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空间角,能比拟集中反映空间想象实力的要求,历来为高考命题者垂青,几乎年年必考空间角是异面直线所成的角、直线及平面所成的角及二面角总称空间角的计算思想主要是转化即把空间角转化为平面角把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解空间角的求法一般是一找、二证、三计算
一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围090
(一)平移法【例1】已知四边形ABC为直角梯形,AD//BCZABC=90B4_L平面AC且3C=2PA=AD=AB=1求异面直线PC及BD所成角的余弦值的大小【解】过点作C£〃区□交AO的延长线于£连结P£则PC及所成的角为NPC石或它的补角CE=BD=母且■£=,/*十信:屈PC2+CF2-PF2・•・由余弦定理得cosZPCE==—2工2PC-CE6・・・PC及所成角的余弦值为走6(-)补形法【变式练习】已知正三棱柱ABC-4AG的底面边长为8侧棱长为6为AC中点求异面直线4耳及8G所成角的余弦值【答案】—25
二、直线及平面所成角直线及平面所成角的范围0W90方法射影转化法(关键是作垂线,找射影)【例2】如图,在三棱锥P—ABC中,ZAPB=90ZPAB=60=3C=C4点P在平面A3C内的射影在A3上,求直线PC及平面ABC所成的角的大小【解】连接OC由已知,NOCP为直线PC及平面A3C所成角设A3的中点为,连接尸DCO\AB=BC=CA所以CDJ_ABZAPB=9QZPAB=60,所以ARAO为等边三角形不妨设R4=2则=102=6入区=4在H/AOCP中,tanZOCP=—=^=—OCVf313【变式练习1】如图,四棱锥S—A5CD中,AB//CDBCACD侧面S钻为等边三角形AB=BC=2CD=SD=1求AB及平面SBC所成的角的大小【解】由AB_L平面5DE知,平面ABCDJ_平面作,石,垂足为尸,则SbJL平面ABCDSF=作/G_LBC垂足为G则尸G=OC=1连结SG则SGLBC又SG^FG=G故平面SPG平面S3_L平面SPG作FHJLSG为垂足,则/_!_平面S3FH=SFxFG=即/到平面SBC的间隔为叵SG77由于ECV/3C所以ED〃平面SBC故£到平面SBC的间隔设及平面S3所成的角为a则sina=」-二亘EB7【变式练习2】如图,在四棱锥P—A5c中,底面ABC是矩形,AD1PDBC=1PC=2a/3PD=CD=2求直线QB及平面A3CO所成角的正弦值【解】过点P作P£_LCD于点E连接vAD±PDAD±DC则平面PDC,平面ABC.♦・夫£_1_面43,则NPB石是直线抬及平面A5CO所成角在R/ABCE中,BeAbC-CE=M=PB=BE2+PE=屈PEx/3Q在RtABPE中sinZPBE=——=--PB13二面角的求法二面角的范围0180求二面角的大小,关键在于找出或作出二面角的平面角从找平面角的角度动身,有以下几种方法:-定义法在棱上选一恰当的“点”一般是选一个特别的点,如垂足中点等,过这一“点”在两个半平面内作棱的垂线,两垂线所成的角即为二面角的平面角一般在找出角后,利用三角形求解【例3】在三棱锥P—ABC中,ZAPB=ZBPC=ZAPC=60求二面角A—依—C的余弦值【解】在必上取PQ=1作交Q4于加,作QNA.PB交PC于N【变式练习】如图,点A在锐二面角二—MN—分的棱MN上,在面a内引射线AP使AP及MN所成角NR4A/=45及面尸所成角的大小为3求二面角二―MN—/的大小【解】在射线AP上取一点B作BH_L尸于点H作于sinZBQH=—则a—MN—/7为45-利用三垂线三垂线定理在平面内的一条直线,假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直逆定理假如平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影从半平面a内的任一点A动身向另一个半平面夕引一条直线AH过”作棱/的垂线G垂足为G连AG则由三垂线定理可证/LAG故NAG”就是二面角a—/―/的平面角三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法,其关键是找寻或求作一条垂线,即从第一个半平面内的某一个点动身,且垂直于另一个半平面【例4】如图,在三棱锥P—ABC中,ZAPB=90ZPAB=60AB=3C=C4点P在平面ABC内的射影在A3上,求二面角B—AP—C的大小【解】过A5中点作£_LAP于£连接CE由已知可得,CD平面据三垂线定理可知,CEA.PA则NCED为3—AP—C的平面角易知,若A3=l则£=百,CD=2y/32h在R仙CDE中tanZCED=——=)=2DE百【变式练习】在直三棱柱ABC—AAG中,ZBAC=90AB==1直线片及平面ABC成30角,求二面角5—4—A的正弦值【解】由直三棱柱性质得平面ABC,平面5CG4过A作AN平面8CC4,垂足为N则AN_1_平面BCG旦(AN即为我们要找的垂线)在平面BCg内过N作NQL棱gC垂足为,连QA则ZNQA即为二面角的平面角•.・Ag在平面ABC内的射影为ABCAA.AB.\CA1B.A又AB=BB1=1得钻=血;直线耳及平面ABC成30角:.ZB}CB=3Q又B、C=2则MAgAC中,由勾股定理得AC=J5AQ=1在心ABAC中,AB=1AC=叵得AN=[7即二面角B-B.C-A的正弦值为J3从不干脆找出平面角的角度动身,主要有两种方法面积法(面积射影法),向量法
(三)面积法(面积射影法)凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos,=泡)求出二面角的大小6LS求证COS=3生S【例5】如图,£为正方体ABC—A4G2的棱CG的中点,求平面人用石和底面4月GA所成锐角的余弦值2【答案】所求二面角的余弦值为一3【变式练习】如图,S是正方形A5CD所在平面外一点,且SO_L面ABC,AB=\SB=6求面AS及面BSC所成二面角的大小z【答案】45\V\四真题演练|/_
一、).(山东)已知三棱柱A3-a坊g的侧棱及底面垂直,体积为,,底面是边长为石的正三角形,若p为底面AgG的中心,则PA及平面ABC所成角的大小为().(大纲)已知正四棱柱ABCD-4BC中,的=2AB则CD及平面BDG所成角的正弦值等于().(山东)如图所示,在三棱锥P—ABQ中,平面A3,BA=BP=BQDCEF分别是AQBQ的中点,AQ=2BDPD及EQ交于点、GPC及FQ交于点、H连接G”
(1)证明AB//GH;
(2)求二面角O—G”—石的余弦值.(陕西)如图,四棱柱ABC—AgG2的底面A3CO是正方形,为底面中心,40平面ABCDAB=AA[=叵
(1)证明平面8片2;
(2)求平面坊及平面88QQ的夹角的大小.(湖南理)如图在直棱柱ABC—AgG2中,AD//BCZBAD=90°AC±BDBC=1AD=AA=3
(1)证明AC1B.D;
(2)求直线AG及平面ACR所成角的正弦值.(四川理)如图,在三棱柱ABC—A4中,侧棱人4底面A5CAB=AC=2AAl9ABAC=120D分别是线段BCAG的中点,P是线段AO的中点.
(1)在平面ABC内试作出过点P及平面A}BC平行的直线/,说明理由,并证明直线/JL平面ADD}A.;
(2)设
(1)中的直线/交A3于点交AC于点N求二面角A—4—N的余弦值..如图,在四棱锥S—A5C中,AD3C且ADJ_CD;平面CSD_L平面ABC,CS±DSCS=2AO=2;E为3s的中点,CE=0AS=6求1点A到平面3cs的间隔;2二面角£—CD—A的大小m1\AD//BC且5Cu平面BCS「.AD〃平面BCS则A点到平面3cs的间隔等于点到平面3cs的间隔丁平面CSD_L平面ABCDADA.CD故AZJ_平面CSO从而ADJLS由AD〃5C得BCJLDS又由CSLDS知S_L平面3cs从而DS为点A到平面BCS的间隔.・・RtAADS中DS7As2-Ab1=2如图,过£作石G_LCD交CO于点G又过G点作G〃_LC交于”故N或汨为二面角£—CD—A的平面角,记为,过石作斯〃BC交CS于点/,连结Gb・平面ABCO_L平面CSOGHLCD7T易知G,G/,故夕=——NEGF2由于£为5s边中点,故CT=,CS=12在HAC庄中,EF=y/cE2-CF2=a/2^1=1石厂JL平面CSO又EGLCD故由三垂线定理的逆定理得bGLCD从而又可得ACG/ACSDGFCFIIl因此——二——而在用ACS中,CD7cs2+Slf=师5=DSCD痂小口CT7八1%1故GF=DS=—=•,2=—j=CDa/6a/3EFr~71在AFEG中tanEGF=——=6可得/EGF=—FG37T故所求二面角的大小为=!6。