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1过点M°l-11且垂直于平面x—y—z+l=0及2x+y+z+l=0的平面方程.
39.y-z+2=
03.在平面”-2z=0上找一点夕，使它及点2154-31及-2-13之间的间隔相等.
555.已知412355—17Cl11332AB=CDA.4B1C-D.
22.设平面方程为x-y=，则其位置A.平行于x轴B.平行于y轴C.平行于z轴D.过z轴..平面x—2y+7z+3=0及平面3x+5y+z-l=0的位置关系A.平行B.垂直C.相交D.重.直线色=;及平面4x-2y-2z-3=0的位置关系—2—73平面内A.V
55.D
7.D
8.B
9.A
10.A.3当m=时，万-3/+52及3i+桃/-22相互垂直.
4.设a=2i+J+kb=i-2j+2kc=3i-4j+2k贝lj于两直线的方向向量，因此平面的法向量为12-l=2i-3j-4h因此所201求平面的方程为2x—1—3y+2—4z—4=0即2x—3y—4z+8=
0.
9.在过直线的全部平面中，求和原点间隔最大的平面.[2x+y+z=0解设平面束方程为光+y+z+l+〃2x+y+z=0即2/1+lx+A+1^+A+lz+1=0平面及原点的间隔为要使平面及原点的间隔最大，只要人即该平面方程为x-y-z-3=
0.1=%⑺解由于空间曲线r=y«-8＜，＜+8绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为z=zQx2+j2=32+yQ22=z«y=-2%故该直线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程z=3t2222为二;，消去参刎旋转曲面的方程为%
12.画出下列各曲面所围立体的图形:3x+4y+6z=12x=0y=02=
0.2z=x2+y2z=
2.z=yjx2+y2z=4—x2—y
2.z=个2-x2-y2z=x2+y
2.z=x2+2y2z=2-x
2.⑹y=/z=0z=yy=l・
3.平面町A+Bi〉+Ciz+Zi=0及平面7i2\A2x+B2y+C2z+D2^相互垂直y-y\z-Z]x-x2y-y2z—口口皿、//-二二及Z2——=二是异面直线，则必有叫/I〃[2〃
2.Z叫〃iD.hm2n2wO.xi-x2y1-y2Z]-
24.过点2-83且垂直平面x+2y-3z-2=0直线方程为旋转而成的.设〉={2—3l}3={1-13}C={1-20}则U£=若a=6i+3j—2kb//a且b=14则，=
4.若必LU加2221⑵12则陷河2与加陷3的夹角
06.求平面x-y+2z-6=0及平面2x+y+z-5=0的夹角
7.求及平面2x-6y+3z=4平行平面，使点328为这两个平面公垂线中点.
3.确定k值，使三个平面:kx-3y+z=23x+2y+4z=1x-8y-2z=3通过同一条直线.
5.求以向量;■++2%+；为棱的平行六面体的体积.
7.及平面2%+y+2z+5=0且及三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程.
9.曲面方程16/一9产一9z2=25则曲面名称为
1.设a=i—2/+3%b=2i+jc=-i+j+k贝U〃+B与c是否平行
1.不平行
3.曲线卜+2-z；=4在面上的投影曲线方程为x-22+/=4:『二+:投影柱面方程为±G=±K4222222XVzXyZ=1F二
14994495.已知W={-304}7={5-2-14}则两向量所成夹角的角平分线上的单
6.以点A200B030C006D238为顶点的四面体的体积-230-206=14o038二计算
1.求点P36-2关于直线L:爱二二4二的对称点坐标Ittijk解直线L的方向向量I=|x/=011=i+2j-2k2-2-1x——1+1取直线上的定点-110将其化为参数式7=1+2/z=-2t过点P及直线L垂直的平面为x-3+2y-6-2z+2=0将直线的参数式代入垂面方程有2从而点P在直线L上的投影坐标直线及垂面的交点为15-4设点P关于直线L的对称点坐标为x»z则有3+x6+y—2+zA1A---=L---=5-=4x=_Iy=4z=-
6222.设直线L过点M-231且其及y轴相交，及直线小苫！==垂直，求该直线方程解:设L及y轴的交点为N0t0其及直线L垂直，则加工=00-1从而由两点式有直线L的方程为L:老二号二二解直线上及平面〃的交点为2L0直线L上的点101在平面乃上的投影为；［，则乙在〃上的投影直线方程为.求两平面巧x+2y—2z+6=0兀？4x—y+8z—8=0所成二面角的角平分面方程解法一，设Px»z为所求平面上随意一点，则由题意有消去肯定值得32+2y-2z+6=±4%-y+8z-8即7x+5y+2z+10=0和x—7y+14z—26=0法二，所求平面过两平面！及和的交线，故可设其方程为在该平面上任取一点，如令X=y=可得Z=三2-4然后由点00，亨二金到两平面的间隔相等可解得4=±3从而得到所求平2-4面方程.设有直线J和L2的方程分别为:x-1y+6z+4~~T~2-121证明Li及L2异面;2求两直线之间的间隔；3求及两直线间隔相等的平面方程;4求及两直线都垂直相交的直线方程解直线L]L2上分别有定点Pi-22-9P21-6-4其方向向量分别为I={018}1={1212}018——»―1由于3XS2・68=1212=-810所以两直线异面3-85--ijk2由于5]*§2=18=-4z+8j-k1212故过Z及乙平行的平面方程为4x-8y+z-48=则两直线的间隔转化为求点Pi到该平面的间隔3由题意，所求平面过线段尸2的中点2-1-2-下，其法向量为故所求平面方程为设P%yz4x-8；+z-y=0o———»4设公垂线为其方向向量s=six$2=-今+8/-3则:--ijkL与乙相交所成平面距的法向量s=018=65z+32；-4k—48—1tix的方程为65%+32y-4z+30=0可及％的交点即公垂线及人的交点2「48--ijkL与4相交所成平面利的法向量.xs=1212=-98z-47j+16Zr—48—1兀？的方程为98x+47y—16z+120=，乃2及匕的交点即公垂线及能的交点尸-
2.47所以，公垂线方程为=一=与4-81注实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到2的另一解法5-求点P2l5在直线八一==彳上的投影.13—1解过P2l5作垂直于已知直线L的平面口则其法向量=137于是平面的方程为—2+3〉—1—z—5=，即x+3y—z=
0.将已知直线的参数方程卜=1+3/代入x+3y-z=0可得/=一《，因此点z=-tp2l5在直线L上的投影即为平面n及直线L的交点彳，]，白.+z°在平面n2%—y+z=l上的投影直线的方程.3x-^-z-8=0解设所给直线L的平面束方程为2x-3y+z+X3x-y-z-8=0即2+3团％—3+田口+1—㈤z—84=0其中4为待定常数，要使该平面及已4知平面II垂直，贝IJ有22+3团+3+田+1-4=，解得人-寺将其代入2+3㈤x—3+4y+l—4z—84=0可得6x+5y—7z=32因此直线L在平面n上的投影直线方程为—7z=
32.
7.确定；I的值，使直线L:十二1二°及平面mx+加-z=l平行，并求直[x+z-2=0线力及平面口之间的间隔.ijk解直线L的方向向量〃=210=i-2j-k要使直线L及平面口平行101只要“=其中s=L4-D为平面口的法向量，即1-24+1=0解得4=
1.令%=1代入直线L的方程可得%=-1z°=l直线L及平面n之行于直线竦二三二一解设平面束方程为X—y+z—1+Z2x+y+z—2=0即24+lx+A—ly+/I+lz—2/1—1=0n—24+12—14+
1.设彳丁于^百^线==二二一的平面为小，由24+12—2—1+4+1=0可知；1=—12—11-x-1-2y=0即x+2y-1=
0.设垂直于平面口1的平面为小，由I3353+D+2f=，可得、，平面耳的方程为产1一“+产0即6x-3y+5z-6=
0.x=acos04曲线asina、b为常数在xQy平面上投影曲线是z=b05X平面上曲线4/_y2=i6绕X轴旋转一周所得旋转曲面方程是4%2_y2+z2=
16.=y所表示的曲面名称为双曲抛物面.x=2y=-2+f和牛=—=早都平行，且过原点的平面方JLXz=l+t10及两平面x+2y-Z-1=0和x+2y-z+3=0等间隔的平面方程为x+2y-z+l=
03.已知点All0和点3012试在x轴上求一点C使得AA5c的面积最小・解设贝I」AB=—l02AC=x—__ijk-102=2i+2x-\j+k故AABC的面积为x—1—10S=-\^BxAC\=-722+[2x-1]2+1明显，当x=l时，AABC的面积最小为+所求点为
100.
6.求直线=2在平面口:无-y+2z-l=0上的投影直线绕％轴11—1线转一周所成曲面的方程.解过L作垂直于平面门的平面口所求的直线L在平面门上的投影就是iJk平面口和n的交线.平面L的法向量为%=12-1=，-3/-2左，贝IJ1-12过点1的平面n的方程为:%—l—3y—2z—1=即％—3y—2z+l=
0.所以投影线为Xy——I2则绕X轴的旋转面的2二」22方程为y2+z2=-2+[----1]2即5x2-4x-16y2-16z2+4=
0.
8.已知两条直线的方程是右==千==，4三2=21=彳，求12—12J1过乙且平行于乙的平面方程・解因为所求平面过右，所以点1-24在平面上.由于平面的法向量垂直。
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