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概率与数理统计一填空每空3分,共30分.PA=O.3P3=
0.4若A与3互斥,则PA+B=;若A与8相互独立贝UPA+3=.某检验员依次检验3件产品,设4表示第i件产品为次品的事件其中i为123又设5={三件均为次品}={至多2件为次品}用4表示3C则有3,C=.已知随机变量X的数学期望与方差分别为2和1则根据切比雪夫不等式可知P{|X-2|7}..设总体X〜3〃〃,XI9X2X〃是从总体X中抽取的一个样本,则参数p的矩估计量为力=是,不是参数p的无偏估计量..设总体X服从正态分布即X〜N〃q2x,X2,X〃是来自总体X的样本,则统计量/XLM2服从分布,自由度为.cr~
二、单项选择题每题4分,共20分.设A5为两个互不相容的随机事件,且P50则下列选项必然正确的是.AP4=l—尸⑻;B耳旬3=0;CDPAB=
0..设X~N/a2Y=aX-b其中、人为常数,且awO则丫〜.ANaju-ba2a2+Z2;BNa/n+ba2a2-Z72;CNa/Li+ba2a2;DNa/u-b42b
23.DX=3Dy=2Xy相互独立,则2X—3Y=
一、填空每空3分,共24分.设PA=—PA|5=—PB\A=-9则PA+5=1/
2.
532.同时掷2个骰子,则骰子点数之和为7的概率为1/6—..设随机变量X〜Nl4则随机变量—X-1/2—〜N
01.设随机变量X和y的数学期望都是0方差都是2而相关系数为
0.5则£X+y
2.若随机变量X服从期望为2的指数分布,则根据切比雪夫不等式可知P{|X-2|4}—1/
4.
6.设M,S2是从总体X〜N0l中抽取容量为16的样本均值和样本方差,则EX=0ES2=J.
二、单项选择题每题4分,共32分
1.设A和8是两个随机事件,且3uA贝I」必有A.A尸A+8=PABPAB=PACpb|a=pbdpMa=pb—pa.袋中有4个白球7个黑球,从中不放回地每次取一个球.则第二次取出白球的概率为D.A%;B%;C%;⑻Xi-.若X〜N0ly=2X+3则y服从B.AN23BN34CN32DN/0x
1.已知随机变量X分布函数为bx=lnxlxe则P{0vXv3}=B.xe.Aln3;B1;Cln3-l;DIn5/
4..已知石X=3则石5X+2等于A.A75;B17;C79;D
15..已知随机变量X的分布函数为bx则/
0.2=B其中X分布律为:A
0.6;B
0.4;C
0.2;D
0..设随机变量X〜N—12丫〜Nl2且X与丫不相关,令=〃x+yV=X+bY且U与丫也不相关,贝I」C.Aa=b=0;Ba=bw;Ca+b=0;Dab=
0.
8.设某地区成年男子的身高X〜N173100现从该地区随机选出20名男子,则这20名男子身高平均值的方差为C.A10;B100;05;D
0.
5.
三、10分一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为P],使用未经校正的枪击中目标的概率为〃
2.他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率设各次射击的结果相互独立.解以M表示事件“射击了5次均未击中”,以表示事件”取得的枪是已经校正的”,则PC=3/5P6=2/5又按题设PM|C=1—P]/,PM|乙=1—22尸,由贝叶斯公式PM|CPCPM|CPC+PM|CPC1-A5x-321-Pj5x-+1-p25x—31—2531-pj5+2l-p25・
四、6分设顾客在银行等待服务的时间X单位分钟服从;1=/的指数分布,若顾客在窗口等待服务时间超过10分钟,他便离开.⑴求顾客在某银行等待服务的时间X的分布函数Fx;⑵求某次顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率.解由于随机变量x服从;1=%的指数分布,所以X的概率密度函数为1--4=铲50x0⑴顾客在某银行等待服务的时间X的分布函数为尸X=J_x1-e〉0X.+8]XX-^0⑵P{X210}=J-e~3dx=-e~3=/2=
0.135335283io510
五、(12分)设二维随机变量(X丫)的联合密度函数为/(xy)=40
(1)分别求出求x与y的边缘密度函数;⑵求e(x)E(y)及凤xy);⑶判断随机变量x与y是否相关?是否相互独立?+℃+0]110]1解⑴E(X)=jxf^xy^dxdy=一jdx^x3ydy=一j(\-x^^dx=Q-co-co-1x-1[2:“7ydx=一^x1ydx=yx
4.卜2所以,随机变量X的边缘密度函数为7-%3=铲n0其它]+x+ooC[।।oirtuEy=jJyf^x.y^dxdy=一jdx^x1y2dy=—^x1\-^dx--4124i2八9T»7O-IX-10+x+oo117EXK=jjxyf^xy^dxdy--jdx^x3y2dy=—4i24-oo-oo-1x⑵当一1xW1时,所以,随机变量X的边缘密度函数为其它⑶由于cov(xy)=E(xy)-E(x)E(y)=o所以x与y不相关./(工y)w/x(x)人),所以x与丫不独立.6
六、(8分)设总体X的密度函数为/(%)=铲必°一6其中>0是未知参0其它数.(X]x29・・・,xj是取自该总体中的一个样本,试求的矩估计.-EX)解E(x)=^xf(x)dx=-co_1n所以,e=2£(x)将£(x)用样本均值又=—£x•来替换,得未知参数<9的矩估计为/\3=2X
七、(8分)检验某批矿砂中的含银量,随机抽取7份样品,测得含银量百分比X的样本观测值知元=
3.36s=
0.455668007;假设这批矿砂中的含银量的百分比X服从正态分布试在=
0.05下检验这批矿砂中的含银量的百分比均值为
3.
25.附表,分布的分位点表(25⑹=
2.4469;d25⑺=
2.3646解设X表示这批矿砂中的含镁量的百分比,则X〜N(〃,2).提出假设H:〃=
3.25(乩:〃
3.25)由于总体方差未知,故用检验统计量t=X-
3.25^S当“0成立时,T=一.匹〜S由于显著性水平=
0.05n=7所以%025佰)=
2.
4469.因此检验的拒绝域为大一5|而
2.4469由样本观测值,得元=
3.36s=
0.455668007所以,所以,不拒绝o可以认为这批矿砂中的含银量的百分比为
3.
25..设随机变量x与y独立同分布,记=乂—yv=x+y则u与v的关系下面说法正确的是().(A)独立(B)不独立(C)相关系数为零(D)相关系数不为零.设总体X服从参数%=10的泊松(Poisson)分布,现从该总体中随机选出容量为20的一个样本,则该样本的样本均值的方差为().(A)1(B)
0.5(C)5(D)50三.(8分)某人共买了11只水果其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给A、B、C三人,各人分别得到4只、6只、1只.
(1)求C未拿到二级品的概率.⑵已知C未拿到二级品,求A5均拿到二级品的概率.
(3)求A3均拿到二级品而C未拿到二级品的概率.四.(10分)设离散型随机变量X只有两个可能值M和%,且玉%,P(X=%)=
0.6E(X)=L4O(X)=
0.
24.⑴求的,工2及随机变量X的分布律.⑵求随机变量X的分布函数.五.(12分)设随机变量(XY)的概率密度为v\\cx2y0yxl〃苍力一10其它
(1)求常数;
(2)求x与y的边缘概率密度;
(3)判断x与y的独立性.六.(10分)设某种电子器件的寿命(以小时计)丁服从指数分布,概率密度为[0其他,其中;10未知.从这批器件中任取〃只在时刻,=0时投入独立寿命试验,试验进行到预订时间八结束.此时有左(ovzm只器件失效,试求彳的最大似然估计..七.(10分)某冶金实验室对锌的熔化点作了四次试验,结果分别为1269°C1271°C1263°C1265°C设数据服从正态分布阳〃,/)由样本得[=12675=己±(3一1)2=
3.
65.V3j=i请检验测定值的标准差是否为2咤?(=5%).正态分布数值
①L96=
0.975
①
1.654=
0.950/分布数值%短⑶=
7.815;就必⑶=
9.348;/95⑶=
0.35;Z0975O=
0.22;万054=
9.448;/254=
11.143t分布数值:r00253=
3.1824;r0053=
2.3534;f0058=
1.8595;00258=
2.306填空每空3分,共30分i.PA=
0.3PB=
0.4若4与3互斥,则若A+5=
0.7;若A与5相互独立,则PA+8=
0.
58.
2.某检验员依次检验3件产品,设4表示第i件产品为次品的事件其中i为123又设5={三件均为次品}={至多2件为次品}用4表示3C则有3A1A2A3c=
4440.
5.已知随机变量X的数学期望与方差分别为2和1则根据切比雪夫不等式可知:P{|X-2|7}1/
49.设总体X〜XpX2X〃是从总体X中抽取的一个样本,则参数p的矩.设总体X服从正态分布即X〜NT,%X2X〃是来自总体X的样本,则统计量服从/分布,自由度为n.2
二、单项选择题每题4分,共20分L设A5为两个互不相容的随机事件,且P50则下列选项必然正确的是B.APA=1-P⑻;BP胴=0;0耳坐=1;DP同=
0.
2.设X〜N〃,cr2Y=aX—b其中、Z为常数,且工0则丫〜D.ANajLi-ba2a2+Z2;BNa]u+ba2a2-Z2;CN[ajLi+b42b2;DN[a/n-ba2cr2\
3.DX=3Zy=2Xy相互独立,则O2X—3Y=B.A-6B30C6D
15.设随机变量x与y独立同分布,记=乂—yv=x+y则u与v的关系下面说法正确的是C.A独立B不独立C相关系数为零D相关系数不为零.设总体X服从参数;1=10的泊松Poisson分布,现从该总体中随机选出容量为20的一个样本,则该样本的样本均值的方差为B.A1B
0.5C5D50三.8分某人共买了11只水果其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给A、B、三人,各人分别得到4只、6只、1只.1求未拿到二级品的概率.2已知C未拿到二级品,求A8均拿到二级品的概率.3求A5均拿到二级品而C未拿到二级品的概率.解以AC分别表示事件AB取到二级品,则无反仁表示事件ABC未取到二级品.1PC=8/
11.⑵就是需要求PA3|
6.已知C未取到二级品,这时43将7只一级品和3只二级品全部分掉.而A、B均取到二级品,只需A取到1只至2只二级品,其他的为一级品.于是22y乙一访一3⑶尸入8e=PAB|CPC=32/
55.四.10分设离散型随机变量X只有两个可能值七和乙,且玉<%,PX=%=
0.6EX=
1.4OX=
0.
24.⑴求画巧及随机变量X的分布律.⑵求随机变量X的分布函数.解1尸X=jq=
0.4[EX=
0.6玉+
0.4x2=
1.4[£%2=
0.6%12+
0.4%22=DX+[EX]2=
0.24+
1.42=
2.2得为=1工2=2所以有0x\Fx=P[Xx}=
0.6lx2五.12分设随机变量IxJ的概福更为(i)求常数;
(2)求x与y的边缘概率密度;
(3)判断x与y的独立性.r+oo/yy=L/x,ydx=
(3)因为/(xy)w/x(x)/r(y),所以X与丫不相互独立;六.(10分)设某种电子器件的寿命(以小时计)7服从指数分布,概率密度为:其中;10未知.从这批器件中任取〃只在时刻,=0时投入独立寿命试验,试验进行到预订时间70结束.此时有左(女〃)只器件失效,试求2的最大似然估计.解考虑事件A“试验直至时间7;为止,有攵只器件失效,而有〃-女只未失效”的概率.记7的分布函数为尸(,一只器件在t=0投入试验,则在时间T以前失效的概率为P[TT.}=F(£))=l-e而在时间”未失效的概率为P{TT.}=1-F(T())=.由于各只器件的试验是相互独立的,因此事件A的概率为这就是所求的似然函数.取对数得InL2=In+%lnl—e-稿+〃—%—肛.四%2一珞E得ne~^=n-k.解得4的最大似然估计为-1nA=—In——.Tn-k七.10分某冶金实验室对锌的熔化点作了四次试验,结果分别为1269°C1271°C1263°C1265°C设数据服从正态分布N//cr2由样本得7=1267s=上/巧—I2=
3.
65.V3i=i请检验测定值的标准差是否为2°Ca=5%.解1构造随机变量1=上^~/3则/的1—置信区间为s/nS*%⑶_S*心⑶查表得%3=力0253=
3.1824;又有■=4s=J40/3=
3.65=12672•带入置信区间公式得,的
0.95置信区间为
126121272.82提出假设为:2=4;在原假设“°成立条件下,选统计量22〃一1S2/
1、2mZ=2/〃-1=73J在给定的显著性水平下,查表求得拒绝域为-00xta⑶或忌3+8即拒绝域-
000.22或
9.348+oo由样本观测值得统计量的值72=10〉
9.348所以拒绝原假设,不能认为测定值的标准差是2℃概率与数理统计
一、填空每空3分,共24分.设尸A=—PA|3=_P.A=—则.设+B=.
532.同时掷2个骰子,则骰子点数之和为7的概率为..设随机变量X〜Nl4则随机变量〜N
01.设随机变量x和y的数学期望都是o方差都是2而相关系数为
5.则石x+y
2.若随机变量X服从期望为2的指数分布,则根据切比雪夫不等式可知P{|X-2|
4.设X§2是从总体X〜N0l中抽取容量为16的样本均值和样本方差,则£国=£3=.
二、单项选择题每题4分,共32分
1.设A和3是两个随机事件,且3uA则必有.A尸A+8=PABPAB=PACP8|A=P3DPB|A=PB-PA.袋中有4个白球7个黑球从中不放回地每次取一个球.则第二次取出白球的概率为.A%;⑻Xo©%;⑻%•.若X〜N0ly=2X+3则y服从.AN23BN34CN32D7V0l
01.已知随机变量X分布函数为bx=lnxlxe则P{0vX3}=.xe.IAln3;B1;Cln3-l;DIn5/
4..已知石X=3则石5X+2等于.A75;B17;C79;D
15..已知随机变量X的分布函数为bx则/
0.2=其中X分布律为:A
0.6;B
0.4;.设随机变量x〜n—i2y〜ni2且x与y不相关,令=〃x+yV=X+bY9且U与V也不相关,贝U.Aa=b=0;B〃=ZwO;Ca+b=0;Dab-
0.
8.设某地区成年男子的身高X〜N173100现从该地区随机选出20名男子,则这20名男子身高平均值的方差为.A10;B100;05;D
0.
5.
三、10分一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为四,使用未经校正的枪击中目标的概率为〃2•他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是己校正的枪的概率设各次射击的结果相互独立.
四、6分设顾客在银行等待服务的时间X单位分钟服从2==的指数分布,若顾客在窗口等待服务时间超过10分钟,他便离开.⑴求顾客在某银行等待服务的时间X的分布函数Fx;⑵求某次顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率.212y的联合密度函数为丁0V.⑴分别求出求x与y的边缘密度函数;⑵求ex£丫及£xy;⑶判断随机变量x与y是否相关?是否相互独立?6
六、8分设总体X的密度函数为/工=铲°一%其中80是未知参0其它数.X]XX是取自该总体中的一个样本,试求的矩估计.
七、8分检验某批矿砂中的含银量,随机抽取7份样品,测得含锲量百分比X的样本观测值知元=
3.365=
0.455668007;假设这批矿砂中的含银量的百分比X服从正态分布试在二=
0.05下检验这批矿砂中的含银量的百分比均值为
3.
25.附表,分布的分位点表025⑹=
2.4469;025W=
2.3646概率与数理统计X-101X
120.
60.4X-101Pk
0.
40.
20.4。