古希腊三个著名问题之一的三等分角

古希腊三个闻名问题之一的三等分角，现在美国就连很多没学过数学的人也都知道.美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到很多角的三等分者的来信;并且，在报纸上常见到某人已经最终地解决了这个不行捉摸的问题.这个问题的确是三个闻名的问题中最简洁理解的一个，由于二等分角是那么简洁，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的简洁呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简洁的事；或许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时提出了三等分角问题；或许更有可能这问题是在作正九边形时产生的在那里，要三等分一个60角.在讨论三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向vergingproblem问题.任何锐角ABC参看图31可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角.考虑过B点的一条线，它交CA于E交DA之延长线于F且使得EF=2BA.令G为EF之中点，则EG=GF=GA=BA从中得到zABG=zAGB=zGAF+zGFA=2zGFA=2zGBC并且BEF三等分/ABC.因此这个问题被归结为在DA的延长绩口AC之间，作一给定长度2BA的线段EF使得EF斜向B点.假如与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段EF=2BA然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC上，F在DA的延长线上；则/ABC被三等分.对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是插入原则（theinsertionprinciple）的一种应用.这一原则的其它应用，参看问题讨论

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6.为了解三等分角归结成的斜向问题，有很多高次平面曲线已被发觉.这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯（约公元前240年）发觉的蚌线.设c为一条直线，而为c夕可一点，P为c上任何一点，在P0的延长线上截PQ等于给定的固定长度k.于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点0和常数k的蚌线（conchoid）（实际上，只是该蚌线的一支）.设计个画蚌线的工具并不难

①，用这样一个工具，就可以很简洁地三等分角.这样，令/AOB为任何给定的锐角，作直线MN垂直于0A截0A于D截0B于L（如图32所示）.然后，对极点0和常数2（0L），作MN的蚌线.在L点作0A的平行线交蚌线于C.则0C三等分/AOB.借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法.对于这种方法的最早证明是帕普斯（Pappus约公元300年）.采用二次曲线三等分角的两种方法在问题讨论

4.8中可以找到.有一些超越（非代数的）曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分.在这这样的曲线中有伊利斯的希皮阿斯（Hippias，约公元前425年）创造的割圆曲线（quadratrix）和阿基米得螺线（spiralofArchimeds）.这两种曲线也能解圆的求积问题.关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题讨论

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10.多年来，为了解三等分角问题，已经设计出很多机械装置、联动机械和复合圆规.

①参看R.C.Yates.TheTrisectionProlem.其中有一个好玩的工具叫做战斧，不知道是谁创造的，但是在1835年的一本书中叙述了这种工具.要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开头，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU如图33所示.用战斧三等分/ABC时，将这一工具放在该角上，使R落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D.于是证明WSB〃TSBiTDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角.可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上.在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角（用两个战斧，则可以五等分一个角）.欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法能作出相当好的近似的三等分.一个卓越的例子是闻名的蚀刻师、画家A.丢勒（AlbrechtDurer）于1525年给出的作图方法.取给定的/AOB为一个圆的圆心角（参看图34）设C为弦AB的靠近B点的三等分点.在C点作AB的垂线交圆于D.以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E.设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G.那么，0G就是/AOB的近似的三等分线.我们能够证明三等分中的误差随着/AOB的增大而增大；但是，对于60的角大约只差1〃，对于90角大约只差18〃.只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题古希腊数学家阿基米得（前287■前212）发觉只要在直尺上固定一点，问题就可解决了现简介其法如下在直尺边缘上添加一点P命尺端为0设所要三等分的角是/ACB以C为圆心，0P为半径作半圆交角边于AB;使点在CA延在线移动，P点在圆周上移动，当尺通过B时，连OPBe由于OP=PC=CBf所以/COB=zACB/3。