成的轮廓z和粗糙度轮廓dx=

0.001;1=8;n=1/dx;x=0:dx:l-dx;zl=Isin2pi.x/2;%amplitudeIumwavelength2mrnz2=O.5sin2pi.x/O.5;%amplitudeO.5umAvavelengthO.5mmz=zl+z2;S=flipudS;%mirrorthenon-symmetricweighting%functionC=convSz;%convperformsasecondflipbefore%movingaverageMeanLine=Cl:n;%extractthefirstnpointsr=z-MeanLine;plotxzrxMeanLine「b;xlabelDistancemm^;ylabclAmplitudeXmum*;plotxzTxrxlabclDistanccmm;ylabeKAinplitude\mum;

6.32RC滤波器的深化介绍早期使用的2RC滤波落是实时性的当仪器经过轮廓表面，轮廓上的点以电压信号V7〃被输入到2RC电路网络滤波后的信号通过电压亦加被输出，并且经过处理转变为高度单位一个一介的RC滤波器的传递函数HA=Vout/Vin能够从任何标准的电气工程教科书上获得，其表达式如下*倦

6.3其中QJ是频率表达是=2兀/九/=口R和C分别是电阻和电容这个传递函数表达了滤波器的传递特性，并且是在频域被定义的因此，我们依据习惯把这里的/写成砌图

6.3展现了一个二介电路网络，其传递函数是一介电路网络函数的平方，因此其公式如下2RC滤波器定义了其截止频率〃处的传输为75%RC的取值在满意这种状况下能够获得通过如下公式将

①=2引入带入等式

6.4中，推到得7l-27r/C/Ac22+27T/C/Ac2绽开化简并计算得:RC=-

6.62n为了在空间域实现这个滤波器，我们需要一个权重函数的表达式我们能够通过对传递函数进行逆变换来得到这个权重函数让我们改写这个传递函数叫=1-忌;=1盗土+海秋湾7对其进行傅里叶变换得:⑷=6⑴-♦（2，）嬴8其中6（是单位脉冲“⑴是2RC滤波器的脉冲响应，其由两部分组成，一个部分是单位脉冲，另一部分是随时间变化的指数时变部分产生直流部分，脉冲产生瞬时沟通部分DC部分的权重函数能够通过对上式的RC值取代来获得，其公式如下S（%）=^（2-金超0WXV

86.9其中A噫图

6.3RC电路网络C是电容，R是电阻，Vg输入电压信号，V°ut输出电压信号脉冲响应回答了一个疑问，那就是早期为什么高通2RC滤波器只供应二等分线的权重函数这是显而易见的，权重函数仅仅捕获了脉冲响应的DC组成部分但是瞬时AC响应的组成（粗糙度轮廓）与原始轮廓和DC二等分线相比是有区分的最终提及一下，在75%条件下取代RC值的传递函数如卜.=（上丝_y=_

16.10’2Ci备不2RC滤波器和高斯滤波器的比较一个表面轮廓的例子（d_med-TypeDroughnessspecimen）能够被下载，从美国我国标准技术争论所（NIST踵于表面测量测试系统算法的网站」:（美国我国标准技术争论所；Bui和Vorburgcr2007）o在载入MATLAB之前，要删除开头和结尾的信息（开头的15行和结尾的后2行）这个轮廓被滤波用一个高斯低通滤波器其截止波长在

0.8mm这个同样的轮廓被滤波用一个2RC高通滤波器在相同的截止波长原始轮廓和高斯波纹度轮廓被展现在图

6.4a可以观看到，这个波纹度在波峰和波谷处是没有相位失真的相应对俄粗糙度轮廓被展现在图

6.4b原始轮廓和用2RC产生的二等分轮廓（不是波纹度轮廓），在截止波长为

0.8mm时的图像被展现在图

6.4c可以观看到，二等分轮廓移动了一个相位粗糙度轮廓被展现在图

6.4d由于相位偏移消失了失真（人为规定特性）并且应当留意到在图

6.4d展现的粗糙度轮廓中，其振幅通常是大于图

6.4b所展现的振幅的，尽管两者都是用同样的截止波长生成的这是由于2RC滤波器截止波长的传输量是75%对比2RC滤波器，高斯滤波器仅在截止波特长有5（）的传输量因此在截止波特长或其四周的波长将被传递通过2RC滤波器，因此其振幅相对较大总结2RC滤波器是最早用于表面测量的滤波器最早它被用硬件电路来实现，但是现在它已经能够便采用数字化来实现这个滤波器有一些缺陷（a）在粗糙度轮廓中它有一个相位的失真（b）粗糙度滤波器和波纹度滤波器需要分开处理⑹最终它有边缘失真现象在之后介绍的高斯滤波器相对的可以缓和2RC滤波器的这些缺陷从第五章可以知道，高斯滤波器是被数字化实现的它没用相位失真的影响，并且高通和低通具有互补性，因此可以仅用一个滤波器来获得粗糙度和波纹度两者轮廓表面但是高斯滤波器也有边缘失真的问题练习2RC低通滤波器的传递函数是4/二五:嬴声/二口这个低通滤波器在截止波特长的传输量为75%RC=磊，其中3=工权重函数Sx=骂e贵0%co/l=27rg并且传递函数被给出Hf=两念7=1富当用一个截止波长为

0.8mm的高通2RC滤波器滤波一个波长2mm振幅1即的正弦轮廓表面时，它的振幅衰减和相位角分别是多少？当滤波一个波长

0.5mm振幅

0.5um的正弦轮廓时，其振幅衰减和相位角又是多少？用高斯滤波器和这些信念重建一个滤波轮廓，对比两者之间的差异参考文献美国机械工程师协会2002ASMEB

46.1-2002表面纹理表而粗糙度、波纹度和花纹ASME.纽约，美国BuiS.H和VorburgerT.V.2007表面测量算法试验系，精密测量程vol.31no.3pp.218-225美国我国标准技术争论所NIST的网络资源NIST基于网络表面测量算法试验系统网站，网址，使用权日本

252022.盖思宝MDUSA怀特斯特、DJ和，用电磁波滤波器发觉表面纹理二分法等式，特勒霍布森.拉斯特英国生词和滤波专业词汇总结Surfaceprofile表面轮廓Filter滤波器Gaussianfilter高斯滤波器Long-wavelengthroughnesscutoff粗糙度的长波截止波长Transmissioncharacteristics传递特性Fouriertransform傅里叶变换Amplitudeattenuation振幅衰减Sinusoid正弦曲线SamplingInterval间隔High-PassFilter高通滤波器Low-PassFilter低通滤波器Phasecharacteristics相频特性Roughness轮廓粗糙度Waviness轮廓波纹度Form轮廓外形度Phasedistortion相位失真Sinusoidal正弦曲线Surfacetexture表面纹理。