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高数(上)期末试题这套题是昨天我和群里另一位同学组的一套试卷,整体题量不是特别大,没有出特别偏的题目考虑到大部分大学的期末高数题都出的很简单,题目的选取比较偏向于课本内容,部分题目是课本原题改编而来如果你想做限时测试的话,建议用时是100分钟(闭卷)高数A和高数B的进度不同,所以若本试卷有你没学到的内容,不做即可如果你喜欢这个系列,还请多多点赞支持,反馈好的话后面还会加更模拟题参考答案及解析
一、填空题(每小题3分,共10小题)\lim\limits_{x\toO}\frac{\ln\cosx}{x^2}=\lim\limits_{x\to0)\frac{\cosx-1}{x2}=\lim\limits_{x\toO}\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x2}=-\frac{1}{2}o当x=l时,y=0等式两边对x同时求导得:\leq\left|f\leftx_l\right-f\left0\right\right|+\left|f\leftx_2\right-f\leftx_l\right\right|+\left|f\leftl\rightx_2\right\right|o\leq1故\left|f\leftx_l\right-f\leftx_2\right\right|\leq\frac{1}{2}♦{}T+yX}e=0当x=l时,y-{}=\frac{l}⑵故切线方程为y=\frac{l}{2}x-\frac{1}{2}I=\int\frac{\ln\lnx}{x}dx=\int\ln\lnxd\lnx设t=\lnxI=\int\lntdt=t\lnt-\intdt=t\lnt-t+C代入t=\lnx得I=\lnx\ln\lnx-\lnx+C
①因为\lim\limits_{x\toO}\frac{1+x}{l_e^{-x}}=\infty故x=0为铅直渐近线
②因为\lim\limits_{x\to-\infty\frac{1+x}{l_e^{-x}}=0故y=0为水平渐进线
③因为\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{y}{x}=\lim\limits_x\to+\infty}\frac{1+x{x}\frac{1}{1+e^{_x}}=1\lim\limits_x\to+\infty}\lefty-x\right=\lim\limits_{x\to+\infty}\left\frac{1+x}{l_e^{-x}}~x\right=lo故y=x+l为斜渐近线所以本题答案为3\frac{dy}{dx}=2xe{x2}f{}\left{x2}\right\Rightarrowdy=2xe{x2}f八{}\left{x2}\rightdx由拉格朗日中值定理知\exists\xi\in\left01\rightf八{}\left\xi\right=\frac{f\left1\right0\right}{l_0}o因为fX}\leftx\right0则f{,}\leftx\right单调递增\Rightarrowf}\left0\rightf八{}\left\xi\rightf}\left1\right\Rightarrowf{}\left0\rightf\left1\right-f\left0\rightf{,}\left1\right设C=\int_{0}{2}f\leftx\rightdx则f\leftx\right=x2-C\Rightarrow\int_{0}{2}f\leftx\rightdx=\int_{0}{2}x^2dx-C\int_{0}C{2}dx\RightarrowC=\frac{8}{3}-2C\RightarrowC=\frac{8}{9}\Rightarrowf\leftx\right=x2-\frac{8}{9}由题意知极限\lim\limits_{x\toO}f\leftx\right存在
①当a二1时分母x-\sinx\sim\frac{1}{6}x^3x\toO由于分子的最高阶数为2此时极限必不存在
②当aWl时分母ax-\sinx\sim\\lefta-l\rightxx\toO此时不论b取值如何,极限都必然存在故aWlb\inR\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2t}{-eX-t}}二-2t「{t}\frac{T{2}y}{dx2}=\frac{\frac{dy{}}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-2\leftt+1\rightet}{-e{-t}}=2\leftt+1\right屋{2甘当TVx0时,t0故此时\frac{dy}{dx}0\fracd{2}y}{dx-2}0\Rightarrowf\leftx\right单调递减且图形为凹
二、解答题共10分本题可利用洛必达直接计算,下面给出一种更简便的解法设f\leftx\right=\sin\sinxg\leftx\right=\cos\cosx由柯西中值定理知\exists\xi\in\left\cosx1\right\fracf\left\cosx\right-f\left1\right}{g\left\cosx\right-g\left1\right}=\frac{f{,}\left\xi\right}{g^{,}\left\xi\right}o当x\to0时,\xi\tol故\lim\limits_{x\toO}\frac{\sin\sin\cosx-\sin\sin1}{\cos\cos\cosx-\cos\cos1}=\lim\limits_{\xi\tol}\frac{f{}\left\xi\right}{g^}\left\xi\right}=\lim\limits_{\xi\tol}\frac{\cos\sin\xi\cos\xi}{\sin\cos\xi\sin\xi=\frac{\cos\sinl\cosl}{\sin\cosl\sinl
三、解答题共10分由题意知x°2+px+q=0必有两相异实根分别设为a、b则有:y=\frac{l}{x^2+px+q}=\frac{1}{\leftx-a\right\leftx-b\right}=\frac{1}{a_b}\left[\frac{1}{x-a}-\frac{1}{xb}\right]o故{\leftn\right}=\frac{1}{a-b}\left[\frac{\left-1\right八{n}n!}{\leftx-a\right{n+1}}-\frac{\left-1\right{n}n!}{\leftx-b\right{n+1}}\right]o代入a=\frac{-p+\sqrt{p2_4q}}{2}b=\frac{-p-\sqrt{p2-4q}}⑵\Rightarrow{\leftn\right=\frac{1}{\sqrt{p^2-4q}}\left[\frac{\left-1\right{n}n!}{\leftx-\frac{-p+\sqrt{p2_4q}}{2}\right{n+1}}-\frac{\left-1\right{n}n!}{\leftx-\frac{-p-\sqrt{p2_4q}}{2}\right-{n+1}}\right]o
四、解答题共10分令t=\sqrt
[3]{\frac{x+l}{xl}}则x=\frac{t3+1}{t3-1}\Rightarrowdx=-\frac{6t2}{\leftt3-1\right2}dt故\int\frac{l}{x^2-l}\sqrt
[3]{\frac{x+l}{x_l}}dx=\int\frac{\leftt3-1\right^2}{4t^3}t\frac{-6t2}{\leftt^3-l\right^2}dt=-\frac{3}{2}\intdt=-\frac{3}{2}t+C=-\frac{3}{2}\sqrt
[3]{\frac{x+l}{x_l}}+C
五、解答题共13分令x=a+b-t则\int_{a}{b}f\leftx\rightdx=\int_{b}{a}f\lefta+b-t\rightd\lefta+b-t\right=\int_{a}{b}f\lefta+b-t\rightdt=\int_{a}{b}f\lefta+b-x\rightdx故本题证毕因为x=\frac{a+b}{2}为f\leftx\right的对称轴则有f\lefta+b-x\right=f\leftx\right令x=a+b-t则\int_{a}{b}xf\leftx\rightdx=\int_{b}{a}\lefta+b-t\rightf\lefta+b-t\rightd\lefta+b-t\righto=\int_{a}{b}\lefta+b-t\rightf\lefta+b-t\rightdt=\int_{a}{b}\lefta+b-t\rightf\leftt\rightdt=\lefta+b\right\int_{a}{b}f\leftt\rightdt-\int_{a}{b}tf\leftt\rightdt=\lefta+b\right\int_{a}{b}f\leftx\rightdx-\int_{a}{b}xf\leftx\rightdx即\int_{a}{b}xf\leftx\rightdx=\lefta+b\right\int_{a}{b}f\leftx\rightdx-\int_{a}{b}xf\leftx\rightdxo故\int_{a}{b}xf\leftx\rightdx=\frac{a+b}{2}\int_{a}{b}f\leftx\rightdx故本题证毕
六、解答题共13分同济高数上册P282
七、解答题共14分不妨设0\leqx_l\leqx_2\leq1若上述范围取等号则易证结论成立故考虑0Vx」Vx_2Vl在区间\left0x_l\right\leftx_lx_2\right\leftx_21\right上分别使用拉格朗日中值定理有f\leftx_l\right0\right=x_lf{,}\left\xi_l\rightf\leftx_2\right-f\leftx_l\right=\leftx_2_x_l\rightf}\left\xi_2\rightf\leftl\right-f\leftx_2\right=\leftl-x_2\rightf{f}\left\xi_3\right故\left|f\leftx_l\right-f\left0\right\right|+\left|f\leftx_2\right-f\leftx_l\right\right|+\left|f\leftl\right-f\leftx_2\right\right10=\left|x_lf{}\left\xi_l\right\right|+\left|\leftx_2_x_l\rightf}\left\xi_2\right\right|+\left|\leftl-x_2\rightf}\left\xi_3\right\right|o=x_l\left|f{,}\left\xi_l\right\right|+\leftx_2-x_l\right\left|f{J}\left\xi_2\right\right|+\leftl-x_2\right\left|f{,}\left\xi_3\right\right|o\leqx_l+\leftx_2_x_l\right+\leftl-x_2\right二1所以2\left|f\leftx_l\rightx_2\right\right|=\left|2f\leftx_l\right-2f\leftx_2\right\right|o=\left|f\leftx_l\right-f\left0\right-\left[f\leftx_2\right-f\leftx_l\right\right]+f\left1\right-f\leftx_2\right\right|o。