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在众多的信号处理应用中,人们盼望找到一种稀晞的数据表示,用稀疏靠近取代原始数据表示可从实质上降低信号处理的成本,提高压缩效率传统的信号表示理论基于正交线性变换,但很多信号是各种自然现象的混合体,这些混合信号在单一的正交基变换中不能特别有效地表现出来例如,一个含有脉冲和正弦波形的混合信号,既不能用单一的脉冲基函数,也不能用单一的正弦基函数有效地表示在这个例子中,有两种结构类型同时消失在信号里,但它们却完全不同,其中哪一个都不能有效地模拟另一个所以,人们盼望查找一种能够同时建立在两种基函数之上的信号表示,其结果应当比采纳其中任一种基函数有效得多在图像和视频处理方面,常用的信号分解方式通常是非冗余的正交变换,例如离散余弦变换、小波变换等离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间辨别率,因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时表现出良好的性能,但图像边缘的不连续性是按空间分布的,小波分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好因而说,小波分析对于多维信号来说并不是最优的,不能稀疏地捕获到图像结构的轮廓特征,因此在图像和多维编码方面的新突破,必定取决于信号表好像的深刻变革最近几年,争论人员在转变传统信号表示方面取得了很大的进展新的信号表示理论的基本思想就是基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代,字典的选择尽可能好地符合被靠近信号的结构,其构成可以没有任何限制,字典中的元素被称为原子从字典中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号,称作信号的稀疏靠近或高度非线性靠近从非线性靠近的角度来讲,高度非线性靠近包含两个层面一是依据目标函数从一个给定的基库中选择好的或最好的基;二是从这个好的基中拣选最好的m项组合采用贪欲算法和自适应追踪,从一个冗余函数系统中进行m项靠近方法的理解只是些零星的片段用高度非线性方法以指定的靠近速率来描述函数仍旧是一个富有挑战的问题从基函数的形成来讲,在图像表示方面体现为多尺度几何分析,无论是曲波curvelets带波bandiets还是仿形波coutourlets都要求基函数应具备下述特点:i多辨别率分析,ii时频定位力量,iii全角度分析方向性,iv各向异性的尺度变换这些新的冗余函数系统的不断涌现,使信号稀疏表示的方法更加成为争论的热点超完备信号稀疏表示方法肇始于20世纪90年月1993年Mallat和Zhang首次提出了应用超完备冗余字典对信号进行稀疏分解的思想,并引入了匹配追踪marchingpursuitMP算法在这篇文献中,作者用自然语言表述浅显的类比,说明超完备冗余字典对信号表示的必要性,同时强调字典的构成应较好地复合信号本身所现MP算法的自适应分解新思想的提出引起人们极大的关注,但由于算法所涉及的计算量特别繁重,因而早期争论的焦点集中在如何实现算法的快速计算,降低算法的简单度,以及选择何种类型原子构造合适的字典两方面这期间,很多音视频信号处理方面的试验都对MP算法作出了有利的支持,尤其在甚低码率视频编码方面,MP算法更显示出极大的优越性.1999年Donoho等人又另辟蹊径,提出了基追踪basispursuitBP算法,并从试验的角度举证了MRMOF和BOB算法各自的优劣稍后,又在2001年发表的另一篇重要文章中,给出了基于BP算法的稀疏表示具有唯一解的边界条件,并提出了字典的互不相干性的概念注摘自《基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解》自1807年Fourier提出任意一个周期为2n的函数都可以表示成一系列三角函数的代数和,到今日蓬勃进展的小波分析,科学家们的争论目的是对不同的函数空间供应一种直接、简便的分析方式,即寻求函数在某一特定空间下,在某种基下的最优靠近靠近的误差体现了用此基表示函数的稀疏程度或是分解系数的能量集中程度Fourier分析的思想是将函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加,即将函数用一簇三角基绽开各原函数在时域中的争论转换为对这个叠加权系数的争论即Fourier变换在频域中的争论这种三角体系绽开方式的局限性促使人们去查找其他的正交体系——小波分析小波分析的地位在数学界是独一无二的,它较精确的时频定位特性,成为处理非平稳信号的有利工具;也证明白小波分析比Fourier分析更能稀疏地表示一段分段光滑或有界变差函数这是小波分析胜利的一个关键缘由但是,由于张量积小波只具有有限方向数,它主要适合表示一维奇异性的对象,当它在处理二维或更高维奇异性时,就显得无能为力小波在表示这些函数时并不是最优的或者最稀疏的表示方法为了更好地处理高维奇异性,一类带有方向性的稀疏表示方法一多尺度几何分析应运而生它的产生符合人类视觉皮层对图像有效表示的要求,即局部性、方向性和多尺度性它的目的就是为具有面奇异或线奇异的高维函数找到最优或最稀疏的表示方法目前已有的多尺度几何分析方法有EmmanuelJCandVs等人提出的脊波变换ridgelettransform单尺度脊波变换monoscaleridgelettransformcurvelet变换curvelettransformE.LePennec等人提出的bandelet变换以及M.N.Do等人提出的contourlet变换此外,还有一些多尺度分析方法,如DavidDonoho提出的wedgelet、beamlet等本文依据以上方法消失的时间挨次来争论其靠近性能的异同在图像处理方面,图像的稀疏表示在对图像数据的存储、传输中得到了广泛的应用由于余弦基和小波基能够用较少的系数达到图像较精确的非线性靠近,成为图像稀疏表示的重要方法如今,多尺度几何分析的消失,又为图像的稀疏表示供应了一个全新而又有效的方法1奇异性分析本文称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的若函数在某处有间断或某阶导数不连续,则称该函数在此处有奇异性图像的奇异性或非正则结构通常包含了图像的本质信息例如图像亮度的不连续性表示景物中的边缘部分,这是熟悉图中最重要的部分图像的奇异性是常见的,也是重要的在自然界中光滑物体的边界往往体现为沿光滑曲线的奇异性,并不仅是点的奇异性在数学上,通常用Lipschitz指数刻画信号的奇异性大小[8]3多尺度几何分析.1脊波变换脊波理论的基本框架是由EJCandes建立,并与D.L.Donoh等人在其后续工作中[12]逐步拓展和完善脊波变换是一种非自适应的高维函数表示方法,对含直线奇异的多变量函数能够达到最优的靠近阶脊波理论的提出在多尺度几何分析史上产生了深远的影响,具有不行估量的价值脊波变换的核心主要是经过radon变换把线状奇异性变换成点状奇异性小波变换能有效地处理在radon域的点状奇异性其本质就是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的,所以它不但与小波一样有局部时频分析的力量,还具有很强的方向选择和辨识力量,可以特别有效地表示信号中具有方向性的奇异特征这是小波方法所不能得到的数字脊波的实现在实际应用中,脊波变换的离散化及其算法实现是一个具有挑战性的问题由于脊波的径向性质,对连续公式直接离散实现时要在极坐标中进行插值这样的变换结果或者是冗余的,或者不能完全重构脊波变换数字实现的优劣很大程度上取决于其中radon变换数字实现的重构精度为此,人们提出了各种各样的方法,大体上可分为在Fourier域采用投影切片定理的方法[13〜15]、多尺度方法[1617]和代数方法[18]三类近似脊波变换建立在所谓的伪极坐标网格基础上首先对nxn的离散点列作二维FFT并对得到的包含nxn个点的频域点列作径向划分;然后估量各个径向直线方向上n个数据点的值在每个径向方向都有n个节点,再对这n个点列作一维IFFT从而得到对应于图像域的2n2个点列,对这些点列作匀称化插值和重组就得到一次radon变换的结果依据图1即可实现脊波变换[19]但其有两点不足在实现频率平面中直角坐标向极坐标变换的过程中引入误差是明显的;它具有总数为四倍的数据冗余性因此这种脊波变换不适合图像编码压缩M.N.Donoh等人[20]提出另一种数字脊波实现方法,称为有限脊波变换FRIT首先用有限radon变换将一幅图像变换到FRAT域中,再对每一个投影序列进行离散小波变换DWTrk⑼rk,…rk[p-l]0其中方向k是固定的这种方法可以同时做到可逆性与非冗余性,并且是完全重构的但由于有限脊波变换是基于有限radon变换构造的,有限radon变换在表达直线时有折叠效应,有限脊波变换在几何上不是真实的Donoho和Flesia[21]为了克服有限脊波变换的折叠效应,构造了一种数字脊波变换它能用真实的脊函数进行分解和合成,并且具有精确重构和框架性质这种脊波变换采纳的radon变换称做fastslantstack[13]0首先进行fastslantstack运算然后进行二维快速小波变换这种构造使得离散物体离散脊波、离散radon变换、离散伪极坐标Fourier域具有与连续脊波理论平行的内在联系脊波、radon变换、极坐标Fourier域Donoh构造的脊波变换在几何上是真实的,即在此处radon变换的确是沿直线积分的,从而避开了折叠效应在创建系数矩阵时它将一个nxn的矩阵变换为2nx2n的矩阵,因此冗余因子为4O这在肯定程度上影响了运算速度这种脊波变换在实现上的缺点是正交脊波系数衰减速度相对较慢脊波靠近力量定理4设f是Cr的函数,沿某始终线是不连续的,除此之外均为r阶连续从脊波级数中选取对应于前M个最大系数的项对f所作的非线性靠近误差为即靠近误差显示好像不存在间断,这个结果对任意r阶光滑都是成立的该方法的显著特点是无须知道间断的位置类似地,一维小波变换也无须先验地知道点奇异的位置因而对于具有直线奇异的函数,脊波的表示是最优的小结与展望从上面的分析可知,脊波在分析直线奇异的分段光滑的高维函数方面是优秀的
[36]脊波已经胜利应用于数学中的函数靠近、信号检测、特征提取、目标识别,以及图像恢复、去噪、增加等方面在脊波分析的框架下,结合二进小波变换的局部脊波变换,用于检测直线的方法,应用于方向性较强的图像获得了良好的检测效果但是必需看到,对于自然物体而言,奇异的边界是曲线的,经过radon变换后仍旧为曲线,而小波对曲线不具备稀疏表示的力量因此脊波不能够处理曲线奇异的高维函数此外,脊波的数字化实现仍旧是一个有待进一步提高的问题如何很好地解决冗余度和精度,提高运算速度,是制约着脊波走向广泛应用的主要因素http://www.mathucdavis.edu/%7Evershynin/papers/ROMP-stability.pdf.。