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文本内容:
分析专题课程教学大纲课程英文名称课程编号学时64学适用对象数学与系统科学学院本科各专业开设学期第七学期修课程数学分析周学时4开课单位数学与系统科学学院先编写依据2017年版本科培养方案使用教材及参考书编写时间2017年7月教材数学分析十讲(第一版)刘三阳,李广民,科学出版社,2011年参考书数学分析上、下册(第一版)欧阳光中等主编,复旦大学出版社,2012年
一、课程教学目的和任务数学分析向来是大学数学专业最重要的基础课之一,是学生打开大学阶段数学学习局面、顺利进行后续学习和研究的关键课程对训练学生的数学基本功能和数学思维具有极其重要的作用.通过本课程的学习,学生对数学分析课程中的某些内容进行细嚼、深究、强化、扩展和融合,以便进一步夯实基础、加深理解、开阔思路、增强能力,在新的起点上强化训练、充实提高.为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.
二、课程教学基本要求
1、在传授知识时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力,逻辑推理能力,空间想象能力和自学能力还要注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力
2、本书以理引法、以例释理、以例示法、借题习法、法例交融,既有一题多解(正),又有多题一解(正)、一法多用,例题和习题丰富多彩.多处穿插注记,启发思维和联想.
3、要求学生熟练掌握极限、连续函数和微分和积分的基本理论作为高等数学的补充和深化,本课程在思维方法上有较大的飞跃,为使学生能较好地适应这一过渡.适当加强习题的训练,培养学生的思维,论证能力
三、课程教学重点和难点重点用数学分析中的各种不同的定义和定理求极限的方法,实数系6个基本定理的等价性,凸函数的定义和判别条件,数项级数敛散性判别法的区别,函数项级数一致收敛的条件难点实数系的6个基本定理及其等价性,凸函数的几个不同定义和性质,数项级数推广的敛散性判别法和函数项级数一致收敛性的判别法
四、课程教学内容第一章求极限的若干方法[教学目的]通过本章教学,使学生明确极限的基本性质,掌握求极限的若干种不同的方法及技巧,几种在传统教材中少有介绍却比较简便的方法[教学要求]理解理解用导数的定义、用Lagrange中值定理、用等价无穷小代换、用Taylor公式计算数列和函数极限的方法了解Stolz定理及其性质,掌握用Stolz定理求极限的方法了解广义洛必达法则极其性质,掌握用广义洛必达法则求极限的方法[重点难点]重点用几种不同的方法求极限的方法.难点Stolz定理及其应用[教学内容]第一节用导数的定义求极限第二节用拉格朗日中值定理求极限第三节用等价无穷小代换求极限第四节用泰勒公式求极限第五节施笃兹定理及其应用第六节广义洛必达法则及其应用第二章实数系的基本定理[教学目的]通过本章教学,使学生明确关于实数系的基本定理及彼此间的区别,掌握6个基本定理以不同的方式从不同的角度刻画实数系非常重要的特性,即实数系的连续性了解这6个定理本质上的互相等价性[教学要求]理解实数系与数集的上下确界的概念、定理极其应用熟悉闭区间套定理,了解闭区间套定理的证明过程并且闭区间套定理的简单应用了解子列的概念并掌握致密性定理及其证明过程熟悉致密性定理的应用了解有限覆盖定理及其证明过程掌握有限覆盖定理在证明某些命题中的应用理解柯西Cauchy列和柯西收敛准则掌握柯西收敛准则在判断数列和函数列的收敛性中的应用[重点难点]重点上下确界的概念、闭区间套定理、有限覆盖定理.难点用上下确界、闭区间套定理、有限覆盖定理证明某些命题的方法与技巧[教学内容]第一节实数系与数集的上下确界第二节区间套定理第三节子列与致密性定理第四节有限覆盖定理第五节柯西收敛准则第六章凸函数及其应用[教学目的]通过本章教学,使学生了解国际上通用的凸函数定义,掌握凸函数的几种等价定义、重要性质、判别条件及其应用[教学要求]熟悉并掌握凸函数的定义及其性质、凸函数几种等价定义会用定义证明某些常用不等式了解凸函数的判定条件及其证明过程理解詹生JenSen不等式熟悉詹生不等式的证明过程会用詹生不等式证明其他不等式的方法与技巧[重点难点]重点凸函数儿种等价定义凸函数的重要性质、判定条件及其应用难点凸函数的应用,詹生不等式的应用[教学内容]第一节凸函数的定义和性质第二节凸函数的判定条件第三节詹生不等式及其应用第八章数项级数的敛散性判别法[教学目的]本章将数项级数敛散性的多种判别法加以深化、推广和灵活运用[教学要求]理解柯西判别法及其推广、达朗贝尔判别法及其推广、积分判别法与导数判别法、拉贝判别法与高斯判别法等几种不同的判别法掌握用上述判别判断一般项级数的敛散性[重点难点]重点利用推广的柯西判别法、推广的达朗贝尔判别法、拉贝判别法与高斯判别法判断数项级数的敛散性难点对已给定的数列级数用适当的判断方法来判断数列级数的敛散性[教学内容]第一节柯西判别法及其推广第二节达朗贝尔判别法及其推广第三节积分判别法与导数判别法第四节拉贝判别法与高斯判别法第五节一般项级数的敛散性判别法第六节数项级数综合题第九章函数项级数的一致收敛性[教学目的]通过本章教学,使学生了解对于无穷多个函数在什么样的条件下可逐项求极限、求导数以及求积分[教学要求]掌握函数项级数的定义及其相关概念理解函数项级数一致收敛的概念熟悉和函数与函数项级数的通项之间的关系理解一致收敛的函数项级数的性质掌握在什么条件下,和函数仍然保持连续性、可导性、可积性以及积分、求导与无穷求和运算交换次序的问题掌握函数项级数一致收敛的判别法[重点难点]重点函数项级数的定义及其一致收敛的概念一致收敛的函数项级数的性质,即在什么样的条件下,和函数仍然连续、可导、可积在什么样的条件下求和运算与求积或求导运算交换次序等问题函数项级数一致收敛的其他判别法难点对已给定的函数项级数用适当的判别法来判断它的一致收敛性[教学内容]第一节函数项级数的概念第二节函数项级数一致收敛的概念第三节一致收敛级数的性质第四节函数项级数一致收敛的判别法
五、实践环节无
六、学时分配总学时64学时其中课堂教学64学时;实践教学0学时课堂教学学时分配一览表
七、课程考试形式和要求本课程为考试课,考试采取“闭卷”(占100%)与“开卷”(占0%)相结合的方式进行其中,“闭卷”主要考查极限、实数系、凸函数、数项级数、函数项级数的基本概念、基本理论和基本知识,测评学生的理解、判断、分析、综合等能力考试题型有简答题,计算题,综合体最终考核成绩二期末综合成绩(80%)+平时成绩(作业及考勤20%)章目教学内容教学时数—*求极限的若干方法18实系数的基本定理12六凸函数及其应用8八数项级数的敛散性判别法16九函数项级数的一致收敛性10合计64。