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第二十二章量子力学根底学问1924年德布罗意提出物质波概念1926年薛定娉给出物质波的波函数根本动力学方程薛定得方程,玻恩对波函数统计说明1927年海森堡提出闻名的不确定关系海森堡、狄拉克、薛定蹲各建立矩阵力学、新力学和波动力学,形成了完好的量子力学理论教学要求理解实物粒子的波动性及试验,理解物质波的统计意义;能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长;理解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件,会简洁计算粒子的概率密度及归一化常数;落点位置分布渐渐显出肯定规律性,数目越多,规律性明显,(图5)2)电子分布最集中地方正好是衍射明纹中心的位置,电子分布几乎为零的地方正好是衍射暗纹中心的位置3)在试验条件一样下,不管开场时电子落点分布多么不规则,最终大量电子落点形成衍射图样都一样(大量电子不规则落点的群体行为遵从统计规律)
2、波恩统计观点说明衍射明纹地方,到达电子多,电子在这些地方出现概率大;衍射暗纹地方,到达电子少,电子在这些地方出现概率小,衍射条纹明暗分布及到达该处电子数目成正比,实物粒子的波动性是一种统计行为,实物粒子波是概率波(波恩统计说明不仅对电子波适用,其它微观粒子波动性也如此)*探讨1)物质波不是指微观粒子以波形式在空间运动,而是指粒子在空间各处出现的概率分布听从波的规律2)物质波是概率波的统计说明,不意味必需有大量粒子存在时才具有波动性,简洁误解为波动性是粒子间互相作用的结果3)单个电子具有波动性,电子自身及自身干预形成衍射图样波动性是微观粒子自身具有的特性4)在姿子力学的概念中实物粒子涉及经典波有明显区分实物粒子波不代表描绘粒子某一物理量在时空中周期性变更5)粒子在空间各处出现的概念分布呈现的波动表现一一概率波,保存波具有迭加性,不是经典波,是量子波6)实物粒子不是经典粒子,经典粒子在运动过程中有确定的轨道,实物粒子具有波动性,同一时刻,它出如今空间不同的位置具有不同的概率•…你不行能准确地知道它究竟出如今哪里,你只知道它出如今那里的概率,它没有轨道概念,只是一颗量子粒子量子粒子的统计行为遵循一种可以预言的波动图样,量子粒子及量子波是统一的§22-2波函数实物粒子具有波动性,其运动状态由概率波描绘*波函数:概率波的数学表达式称为波函数函数通常以P表示(一般是空间和时间的函数)不同的粒子,在不同的作用条件下,波函数的详细形式不同
1、粒子一维自由运动的波函数:能量石和动量〃恒定依据德布罗意关系,及自由粒子运动相联络的德布罗意波长hN=P德布罗意频率Eh(保持不变)在波动理论中频率和波长恒定的波为单色平面波(一无限长的波列),有也可表示成复指数函数形式将波长和频率代入上式,并以“表示波函数,为表示波函数振幅,可得(在一般状况下,表示实物粒子运动的波函数用复函数形式)
2、实物粒子波的强度用波函数描绘概率波,波函数应能表达粒子在空间各处出现概率大小(以电子双缝衍射为例理解两理论说明间关系)衍射明纹衍射暗纹由此可知粒子(电子)在某处出现概率大小正比于该处粒子(电子)波强度可将实物粒子波的强度表示为:(波函数模的平方,”*为波函数”的复共粗函数)
3、概率密度函数:考虑空间某点(XJZ)旁边的一个小体积元dV9若粒子出如今dV内的概率用如表示,P正比于该处粒子波的强度,即正比于波函数模的平方(假如将比例常数包含在波函数-中)则概率密度——粒子出如今单位体积中概率为:dpp=dV22-4率密度函数(波函数模平方等于波函数描绘粒子在t时刻出如今空间(xyz)处的概率密度)留意1)波函数意义波函数在经典物理中没有相对应力学量,也不具可视察测量的干脆物理意义波函数意义表达在波函数模的平方上,给出了粒子出现的概率密度,并以概率的形式供应有关粒子运动的全部信息,所以波函数又称为概率幅,其平方等于概率密度2波函数的标准化条件波函数必需保证粒子在任一时刻任一空间范围内出现的概率具有唯一性,并且不应在某处发生突变和变得无限大,这要求波函数满意单值,连续,有限的条件一一波函数的标准化条件3波函数的归一化条件任一时刻粒子在整个空间出现的总概率应当等于1JV42dV=122-5波函数的归一化条件例
22.3求沿x轴运动的自由粒子的概率密度函数解沿x轴运动的自由粒子的波函数为:—Et-xpy/xft=i//e方为一常数概率密度函数为可见概率密度为常数少4表示在“轴上各一样大小的区间内发觉粒子的概率均相等例
22.4一微观粒子沿x轴方向运动,描绘其运动的波函数为A一力Et1+立£(式中石为粒子能量,A为待定常量试求1概率密度函数;2x轴上粒子出现概率密度最大地方及概率密度大小;3粒子出如今[01]区间内的概率解
(1)概率密度函数(待定常数A由波函数的归一化条件(22-5)式确定)“1得卜故概率密度函数为(本例中概率密度刚好间无关,只由x坐标确定)⑵由夕8=(1+/),看出%=处夕(X,-)最大,即:
(3)(在某区间内粒子出现的概率为概率密度在该区间的积分)有粒子在x轴上[01]区间出现的概率为§22-3不确定关系
1、位置不确定量及动量不确定=实物粒子具有波粒二象性,只能用波函数描绘概率描绘无法预言粒子准确位置一一位置有一个不确定量,概率描绘同样无法预言粒子准确动量一一动量有一个不确定量,因此粒子在任一时刻都有一个位置的不确定量和一个动量的不确定量例如考虑一个沿X轴运动的粒子1)位置不确定量由于单个粒子位置不行预言(如电子双缝衍射单个电子落点位置)粒子的波函数在X轴上肯定有着某种伸展(如图)可见在©范围内波函数不等于零粒子在各处出现概率取决于波函数模的平方,©代表在X轴上可能找到粒子2)动量不确定量:图中波形只延长在有限范围内的波一一波包(不是单色平面波图形)依据付立叶变换波包是若干(直至无穷多)个不同波长的单色平面波迭加的理解不确定关系并作简洁的计算;理解薛定门方程及一维定态薛定常方程理解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤,学会用波函数求概率密度和发觉粒子的概率教学内容:§22-1波粒二象性§22-2波函数§22-3不确定关系§22-4薛定谓方程(简单,一维定态薛定博方程)§22-5一维无限深势阱中的粒子§22-6势垒隧道效应*§22-7谐振子*教学重点实物粒子的波粒二象性及其统计意义;概率密度和发觉粒子的概率计算;实物粒子波的统计意义一概率波;结果,包含的波长不单一,有肯定的波长分布子动量不单一,有一分布范E定量△「3二者的关系图示两个单粒子的波包,两个波包具有不同的Ax图®:粒子位置不确定量—大—位置相当不确定,波包包含不同波长相对较少,粒子动量不确定量P相对较小—动量较为确定图6粒子位置不确定量Ax小—位置比拟确定,波包包含不同波长相对较多,粒子动量不确定量邸相对较大—动量很不确定可知粒子波是概率波的性质确定粒子存在位置和动量不确定性,彼此关联制约
2、海森堡不确定关系(原理)1)在一维运动状况下不确定关系式(以x方向为例)粒子位置不确定量战及动量不确定量%乘积有一个最低极限值,即Ax・△夕丫X222-6海森堡不确定关系(原理)式中h==
1.0545887x10-34J-s2万普朗克常量/z=
6.626176x10-34Js普朗克常量)说明
(1)粒子的位置和动量不行能同时精确地确定粒子位置确定越精确(Ax小),同方向粒子动量就越不能精确确定大);粒子动量确定越精确(△夕X小),同方向粒子位置就越不能精确确定(Ax大)
(2)假如其中一方完全确定,另一方将完全无法确定例如粒子动量完全精确确定(允许),由可知粒子的位置将完全无法确定,有Axf8o例227中沿不轴运动的自由粒子波长完全确定的单色平面波,由德波知粒子动量确定,粒子波函数充满在X轴全空间,在X轴上各处发觉粒子的概率为一常数,粒子位置完全不能确定2)在三维运动状况下不确定关系式△y•Apy(22-7)用于定性分析及数量级估计,常简化为、h△y-Apyh(或,力)hAz•Apzh(或h)(22-8)
3、量子力学中能量刚好间的不确定关系式(还存在多组不确定关系)hhAE-Ar(九h)2222-9式中羽为粒子的能量保持在£能态所持续时间一一能态的寿命,△石为该能态能量的不确定量一一能量的宽度例如原子中电子可在基态能级经验随意长的时间,8因此原子基态的能级原则上是完全确定的但是原子各激发态寿命一般很短,平均寿命约为〜1弋,因此各激发态的能级有肯定的宽度馍、247当原子在各能级之间跃迁发光时,光谱线就必需存在肯定的宽度,一一光谱的自然宽度△叱或A2见图说明原子所放射的光谱存在着频率的不确定量或波长的不确定量,干脆确定光的单色性及光的相干性的好坏完毕语1)不确定关系的重要性不确定关系源于物质波粒二象性,表达物质世界根本属性,量子力学核心内容(费恩曼说“如今描绘原子及全部物质的量子力学都有赖于不确定原理的正确性J)2)不确定关系是量子效应(数量级为力或力)微观世界粒子质量和线度都很小,不确定关系起特别重要作用,量子效应凸显而宏观粒子质量较之为数量级大得多,可认为力(或入)-0不确定关系成立,但不产生实际效果,可用经典力理论探讨lim量子物理学=经典彩力-0(对应原理)例
22.5探讨电子单缝衍射试验,说明不确定关系的成立解一束动量为p的电子垂直射向宽度a单缝,屏上形成衍射条纹无法精确指出电子从缝中哪个位置通过,只能说“哪一点通过都有可能”因此电子在x方向位置不确定量就是缝宽,有
(1)电子发生衍射(有电子变更运动方向),出现不为零的X方向动量重量以衍射角9为例,电子动量沿方向的工重量为由于电子绝大多数落在中央明纹范围内,这局部电子动量“重量分布范E为:(其中是一级暗纹的衍射角)得X方向动量不确定量的大小为把德布罗意波长之=何夕代入单缝衍射公式(一级暗纹衍射角%):有故X方向动量不确定量的大小为/八=Psinp\=2比拟
(1)式和
(2)得到考虑到一局部电子在中央明纹以外有可见1)电子经狭缝时其位置限制在缝宽〃内,动量重量发生变更,两结果相伴出现不行能限制电子位置同时又避开动量发生变更2)若要电子位置尽可能精确确定,只有减小缝宽,而缝宽越窄,衍射图样就扩展越开,电子动量将越不确定;3若要使电子动量尽可能精确,只有增加缝宽,从而电子位置越不确定例
22.6用不确定关系△^・3%2方探讨以下问题1质量m=
0.01kg子弹从枪口射出,枪口直径4=
0.5cm估算子弹射出枪口时的横向速度;2威尔逊云室中显示高能电子径迹的液珠串的宽度为Ax=10—2mm估算电子的横向速度;3氢原子的线度约为估算氢原子中电子速度的不确定量及电子速度大小的比值解1取枪口直径为子弹出枪口时横向位置的不确定定量,即工七4,由=心也有△x•mAvvh22-10取等号进展估算及子弹飞行纵向速度每秒几百米微乎其微,子弹宏观粒子波动性不影响它“经典式”运动2忽视相对论效应以Ax=lr2nlm为电子横向位置不确定量,以Npx表示电子横向动量不确定量,并以心-△■工表示电子的横向速度,由22-10式取等号可见电子尽管是微观粒子,横向速度远小于纵向速度,仍看成经典粒子3氢原子电子位置不确定量即氢原子的大小-=l°T°m电子的速度不确定量为波函数的物理意义及不确定关系作业22-
01、22-
03、22-05v22-
07、22-
09、22-
11、22-13v22-
15、22-17v22-18v§22-1波粒二象性1924年,法国德布罗意在博士论文中提出“整个世纪以来,在辐射理论方面,比起波动的探讨方法来是过于忽视了粒子的探讨方法;那么在实物理论上,是否发生了相反的错误,把粒子的图象想象得太多,而过于忽视了波的图象?”德布罗意依据光及实物的对称性预言了实物粒子的波的频率和波长一德布罗意假设一实在物粒子都具有波粒二象性德布罗意按对称性及类比推论提出*物质波或德布罗意波可借助波尔的氢原子理论估算氢原子中电子的速度,由角动量量子化假设I=mprv=nh取基态n=l=a0=
0.529x10-10m所以可见此时电子速度不确定量及电子速度大小具有一样数量级电子波动性明显,经典意义速度已没有实际意义
15022.7波长为2=50hm的光沿x轴正向传播若光的波长的不确定量即谱线宽度A2=lO^nm试利用不确定关系.切之久求光子x坐标的不确定量解光子的波长不确定造成光子的动h由=几,可得光子动量不确定量及波长不确定量间关系代入Ax并取等号,可得光子位置不确定量可见由于在波动光学中等于光的相干长度(即光波列长度),得知光子位置的不确定量等于光的波列长度例
22.81974年丁肇中发觉J/〃粒子时测出粒子静止能量为3097MeV不确定量为
0.063MeV试用不确定关系方估算J7〃粒子平均寿命解由2方,取等号计算力破粒子的平均寿命为§22-4薛定蹲方程经典力学粒子运动学方程r=r(0由初始条件通过解牛顿方程量子力学粒子运动波函数〃(,/)不同粒子系统处不同力学环境,波函数不一样(怎样求解各种详细问题的波函数,找出波函数随时间空间演化的规律?)
一、薛定得方程(1926年,奥地利):粒子波函数〃
①,力应遵从的微分方程其非相对论的一般形式为:的质量V(r)——粒子所在外力场中的势(能)函数(力学环境)(结合粒子不同详细状况求解薛定猾方程,得粒子运动波函数量子力学中心问题)注含时间的薛定蹲方程一一粒子所在外力场中势函数t)随时间变更,通常相当困难,一般在特地的量子力学课程中探讨
1、定态薛定蹲方程粒子所处外力场的势函数不随时间变更,V=/(,),若波函数,,力可用分别变量方法,表示为含空间变量的〃⑺及含时间变量的/⑺的乘积,即其时间部份(证明略)为:式中E=Ek+V(包括动能颐和势能P在内的粒子总能量)波函数(r)=(r)・e(22-11)并移项得02022m;+;+:+(石—『)〃=dx2dydz2h1(22-12)定态薛定得方程又由-1Et可见波函数〃,/)=“(,)卜及〃)都描绘粒子空间概率分布不随时间变更……定态状态,”)——定态波函数(可由求解定态薛定娉方程得出)*一维定态薛定蹲方程(简洁状况)粒子在外力场V=V(%)中作一维运动,定态波函数为〃(%)需满意一维定态薛定娉方程22-13完毕语1)薛定娉方程是量子力学的根本方程,象牛顿运动方程是经典力学根本方程一样;2)波函数本身不是一个可观测的量可以测量的是表示概率密度的/、23)薛定向方程本身不行能由试验总结出来,更不行能由经典理论推导出来正确性已得到迄今为止所发生一切现象的证明薛定娉成认粒子波动性,从一个描绘波动的微分方程动身,把德布罗意关系式和一些明智揣测代入这个波动微分方程,从而得到了薛定娉方程(费恩曼说“它来自薛定谓的心灵”)§22-5一维无限深势阱中的粒子(这是定态薛定娉方程能解决的最简洁问题之一)一势阱设质量为m的粒子在一维势场中沿x轴作一维运动,其势函数为图(〃)的势能分布曲线形如深井一一势阱假如%一0%势函数变为0{0xaXx0xa势能曲线变成图(为的井深无限的势阱一一无限深势阱*无限深势阱(志向模型)粒子在阱内势能V为常量(V=0)不受外力作用,自由运动,在阱壁x=0和工二〃处,势函数突增为无穷大,粒子受指向阱内的无限大力作用,“势能墙”阻挡粒子向外运动,粒子局限在阱内例如:金属中电子可近似认为是自由电子,不受力的作用,势能为零或为某一常量当电子运动到金属外表处就要受到指向金属内部的引力作用,要逸出外表必一般凡局限在肯定区域内自由运动粒子都可采纳势阱模型探讨二一维无限深势阱中运动粒子的波函数定态问题由一维定态薛定丹方程2m/……E—Vwti22-13在^0和xa的阱外,由于V-8粒子波函数〃=,发觉粒子概率等于零在阱内势函数v=o定态薛定谓方程为令:22mEk乙—一为2(22-14)可得该简谐振动微分方程的通解为式中A、为一组待定常数(常数应符合波函数标准化条件要求波函数必需连续)探讨1)在阱外波函数”=,阱内波函数在x=0和%=a边界处须及阱外波函数连续连接,也必需为零,有明显A不等于零,否则阱内波函数以%)恒等于零,及事实不符,只能是因此,波函数详细形式应为2波函数还应满意归一化条件,由得3一维无限深势阱中运动粒子定态波函数为/、
12.几1casinx几=123…Vaa22-16三能量量子化概率密度函数
1、粒子在一维无限深势阱中能量22rnE由22-14式=%2和_117122-15试k=a得其能量为其波频率和波长分别为:v=E/2=/尸J(22-1)式中石一一实物粒子的能量P——实物粒子的动量德布罗意关系式探讨1)实物粒子涉及光的波粒二象性[(21-4)、(2L6)式]完全一样,宏观物体质量大,物质波长极短难以观测,微观粒子(如电子),其质量小,物质波长可观测到2)(22-1)式左边为描写“波”的物理量,右边为描写“粒子”的物理量3)经电势差U加速后的电子(初速度忽视不计,静质量%e)将获得动能,由相对论动「2h2E=〃Q2Sma22-17令则粒子能量为:(量子力学将这些能量值称为能量本征值或本征能量)(粒子的能级图)
2、概率密度函数定态波函数为
2.n7ix=JsinxVaa概率密度函数为可见量子数〃不同的粒子能量不同,不同位置出现概率分布也不一样(上图实线为本波函数虚线为概率密度函数必⑴)留意(上述量子力学结果及经典力学粒子行为迥然不同)1)经唾力学沏点.自由运动(在函内)的粒子在空间各处出现的概率是均等的,粒子若静止反人=,且V=0最低能量应当为零2)量子理论观点:+粒子在阱内各处出现概率不一样,粒子波在两壁间来回反射,相干迭加成驻波,干预相长地方一一出现概率大,干预相消地方一一出现概率小+粒子在阱内不行能静止不动,否则位置完全确定,动量完全确定防=0)不符合不确定关系!因此粒子零点能不行能等于零(量子世界不允许粒子静止!)Q(x)极大值位置及微小值位置靠得很近,特殊〃-OO其密集程度宏观上根本无法辨别,势阱内概率密度分布可认为常数——回到经典力学例
22.9⑴依据量子力学的观点,粒子在一维无限深势阱中作一维运动,粒子波在势阱两壁间来回反射形成驻波,试用驻波分析方法求出粒子的能量公式2用海森堡不确定关系Ax•△以2/z估算一维无限深势阱中粒子的零点能解;粒子局限在宽度〃势阱中运动为定态,对应德布罗意波为稳定驻波,并在两端点形成波节依据驻波条件,阱宽应是半波长的整数倍由德布罗意关系式h2=P得nhp=2a并留意到阱内势能v=o粒子的总能量为巨=跌,再由非相对论动量及动能的关系:可得粒子能量公式(量子化条件):(及薛定谭方程解一样)
(2)粒子在势阱中运动,位置的不确定量约为阱的宽度,即[动量的不确定量为对于最低能态粒子的动量P应大于至少等于动量的不确定量,此外,粒子可能朝左或朝右运动所以:得粒子的零点势(最低能量)为:试求限制在一维“盒子”(盒宽a=QAnm)中自由运动电子的能量和速度大小的可能值解电子的运动可视为在阱宽为a=
0.4nm的一维无限深势阱中运动由(22-17)式,电子可能具有的能量为电子在盒内自由运动,其能量就是它的动能,由得电子速率为例
22.11已知一维无限深势阱中粒子当粒子处于〃=2的定态时求1粒子出现概率最大的位置;2粒子出现概率最小的位置;3粒子出如今%到%=〃/2之间的概率解由定态波函数\
1.n7iWnx=JsinxVaa当粒子处于〃=2的定态时的波函数和概率密度函数分别为1粒子出现概率最大位置应是概率密度函数为最大值地方,即于是有解得当k=O:CL=4当k=\3x=a其它左值因“超出阱外而舍弃另外求概率分布最大的位置也可以采纳求极值的方法,dpdx=0以及d2P公2Vo即可2粒子出现概率最小位置是概率密度函数为最小值地方,即解得当女二0dp_cd2P令办=,心2得到3粒子出如今1=0到2间概率是概率密度函数在区间积分(所得结果及上图概率密度曲线下面阴影面积表示概率大小一样)§22-6势垒隧道效应(仅作理解)一单壁势垒的状况(一维无限深势阱中粒子处于束缚态,其能量和动量具有离散的本征值)(势垒状况下的粒子处于韭宓缚态,本节重点探讨粒子的散射问题)设:能量为E的粒子沿x轴正方向射向一势垒,势垒函数为如图好象在x=0处突兀而起一个高(其势函数刚好间无关一一定态问题,可干脆求解定态薛定谓方程)在I区由一维定态薛定谓方程设波函数为必(X)而2_2mE令1一韬,有:波函数以⑴的解为(其中A、3为一组待定常数)可见匕)中的第一项Ae1代表沿X轴正方向向右传播的入射波W\(x)中的第二项石3一的“代表沿X轴负方向向左传播的反射波(反射波是入射波经势垒壁反射形成,从波动理论看是一个很自然结论)在II区势函数为匕),设波函数为〃2(幻,定态薛定谭方程为考虑粒子总能量石>%粒子越过势垒进入II区完全允许(不探讨)探讨粒子的总能量石〈%的状况2777令后=韬(%一石),可得波函数〃2(*)的解为:为待定常数)〃2(%)只含一项一一进入区域II透射波,不是周期性的波,而是随进入深度指数下图为波函数在两个区域分布的状况由于波函数的模的平方(X)量及能量关系可得电子动量为由德布罗意关系式得波长:h_hePy/e2U2-h2eUmec222-24假如经电势差U加速后电子的速率v«c可忽视相对论效应,干脆由动p=^2meEk=y/2meeU得到hh
1.225A===P^2meeUJ22-3例
22.1计算电子经过⑴U=
1.0x106V2U=\5W电压加速后的德布罗意波长解1电子经电场加速后的德布罗意波长可由22-2式计算表达了粒子出现的概率,在n区,尽管粒子的总能量£%粒子波函数〃2%却不为零在II区是有找到粒子的概率的此时粒子的动能将为一负值,这是经典力学无法设想的状况但按上述薛定娉方程的解及波具有透射的性质,粒子的确是有可能进入U区的二势垒贯穿隧道效应设势垒有肯定的宽度a如图势函数为在I区状况及上述单壁势垒的I区状况一样,波函数”1含两项,向右的入射波和向左的反射波在11区除向右的呈指数衰减的透射波外,还应有一项由右壁向左的反射波在川区势函数V=0及I区一样波函数应为HI区没有反射波,忆(工)仅为一向右传播的周期性波心、忆、仍在势垒的两壁处要满意波函数连续的条件,因此,^3的强度比忆弱得多(见图)可见粒子在势垒左边出现的概率高在势垒内出现的概率小一些,在势垒右边出现的概率更小一些(但不等于零)说明在能量低于势垒高度(E%)时,粒子仍可能穿透势垒到达势垒另一侧势垒贯穿或隧道效应(这是粒子具有波动性的合理结果,壁越窄,隧道效应越明显;能量£越大,贯穿概率也越大)三扫描隧道显微镜(量子隧道效应的辉煌应用)1982年,美国IBM公司宾尼和罗雷尔研制胜利极细针尖及待测样品外表形成两个电极,加偏压W当针尖及外表间距小到nm数量级,电子就会因量子隧道效应从一个电极经过空间势垒到达另一个电极,形成隧道电流隧道电流对两极间距的变更极为敏感,间隔变更O.lnm(原子数量级)隧道电流就变更10倍以上(通常有两种工作形式)1)恒电流工作形式当针尖在样品外表作二维扫描时,通过电子反应线路维持隧道电流恒定不变由于样品的外表是起伏不平,因此,针尖必需随样品外表的起伏而起伏针尖起伏状况经过计算加处理后复原在屏幕上,就给出了样品外表的三维图像2)恒高度工作形式针尖在样品外表作二维扫描时,保持针尖的肯定高度不变针尖及样品外表间隔随样品外表的起伏而发生变更,从而隧道电流大小也随样品外表的起伏发生变更记录下隧道电流变更状况,经处理复原可得到样品外表的三维形貌*完毕语扫描隧道显微镜辨别率达O.lnm(原子尺度),超过电子显微镜数百倍人类第一次“看到”了原子为人类操纵原子并最终制造出分子机器,原子机器呈现了曙光§22-7谐振子(仅作理解)(谐振子是一重要模型,在简谐振动、简谐涉及黑体辐射理论探讨中都涉及到)沿X方向的一维谐振子的势函数为:其中儿为振子的等效劲度系数s=d为振子的固有角频率为振子的质量谐振子的运动属定态问题,定态薛定谭方程为(求解此方程所需查阅“数学物理方法”有关书籍,略!)*结论及其物理意义
1.谐振子的能量由薛定谓方程解出为满意单值、连续、有限的标准化条件谐振子的能量只能取离散的值,有:En=(H+1)方69=(71+1)/7叱(22-18)CD式中”=2万为谐振子的振动频率〃为量子数相邻能级间的间距为NE=tia=hv(呈等间距分布)探讨1)比照普朗克谐振子能量量子化的假设(2L3)式,能量呈量子化及等间距分布一样(量值上略有差异)而(22-18)式完全是求解薛定谓方程得到,不含人为的假设2)谐振子的最低能量即零点能石o=;方/叱,符合海森堡不确定关系(参看一维无限深势阱中运动粒子的零点能的分析)3)谐振子的能级图(a)谐振子波函数(b)谐振子概率密度分布图(a)绘出了谐振子的几个波函数Wn(X)相应的概率密度分布如图(b)所示将波函数及概率密度函数画在势能曲线〃=;依2内,是为了及经典力学结论作一比拟4)经典谐振子总能量为振子的动能岛及势能V之和,因此总有k势能V所对应最大x值就是谐振子最大活动范围,超出这范围,动能变为负值是不允许的5)薛定得方程解出的波函数“八九)明显有一点延长到了势能曲线之外,意味在势能曲线框定区域之外也有发觉粒子的概率,这种量子效应在经典力学中没有内容提要一实物粒子的波粒二象性德布罗意假设:一实在物粒子都具有波粒二象性德布罗意关系:粒子质量加,动量P=m能量石=根2其德布罗意波的频率和波长为(慢)电子经电势差为U的电场加速后,电子的德布罗意波长为电子波是概率波二波函数概率波用波函数(八t)描绘波函数模的平方表示波函数描绘的粒子在t时刻出如今空间r处的概率密度波函数满意单值、连续、有限的标准价冬件£函£的归一化条件为三不确定关系•Ar力2薛定谓方程及几个简洁问题的应用.定态薛定谓方程一维定态薛定谓方程〃为定态波函数处于定态的粒子的空间概率分布不随时间变更.一维无限深势阱中运动的粒子能量量子化9h29E—n=nE}〃=123Sma2定态波函数
12.T171Wn(%)=ASm%Vaa概率密度函数Pn(x)=1〃八(x)l2=2sin2n71xaa粒子在X1-X2间出现的概率=「dx.势垒贯穿总能量小于势能的微观粒子可能穿过有限高势垒到达势垒另一侧隧道效应.谐振子能量代入=LxlO6V可得2^S.VlxlO^nm(极短)(电子显微镜加速电子获得波长极短电子波,进步显微镜辨别率)
(2)加速电压为150V时(忽视相对论效应),采纳非相对论波长公式(22-3)得可知由加速电压为150V得动能Ek=150eV电子的德布罗意波长及X射线波长同数量级因此视察电子衍射可采纳及X射线衍射一样方法,例如用晶体作自然光栅实现衍射例
22.2计算质量帆=O°lkg速率V=500m/s的子弹的德布罗意波长解依据(22・1)式得可见宏观物体的德布罗意波长小到试验上难以观测,仅表现出粒子性二物质波的试验验证
1、电子衍射试验(戴维逊和革末,Eg=z+1Ticd=h+1/z叱=01221927年)热阴极K发出电子,过狭缝成很细电子射线束,以掠射角投射银单晶M上,集电器B收集反射电子电流计G测电子流强度/保持掠射角不变,变更加速电压U大小测量出不同电流强度L绘制/~历曲线如图所示试验说明随加速电压U增加,当电压取某些特定值时,电流呈现峰值,显示规律性(及X射线在晶体上衍射规律极为相像)理论计算按德布罗意波长公式X二P效应)
1.225Junm(忽视相对论及电子波2数d的布拉格公式及晶格常2dsin0=kAk=123……有2dsin0=
1.225左/J得电流峰值处对应的电压为试验结果及理论预期值符合相当好试验还测量电子波长及德布罗意关系式计算一样
2、电子衍射试验(汤姆逊,1927年英国)高能电子束穿过多晶薄膜,照相底片上得到电子衍射环状图样
3、电子的单缝、双缝和多缝衍射试验(约恩逊,1961年)图为电子双缝衍射试验明暗衍射条纹,干脆表现电子的波动性*对质子、中子及原子、分子等的有关试验证明波动性,其波长也都和德布罗意关系相符合粒子概念和波动概念代表仅有的两种可能的能量输送方式经典波动代表某物理量在时空中周期性地变更,波是扩展的,充满在空间某一区域,波还是兼容的,同一区域中,几列波可互相叠加,产生干预、衍射现象而粒子表现为颗粒性,其空间广延性却等于零,并具有排它性,可在确定轨道上运行性质如此迥异的两概念如何互相联络统一到同一个客体上?
1、概率波概念(波恩)(电子的双缝衍射试验说明这种波动性的意义)两种试验方法1)射向双缝电子流强度很大,屏上出2)限制电子流,电子一个个放射到屏一个个感光点(图〃、的•一电子粒子性;试验发觉1)当到达屏电子数少,感光点分布无规则,随机性大但电子数目不断增多。