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1.因式分解定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解即多项式-几个整式的积例—ajc+—bx=—xa+b333因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程.因式分解的方法1提公因式法
①定义如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式的各项都含有的相同的因式公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式或多项式例1243吐_8/吠3+6〃4或2的公因式是.解析从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是
12、-
8、6,它们的最大公约数为2;字母部分、比,/比3〃4无2都含有因式a3b2c,故多项式的公因式是2a
②提公因式的步骤第一步找出公因式;第二步提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提公因式后剩下的另一个因式注意提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简多项式中第一项有负号的•要先提取符号例1把⑵26—18/-24/加分解因式.解析本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次器是ab,故公因式为6ab0解1246_18必2_24/步例2:把多项式3%-4+%4-%分解因式解析由于4-x=-x-4多项式3%-4+%4-尤可以变形为3%一47尤-4我们可以发现多项式各项都含有公因式x-4所以我们可以提取公因式%-4后再将多项式写成积的形式.解3%—4+x4—%例3:把多项式-%2+2分解因式角牛一%2+2%-—%—2%=—%%—22运用公式法定义把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法注意平方差公式a-/=〃+ha-b.
①公式左边形式上是一个二项式,目两项的符号相反;⑵每一项都可以化成某个数或式的平方形式;
③右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积.完全平方公式a2+2ab+b2=a+b2
①左边相当于一个二次三项式;
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式;
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍•符号可正可负;
④右边是这两个数或式的和或差的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式例1因式分解〃_14+49解q2_i4a+49=3—72例2因式分解/+2ab+c+Z+角牛CT+++/+C2—6Z+b+c23分组分解法拓展
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解;例把多项式他-0+8-1分解因式角牛cib—6+/—1—ab—ci-\-b—1—ub—1+S—1=a+1Z-1
②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例:将多项式4—2而-1+廿因式分解解a2-2ab-l+b24十字相乘法形如丁+〃+幻%+网=+〃+/开乡式的多项式,可以考虑运用此种方法方法常数项拆成两个因数p和q,这两数的和〃+夕为一次项系数例分解因式%2一%—30d+52x+100补充点详解我们可以将-30分解成pxq的形式,分解成pxq的形式.使p+q=-lpxq=-30我们就有p=-6pxq=100我们就有p=2q=5或q=-6p=5°q=2p=50°所以将多项式%+p+q%+pg可以分x2+p+qx+网可以分解为%+〃%+/.因式分解的一般步骤:如果多项式有公因式就先提公因式•没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式,通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式因此,可以概括为「一提、二套、三分组、四十字注意因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式。