小波变换的理解

由于小波变换的学问涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有肯定的数学基础很难学好小波变换.但是对于我们工科同学来说，重要的是能采用这门学问来分析所遇到的问题.所以个人认为并不需要去具体学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学学问.最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！由于小波变换的基础学问在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是许多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的缘由.所以我认为学习小波应从数字信号处理中的付立叶分析开头.当然也可从信号与系统这本书开头.然后再看杨福生老师的小波变换书.个人觉得他的书最能为工科同学所接受.2信号的分解付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频重量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基.通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等.付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多.小波变换也是一种信号分解思想只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加.其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节.所谓的细节部分就是一组组小波重量的叠加，也就是常说的小波级数.3小波变换的时频分析思想付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分.对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）.由于我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法.当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）.小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的“小.由于用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多.4小波变换的实质小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的.它要求的就是一个个小波重量的系数也就是权.其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地量信号，也就是去比较信号与小波的相像程度.信号局部与小波越相像，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据.如此这般循环，最终得出的就是信号的小波分解（小波级数）.当然这只是一种粗略的解释.5连续小波变换，二进小波变换与离散小波变换的关系当尺度及位移均作连续变化时，可以理解必将产生一大堆数据，作实际应用时并不需要这么多的数据，因此就产生了离散的思想.将尺度作二进离散就得到二进小波变换，同时也将信号的频带作了二进离散.当觉得二进离散数据量仍显大时，同时将位移也作离散就得到了离散小波变换！6MALLAT算法的意义想必大家都留意到，小波变换是以内积或卷积的形式实现的，这给数值计算带来了不利之处，由于用计算机作数值积分其计算量大.MALLAT算法则解决了这一问题，它不涉及小波的具体形式，只是对系数进行操作！其计算也就是用高通及低通滤波系数与小波系数作卷积.由于作信号处理时，我们往往并不关怀小皮的具体形式，更为关怀小波系数.需提出的是该算法仅适用于正交小波假如小波不是正交的（如B样条小波）则算法失效!7小波变换的模极大值及其意义对于我们搞信号奇异性检测的人来说，小波变换最重要的应用就是用模极大值定值奇异点.我觉得模极大值可以从两个方面去理解第一，从直观角度，上文已说明小波变换的实质就是一种度量波形相像程度的方法.信号与小波越相像，则小波系数越大.这也就可理解为消失了小波变换的模极大值.由于当信号消失奇异点时，或是间断点，或是一阶导数不连续点，其在各个尺度下都将必定消失大的小波系数.从而可以定位奇异点！其次个方面从小波的取法来看，当小波取为光滑函数一阶导数或二阶导数时，从公式可以推导出小波变换将消失模极大值点或是过零点.也就是许多书上说的模极大值检测和零交叉检测.这些可以查书看！我只谈谈连续小波变换，对于离散的也有同样的argument小波函数的dilation和translation是这样一个形式:lAsqrt{|s|}\psi（（x-u）/s）s是scaleu是该小波atom的centero由于依据定义，小波的积分是0也就是说小波函数的傅立叶变换在零点为零再有于小波函数的傅立叶变换一般是连续的（比如假如小波是属于L_1的），这样在0的一个小临域里面，小波的傅立叶变换很接近零，这也就是说小波函数的傅立叶变换可以看成某个高通滤波器的transferfunction这样小波变换W（f）实际是在measure该函数f在u点四周的variation..从这个角度看的话，假如小波的宽度很大（对应尺度s很大），该函数在该小波的窗口下的variation就很大；假如小波的宽度小（对应尺度s小），则函数在该小波的窗口下的variation就相对比较小（除非信号是fractal呵呵\小波情结到了小波版很久，总觉得应当写些什么这篇文章也就献给那些全部正在讨论或即将讨论小波的同学、老师和科研人员们这是篇与技术无关的文章，撰写的是我对小波的感受从我开头接触小波，讨论小波，到沉迷小波的真实纪录因此，我把它起名叫小波情结刚开头，接触小波的时候在研一关于老师布置的从频域构造一种小波的作业开头后来我才知道，这种小波本质上就是meyer小波当时，就一个字，嫩实际上就是对小波毫无所知脑子里就是一叠的公式正交条件，容许条件等一大堆，与概念理解相差甚远的东东但，还是乐此不疲的编程总想看看，我亲自缔造的小波长的是什么样，也有些略带孩子气的，想把它作为桌面和自己的酷酷头像之类的欲望于是，十一的头三天，我基本上闭门造车当时，我用的是matlab也是我最终得到哭笑不得结果的直接的助手与帮凶由于构造的过程的起始，我就把函数离散化了紧接着就是平移，对乘，积分，抽取，插值，dsp里的一套trick把我搞得叫苦不迭程序也累计到了1000行左右当时最可恨的就是对点，由于dsp下标的123离散化，所以我也就用手指开头傻傻的算连续几天晚上廛战，最终在3号的晚上通过IFFT后，奇妙的波形出来了留意，奇妙和丑陋只有一步之遥这是我的对小波的第一课体会当我一看屏幕，疯了，彻底疯了一个DELTA函数类似的波形，就在我眼前心想忙乎了三天，整了个DELTA函数出来这莫非就是回报吗？别急，小波是紧支撑的啊概念上对头，肯定是取点的问题我便拿起MATLAB自带的照妖镜（放大镜）一看，呵呵，一个差强人意的波形就在我眼前了我当时大喊一声，爽，那时已经凌晨2:00第一次的经受，对我来说收获很丰然后，其次次挑战，则是彻底转变我对小波是个深不行测的家伙的看法这次作业，就是用刚才构造的小波，做消噪我这次，又一次的想起，爰情格言我心灵的古堡经不起你轻轻的一击女生问结果呢？回答碎了一个如此，不精确的波形，怎么能消噪呢？而且，当时老师要用连续小波的方法也就是内积求和的方法我和同学，首先合作，用mathmatic做了个好一点的波形由于，除最终一步，反傅里叶变换外，其他都是解析的然后，一个困扰我许久的问题产生了一个函数可以由无穷多个小波的膨胀和伸缩叠加起来那么，我把函数从-inf到+inf积分，假设函数有直流重量，所以积分不为零但是小波，积分却为零这不是冲突吗？后来，也就是研二我才知道，有些时候积分后不行以交换还有，其实有限的小波靠近，必需加上尺度函数才可以但当时，我们只是采纳了把小波的支撑取宽的方法解决了此问题但我由于不太喜爰这种方法的冗长和费时，所以想令辟蹊径于是，mallet一个令我崇拜的算法，最终在我阅读超星的时候，跳在了我生命里首先，便是看冗长的证明，牵强理解了当看到滤波器组的解释后，我开头豁然开朗这是我熟识的dsp概念因此，我花了一晚上，把这个算法彻底搞懂了但概念的理解和程序的胜利编制，还是有一小步，就是这一步，使许多英雄竟折腰我的幸运之神便是MATLAB里的DEMO那个里面，有一个具体的算法解释并且从哪里我知道了些怪怪的函数WKEEPDYADDOWNDYADUP等等而且，又一个问题，理论和实际差别产生了这个问题甚至现在，还困扰着许多的小波工作者一个长度为100的信号，分解后理论上高频50低频50o但用卷积算法，假设滤波器长度为10因此总长度109，做抽取后长度55多了5这怎么办呢我去问了许多老师，回答都一样就是MATLAB里用的函数WKEEPO把两头丢掉当时我牵强接受了这个结果但始终有个概念，小波变换就是正交变换，它和傅里也变换一样，肯定可以写成正交阵的形式其次次作业的完成，我的小波课结束了但我的小波情结还在连续关于，正交阵的猜想还在困扰着我一本电磁场和小波结合的外文书籍，关心了我圆周卷积的概念，历历在目是呀，卷积对着傅里叶变换，而圆周卷积对应着离散傅里叶变换这就是连续与离散的区分和联系啊于是我用db小波，构造了一个完全正交的矩阵当我把这个矩阵和它的转置相乘的时候，单位阵出来了那天，我兴奋得流泪最终，我把圆周卷积用快速傅里叶变换实现出来今后的日子，我便觉得，思维的水再也关不住了步步为营，我实现了db小波的时域构造，采纳矩阵特征向量法和casade理论两种解法，我都胜利了渐渐的我开头醉心于消逝矩，开头懂得框架，开头懂得双正交然后就是，PR条件，二代小波，小波插值，因子化，等等于是，我也在研学一边和大家沟通，一边阅读大量书籍和文献，而且实现里面的每一个例子和思想当我们还在觉得自己懂点小波的时候，美国人已把它用于指纹压缩，产生了巨大的经济和社会效益；当我们，还在对二代不屑一顾的时候，一个叫JPEG2000标准的东东，彻底给我们上了一课当我们，还在我国闻名期刊上，打着错误的提升公式的时候，当我们还在为些不值一提的程序保密的时候，一个叫各相异性小波的东东又开头蠢蠢欲动看看那些大师们吧，看看他们的态度，再看看我们，我们努力的够吗你说看不懂文献，我就要问你，你看了一遍，十遍，还是一百遍呢？假如说你认为是高手，你是否写了超过10万行以上小波的代码，看了10本以上的书，100篇的文献，实现里面全部的例子和思想了呢我们差得很远但是我们服气吗，我们认输了吗，我们不再努力了吗什么时候有中国的JPEG2022呢，什么时候我们能毫无保留的进行坦诚的沟通和无私的共享呢，什么时候我们把学术的铜臭拨掉，把做小波看成一次和上苍对话的机会，和真理的交锋呢我始终在问自己这些问题为关于学术的单纯的问题我找到了答案在研学上因此，我毫无保留的关心大家，同时也在修正自己我开头变得勤奋，开头编每个需要的程序，而基本上不用MATLAB供应的任何函数，除非是概念性验证我和全部那些从事这小波事业的人们一样，为实现这上面单纯而坚决的疑问而不停奋斗我和你们一样，是一个奔跑着，一个向着小波的科学和真理殿堂不辞辛苦的奔跑者即使路上满是荆棘，即使我们会临时的迷失方向，但我信任小波这朵最漂亮的奇葩，会以它最漂亮的身姿，最沁人的芳香，指引着我们让我们结伴而行吧！我是引路者，也是跟随者和你们一样，怀揣幻想，一起努力虽然汗流诙背，虽然荆棘满身，但胜利终会来的我悯悯驾信，我正在奔跑，像春天里的孩子。