还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第28讲仿射变换整理西M伊州日电企
一、问题综述272X=一设椭圆C:J+)7=l(a/0)作变换得单位圆C,:/+)/2=1记点4百》)4(工2,y2)在变a-夕=)1b换0下的对应点分别为A(x;y;)B(£%)设直线AB和4的斜率分别为(斜率存在且非零),AAO3和AAOB的面积分别为SS.则变换/有以下性质性质1共线结合性,HPAB=AAC=AB1=^A!C///2/;///;;AcCoAeU.性质2k=”或工上.aka证明攵=三=丝口=2攵,.々一百a(另一x;)a性质3线段中点E变成线段A9中点£.性质4直线与曲线的位置关系保持不变.性质5直线44上线段成比例,则变成直线49上对应的线段仍成比例.q性质6S=abS或一=ab»S,证明由于S=—|xir2~x2\\=a^~\x\y2一xj;|=abS,即证之.22性质7设线段AB在伸缩变换仁下的像为AA明显在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系,但是我们可以采用斜率的不变关系(性质2)查找|人河|人为1的关系即设线段AB所在直线斜率为k则的=F厂==j|河KF后再)2
二、典例分析类型1取值范围型【例1】设直线),=-1和椭圆工+二=1有且仅有一个公共点,求攵和,〃的取值范围.4m解析令2,则已知椭圆和直线变为相应的圆O/+)C=]和直线2履,一诟、,—]=()m要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点,只要相应的直线与圆相切.II将椭圆]+,2=I伸缩变换成x2+y2=1设OABEP分别对应于点O、4*£产,考虑到SAQ8=§|人8—XBA|,贝U=g\^A1后一XB*[乎=由OP=fOE有OP=/O£设ZA7£=a由于NOE4=工,2|OE||0E|1故cosa-\;=;=-|0W|\OfP]t又S4/*=gxlxlxsin2a=手,如•r6故sin2tz=—2又2a为三角形内角,故2a=2或生,则二二工或工,3363综上t=---=-i或2cosaJ3BI12G_x即,t=或f=
2.3由直线和圆相切的充要条件可知/।J=1即/〃=1-4/42行+m故得0Kl即01-4公41解得22【方法小结】转化到直线与圆相切,建立参数关系式,采用二次函数最值求解.类型2三角形面积最值型22【例2】若A及是椭圆++方上的三点,求AA8C面积的最大值.此时椭圆的内接MBC就变成圆的内接AA8C而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大,从而Sj宣u的最大值是乎,还原到椭圆中,由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知,SMfiC的最大值是记励.4【例3】已知椭圆捺+£=1〃〃0面积为2而的椭圆内接四边形有.A.1个B.2个C.3个__解析对椭圆£+£=1人〉0做伸缩变换“,椭圆就变成圆/+y,2=]h~,=£rb此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形,当椭圆的内接四边形的面积2时时,其对应的圆内接四边形的面积就是2abx—=2ab由平面几何学问知圆的内接正方形的面积为2而这样的内接正方形有很多个,还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有很多个故选D.【例4】(2022年高考全国新课标1卷理第20题)已知点A(O-2)椭圆E二+马=1(方0)的离心率为crb~—小是椭圆E的右焦点,直线4尸的斜率为空,O为坐标原点.23(I)求上的方程;(II)设过点A的直线/与石相交于RQ两点,当AOPQ的面积最大时,求/的方程.解析(I)椭圆石的方程为工+丁=
1.,一人2(II)由伸缩变换*=5椭圆土+丁=1(如下图)变成了单位圆/+)/2=1f4[y=yA(0-2)变为4(0-2)设直线PQ的方程为y=kx-
2.原点O到直线P的距离为d=圆与直线相交,则需要满意41从而易得223则|91=2川-/=2”则当且仅当2-3=4即人士/7时,(S*,o)=-此时直线I的斜率为土24且(2也)1rax=(SQ)1rax二?〃)2=1又直线/过点A(0-2)所以直线/的方程为y=^x-2或y=-1x-
2.【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题,可以用性质2和6求解.类型3四边形面积型22【例5】(2022年高考全国新课标2卷理科第20题)平面直角坐标系X,中,过椭圆M「+马=右/b~焦点的直线x+y-6=0交M于A8两点,户为43的中点,且OP的斜率为;.(I)求M的方程;(IDCO为M上的两点,若四边形AC皿)的对角线CD_LAB求四边形的最大值.x=—解析在伸缩变换*:“下,椭圆(如下图)变成圆,(I)由伸缩变换性质知3=038=_且弓,产=0弓「二色bbb2b又在椭圆中为AB的中点,则在单位网中P为的中点2则OP±A,故k.kop=一/二一12b即a2=2b2乂由于直线x+),-6=()过椭圆的右焦点,则c=J5于是a=娓b=g则椭圆M的方程为《+广=
1.63(II)由C£_LA8知Qd=1则在单位圆中^AB=*k.B=一丘kcD==应设A8与C间的夹角为a则tana=V2--V2l+^--V2=2\/2»则sina=2/Z3又直线AB变换为直线AB其方程为缶+了-1=0则[4冏=2川-加=乎又Wd-=+®ISsina=^-\CD\苧当CD为圆的直径时取等号,由伸缩变换的性质知Sabcd=abS^BCD=^^^ahCD-~~•【方法小结】对于四边形面积问题,在单位圆中采用三角函数的有界性和性质6求解.类型4距离型【例6】在椭圆]+=1上求一点,使它到直线/:3x-
2.y-16=0的距离最短,并求此距离./=-2则已知椭圆和直线/变为相应的圆x2+)/2=1和直线/6V—2疗),-16=0从而所求问题变为在圆/+)=]上求一点到直线/,6£-25/7),-16=0的距离的最短问题由平面几何学问可知过圆x2+,2+的圆心o(oo)作直线/的垂线段,交圆于点尸(4力,点f到垂足的距离最短,由直线r的垂线op y=一工和圆/+),2=1相交33解方程可求得点为厂则相应椭圆所求的点为3_72~4所求最短距离为373x-+2x--1624西+因871313【方法小结】距离最短,转化为单位圆中的垂线段最短,联立方程后得到点的坐标,用点到直线的距离求解即可.类型5证明型22【例7】如图,椭圆C:三+2=1(4/»0)(其中)与过点A
(20)B(0l)的直线有只且只有1个公共点7,且a~b~椭圆的离心率e=—.2(I)求椭圆的方程;(II)设0行分别为椭圆的焦点,M为线段4%的中点,求证:解析:(I)如下图采用伸缩变换,%x=—“,椭圆上的点变换为圆AT8上的点,由于切线的方程为2+),=1T2所以切线的方程为1/+与,=1,由点0到切线A0距岗d=.1=1得3*4又七=冬解得〜叫从而椭圆方程为5+2/=].(II)由点A
(20)B(0l)可变换得4
(0)(0及卜由于OW=OB\OTA.AB所以|A7l=g|A7T|.由性质2可知|Ar|=g|A4|=q在椭圆中易得14M=1-且|4用=2+乎«2从而|A7f=M6MM,即耨=慌,又Z.TAFX=ZMAT从而iTAFxMAT得ZATM=ZAFJ.【方法小结】用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理,解答过程完全退去了代数运算的成分,而是通过图形的几何性质进行解答,化繁为简,事半功倍类型6相切轨迹型【例8】(2022年广东省数学高考理科试题第20题)已知椭圆C:\+,=1(O/a0)的一个焦点为(底卜离心率为手求椭圆C的标准方程;II若动点打飞为)为椭圆外一点,且点P到椭圆的两条切线相互垂直,求点尸的轨迹方程.解析:II厂-I1=194如图,设点AR8在伸缩变换从而/=-j下的像分别为4产0可知尸得母=2339kp^kpR=—kPA—kP[i-直线PW心与圆0相切,设过点P的圆的切线方程为y-^=k即6H-6),+3先-2依)=0»从而圆心O到切线的距离为d一21=1即66k2+36(4■一36)M-]2而),0々+94-36=0依据韦达定理知,化简得Xq+Jo=13»故点的轨迹方程为』+y2=
13.【方法小结】在单位圆中得到切线方程,用点到直线的距离建立二次方程,用韦达定理得到kp,A,kpB,=9『6即可求得轨迹方程为x2+r=
13.4君-364类型7定值型【例9】(2022年重庆卷理科第20题)如题
(20)图,椭圆的中心为原点O离心率e=也,一条准线的方2程为x=
2.(I)求该椭圆的标准方程;(II)设动点P满意OP=OM+2ON其中M.N是椭圆上的点,直线OM与QN的斜率之积为-工,问是2否存在两个定点耳B,使得归用十户局为定值?若存在,求6鸟的坐标;若不存在,说明理由.解析(I)所求椭圆的方程为¥•+£=142/=-(II)在伸缩变换2的作用下(如下图)[y=i椭圆+弓_=|变为圆f2+)/2=]koMk()N=变为^OM^ON=一1,点、MNP变为点MN;P.在圆中,由电必决办”=-1,知设P3yMcosasinaNcos!«+yLsin7Ca+—2即N-sinacosa由于OP=OAT+2OW所以x=cosa-2sinay=sina+2cosa两式平方相加,得x2+y,2=5即点P的轨迹为圆/+了2=5由伸缩变换知在椭圆中,点尸的轨迹为椭圆工+上=12010所以存在两个定点网-Jii外、/Wo使得归用+|p=
46.【方法小结】采用单位圆的参数方程得到点P的轨迹为圆/+,2=5通过伸缩变换得到点尸的轨迹为椭圆]+《=1所以存在两个定点川-加0%/0使得|「|+陷|=4石.
三、巩固练习
1.2022年浙江省数学高考理科试题第21题如图,设椭圆C1+与a2b2=\ab0动直线/与椭圆只有一个公共点P,且点P在第一象限.I已知直线/的斜率为3用次表示点的坐标;H若过原点O的直线丸与/垂直,证明点P到直线乙距离的最大值为a-v
2.
22、2022年江苏卷理科第18题如图,在平面直角坐标系xQv中,MN分别是椭圆、+]=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于尸A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C连接AC并延长交椭圆于点B设直线PA的斜率为k.I当直线24平分线段MN时,,求攵的值;II当攵=2时,求点尸到直线的距离4;III对任意%0求证PALPB.
3.2022年山东高考理文科第22题在平面直角坐标系X,中短轴长是2离心率为争।心出原点c,焦点在x轴上1求椭圆的方程;IIA8是椭圆C上满意三角形AO8的面积为迎的任意两点,E为线段的中点,射线QE交椭圆C于4点尸.设=求实数/的值.参考答案:
1.第1小题的伸缩变换解法如下:X=—22”的作用下,椭圆:三十勺二心〉〃〉)变换为圆ya~b-=—bx2+y1=1椭圆上的点P(%),%)变换为圆上的点过点P的切线/变换为过点P的切线且《=州勺=且女,bb由点P,在圆.J+y,2=1上得与+箕=1
①,〃2b2由P_L/得电户即=一1从而也襄=一1风b即与=-噜,代人
①式可得点』.U2+一Ja2k2+b2J
2.解析([)(H)略.VX-32(III)在伸缩变换油2的作用下,椭圆工+^=1(如图)变成了单位圆J+y,2=|y,=i42P(刖%),8(再凶)变为P5kp^kpy~-2得皿上弘=-22%曲一天91o%M乙—j=~j=7=得31*8应=一
22.包包—五222即九.九口=_]与刘一再即%尸8=一1,故%
3.解析(I)略。