易错点14 计数原理（解析版）

易错点14计数原理易错分析易错点

1.基本计数原理错误1分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.2分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.易错点

2.排列与组合分辨不清.排列与组合的概念.排列数与组合数⑴从n个不同对象中取出机〃W〃个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出〃7个对象的排列数，用符号A9表示.2从n个不同对象中取出血个对象的所有组合的个数称为从〃个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C#表示..排列数、组合数的公式及性质项为40/与80/2由1〃=5即求Ss=C；+2C；+2C；+23C；+24C；1+2x5=C；2x°+Cj2x+C；2x2+C；

2.r+C；2x+C^2x5[2:5=1+2C；+22C^+2P；+24Cj+25C故S’==121][3:2]=C；+2cx+22*+23cd+2yf+2$C%5故令x=1有易错点

3.二项式定理相关公式和性质错误.二项式定理

（1）二项式定理（a+）〃=+Cj/一力+…+C犷/+…+eN）；

（2）通项公式/+|=居即至，它表示第任j_项；⑶二项式系数二项展开式中各项的系数C9，Ci，C；；..二项式系数的性质

3.各二项式系数和

（1）（+与”展开式的各二项式系数和C9+CJ+C升…+©=£.⑵奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即c9+c2+ci!+…=G+a+c+・・=zr

2.错题纠正.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1230号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A.25B.32C.60D.100【答案】C【详解】要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24根据分类加法计数原理可得选出的情况有C+C=10+20=30种，然后将选出的两组进行全排列对应江西厅、广电厅，故确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是30A；=

60.故选C..已知（l+2x）”的展开式的各项系数之和为81则-=（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【详解】由题意，令x=l得（1+2）=3=81解得〃=

4.故选B.电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）.A.B.C.AA；D.【答案】A【详解】先排4个商业广告，则A即存在5个空，再排2个公益广告，则A；故总排法A A；故选A.（l-

2.r）s的展开式中，丁的系数为（）A.-160B.-80C.80D.160【答案】B【详解】（1一2村的展开式的通项是=（一2）人CW（A=

012345.）由题意，k=3因此，丁的系数是（_2）y=-

80.故选B.

5.佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入最较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A.240B.180C.690D.150【答案】A【详解】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个门2人有C C；A；=120种，第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，C C C；=90种，第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有C A=3种，所以不同的分配方法种数是120+90+30=

24.故选A举一反三.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】B【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有3!x2x2=24种不同的排列方式，故选B.若2X-1，则/+42+4=[4:样滑冰加短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短]A.40B.41C.-40D.-41【答案】B【详解】令x=l，则4+〃3+电+4+%=1，令x=—1则4—3+—%+%=-3=811+

81.以4+2+0=---=41故选B..现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是A.12B.120C.1440D.17280【答案】C【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有8种情况.所以共有C C；6=1440种不同安排方法.故选C（1-工丫的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A.0B.-1C.-32D.32【答案】D【详解】（1-力’的二项展开式中所有项的二项式系数之和为25=32故选D

5.某值FI小组共有5名同窗.假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A.10B.20C.60D.100【答案】A【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面E生，共有C；=10种安排方式.（选取3人后剩下2名同窗干的话就定了）故选A易错题通关*[5:

一、单选题

1.下列不属于口-2）3的展开式的项的是（）A.丁B.6x2C.12xD.-8【答案】B【详解】由二项式定理可知，一2）3=丁-6/+124-8故6/不是展开式的项.故选B][6:（2x-y）6的展开式中，fy，项的系数是（）A.30B.-30C.60D.-60【答案】C【详解】由题意却=晨（2》用（一方，当厂=4时，凸项的系数是15x4=60故选C][7:2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花]道速滑各需要一名，男女不限.则不同的支援方法的种数是（）A.36B.24C.18D.42【答案】A【详解】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有C；C；=6种；第.步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有C；=3种；第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有C；=2种；依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是6x3x2=36故选A.

4.已知（x+2）的二项展开式中，第三项与第〃-2项的二项式系数和为84则第四项的系数为（）A.280B.448C.692D.960【答案】B【详解】由题，如=C xLx2因为第三项与第〃-2项的二项式系数和为84所以C+C；3=84即C+C=84所以」——L+——△^=84解得〃=823x2所以第四项的系数为C；xI8-3x23=448故选B.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去A仇三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C【详解】将甲、乙看成一个元素4然后将A、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有种，再将3组分到3个不同小区有A；=6种，所以满足条件的安排方法共有6x6=36种.故选C.现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是（）A.26B.35C.53D.62【答案】B【详解】设男生有4人，则女生有（8-力人，且8xN

2.由题意可得CC；7A；=90即®_（8一九=90得工=3故8—x=5即男、女学生的人数分别是

35.故选B..为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师”县管校聘，，管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A.2640B.1440C.2160D.1560【答案】D【详解】6人分组有2种情况22113111所以不同安排方案的总数为（嬖+C）A=

1560.故选D..某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务6人中有4名“熟手”和2名“生手”1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要I名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）【答案】C【详解】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为211的三组，再分配到3个检测点，共有然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A；种分法，所以共=216种不同的分配方案.故选C.

二、多选题.（x+j的展开式中，下列结论正确的是（）A.展开式共6项B.常数项为160C.所有项的系数之和为729D.所有项的二项式系数之和为64展开式的通项公式为Cjz令6-2r=0得r=3常数项为C2=16，B正确;展开式的所有项的系数之和为36=729C正确;由二项式系数的性质得仆+21展开式的所有项的二项式系数之和为26=64D正确.故选BCD.

10.信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括号组成.合法括号序列可以按如下方式定义:

①序列中第一个位置为左括号；

②序列中左括号与右括号个数相同；

③从序列第一个位置开始任意截取•个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数.例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（O都不是合法括号序列.一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度.若A和8都是括号序列，则A8表示将B拼接在A后得到的括号序列.根据以上信息，下列说法中正确的是（）A.如果A8是合法括号序列，则A8也是合法括号序列B.如果AB是合法括号序列，则AB一定都是合法括号序列C.如果

（八）是合法括号序列，则A也是合法括号序列D.长度为8的合法括号序列共有14种【答案】AD【详解】由题意知如果4B是合法括号序列，则也是合法括号序列A正确；对于BA8为（（））（）为合法括号序列，但取4为（（，B为））（）显然都不是合法括号序列，故B错误；对于C如果（A）是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，但A为）（，不是合法括号序列，故C错误对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，分类考虑

（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列有1个；

（2）当前4个位置有3个左括号时，则第234个位置任取两个位置是左括号，第567个位置任取一个位置是右括号，故满足条件序列共有C7C；=9个

（3）当前4个位置有2个左括号时，则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第67个位置有一个为左括号满足条件序列共有C1C；=4个，综上，共有1+9+4=14个，D正确，故选AD.

三、解答题II.A8C，七五人站成一排.DA8两人相邻的不同排法有多少种？2AB两两不相邻的排法有多少种？3A4都与相邻的不同排法种数有多少种？44BC顺序一定的排法有多少种？【答案】1第一步将A8全排列有A；=2x1=2种不同的排法；第二步将A8看成一个整体再与CDE全排列有A=4x3x2xl=24种；由分步计数原理得，共有2x24=48种不同的排法.第一步将，E全排列有A；=2xl=2种不同的排法；第二步将ABC全排列进E形成的三个空中有A；=3x2xl=6种；由分步计数原理得，共有2x6=12种不同的排法.第一步将A8排列在C的两旁有A；=2xl=2种不同的排法；第二步将ABC看成•个整体再与，石全排列有A；=3x2xl=6种由分步计数原理得，共有2x6=12种不同的排法.因为ABC顺序一定，则只需将，E位置找到并排好即可，则有A；=5x4=20种不同的排法.

12.已知1+2””的展开式中所有项的系数和是

243.I求〃的值，并求展开式中二项式系数最大的项；⑵求S.=C+2C；++2，C+…+2M-C；值.【答案】1由题意，令x=l有1+2=243解得〃=5故展开式中二项式系数中最大的为C；=C；=10为第3项7；=C；.2x2=40/与第4项7；=C；2x3=80x3即展开式中二项式系数最大的名称定义排列从n个不同对象中取出个对象并按照一定的顺序排成一列称为从〃个不同对象中取出m个对象的一个排列组合并成一组称为从〃个不同对象中取出〃7个对象的一个组合公式

（1）A7—〃（〃一1）（〃一2）・・・（〃一〃2+1）—/、一A；；n（«—1）（—2）…（〃一加+1）

（2）-A；厂加n।-z、1（〃，，〃£N*且〃W〃）.特别地C9—1性质10!=LA；；=〃！.⑵Ch=C7；，山+夕=说性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C#=cg^增减性二项式系数a当攵V25N*）时，是递增的当心＞2（〃£N*）时，是递减的二项式系数最大值当〃为偶数时，中间的一项■取得最大值•-

1、■一】当〃为奇数时，中间的两项与C，’相等且取得最大值。