变分法基本引理与证明

变分法基本引理与证明

一、基本引理:设C*代表人阶导数连续及阶光滑的函数空间，代表无限光滑的函数空间若任意九1G”[dU满意下列两式则Vz€a.b:fx=0设〃zeC8反6]Proof令r0满意下列两个条件ra=rb=

0.Vt€a.b:rz

0.由于只要存在一个满意条件的八工使得/工=°那么不论有没有其他同样满意条件的M0此结果/力=都会为真，因此我们只须证明其中一个特例所以可令力=1/1这就是一个特例由hx=可得到0=/fxhxdx=，rxfx2dxJHJtko由于r0在6是正值，所以/©必需恒等于0define:/x2=g%0下证Cgxrxdx=0其中gx0rx0对VxG[ab]上成立必有gx=0VxG[ab]oproof由积分中值定理得30E[ab]s.t.g^r^dx=r0gxdx=

0.andr0故gxdx=

0.下面用反证法:假设m6H0i.e.下〃

0.由连续函数的局部保号性得:360s.t.在去心邻域|1—3+5中gxN

0.所以:Jebr[l-8r/Z+5rbgxdx=Igxdx+Igxdx+Igxdx0aJq1-8上式中第13项大于等于0而其次项严格大于

0.与题设冲突，则原假设不成立得证gx=0forall%6[见句，也即，gx=/汽2=三

0.即Vz€a6:/x=0o

三、欧拉方程的推导max广产上第/6]也其中%〃表示函数以对t的一阶导数设已经解得xt”subjecttoxt0=xQ%Qi=与设已经解得最优解％*。