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考点19相交线与平行线【夯实基础】.在同一平面内,两条直线的位置关系有、O.对顶角邻补角o.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,最短.直线外一点到这条直线的的长度,叫做点到直线的距离.两直线平行,同位角;两直线平行,内错角;两直线平行,互补.每个命题都是、两部分组成【答案】L相交、平行
2.相等,互补
3.垂线段.垂线段
5.相等;相等;同旁内角
6.题设、结论【走进考点】一.相交线及相关概念【解题关键】本题主要考查了对顶角,熟练掌握对顶角相等是解答本题关键.
1、在同一平面内,两条直线的位置关系有两种平行和相交(重合除外).
2、对顶角相等;邻补角互补,即和为180°.
3、三线八角中,同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成形.二.垂线及其性质【解题关键】本题考查了垂线段最短,熟练掌握垂线的性质是解题的关键.
1、垂线的性质在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2、点到直线的距离直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
3、垂线段最短三.平行线的性质和判定【解题关键】本题主要考查了平行线的性质,关键是熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质求得NABD再根据角的和差关系求得结果.
1、平行线性质定理定理L两直线平行,同位角相等.定理2两直线平行,同旁内角互补.定理3两直线平行,内错角相等.
2、平行线判定定理定理1同位角相等,两直线平行.定理2内错角相等,两直线平行.(2022•武进区校级一模)下列命题中正确的是()A.矩形的对角线相互垂直B.矩形的对角线相等且互相平分C.平行四边形是轴对称图形D.平行四边形的对角线相等【解答】解小矩形的对角线相互相等,不垂直,说法错误,不符合题意;
8、矩形的对角线相等且互相平分,说法正确,符合题意;C、平行四边形不是轴对称图形,说法错误,不符合题意;平行四边形的对角线不一定相等,说法错误,不符合题意;故选B.(2022•鹿城区校级模拟)暗室里有5种不同的颜色的袜子各若干,为确保从室内取出10双袜子(同色即为一双),应从暗室内取出袜子的最小只数为()A.26B.25C.24D.23【解答】解••有5种不同的颜色的袜子,・•・取出6只时可配成第一双,从最差情况考虑,此时已经取出的袜子还剩下不同颜色的4只,要确保配成一双,至少再抽取2只即可配成第二双,此时已经取出的袜子又剩下不同颜色的4只,同理再抽取2只即可配成第三双,以此类推,要配成后面九双,需再取出2X9=18(只),为确保从室内取出10双袜子,应从暗室内取出袜子6+18=24(只),故选C.(2022•岳麓区校级模拟)某学习兴趣小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件㈠)男学生人数多于女学生人数;()女学生人数多于教师人数;(位)教师人数的两倍多于男学生人数.下列说法,不正确的是()A.若男学生人数是8人,则女学生人数最多为7B.若女学生人数为8则教师人数最少为5C.该小组教师人数的最小值为1D.若学习兴趣小组有12人,则男学生人数为5【解答】解设男学生人数为加人,女学生人数为〃人,教师人数为/人,根据{mnnt,2tm m〃,/都是正整数当r=l时,2t=\不成立,当,=2时,2t=4不成立,当/=3时,2/=63456即,最小为3・•・选项说法不正确,故选C.(2022•竦州市模拟)有六名同学需要在某天内每人交一份作业给老师,每名同学交作业时将作业放在作业堆的最上面,老师一有空就从最上面拿一份作业来批改.按交作业的先后顺序将六份作业依次编号为
①、
②、
③、
④、
⑤、
⑥.已知当天中午老师已经批改完两份作业且第二份作业编号为
④.则老师下午作业批改的顺序不可能为()A.
③、
⑥、
⑤、
①B.
②、
⑥、
①、
⑤C.
③、
⑤、
⑥、
②D.
⑤、
③、
①、
⑥【解答】解A、下午老师改完
③,
⑤⑥再交来作业,这样老师下午作业批改的顺序可能是
③、
⑥、
⑤、
①,故A不符合题意;
3、下午老师改完
②,
⑤⑥再交来作业,这样老师下午作业批改才可能先改
⑥,再批改
⑤,
①不可能在
⑤前面,故老师下午作业批改的顺序不可能是
②、
⑥、
①、
⑤,故8符合题意;、下午老师改完
③,
⑤交来作业批改后,
⑥交来作业,故老师下午作业批改的顺序可能是
③、
⑤、
⑥、
②,故C不符合题意;、下午
⑤交来作业批改后,再批改完
③①,最后
⑥才交来作业,故老师下午作业批改的顺序可能是
⑤、
③、
①、
⑥,故不符合题意;故选B.(2022•南陵县自主招生)已知abc是不完全相等的任意实数,若%=-2h+cy—a+h-2cz--2a+b+c则关于%yz的值,下列说法正确的是()A.都大于OB.至少有一个大于0C.都小于0D.至多有一个大于0【解答】解因为x+y+z=(«-2Z+c)+(a+b-2c)+(2a+b+c)=0所以1yz.不能都大于0也不能都小于0所以排除4和B;又因为,bc是不完全相等的任意实数,所以%yz不能同时为0所以至少有一个是正数,也可以有两个是正数,所以排除所以选
3.故选B.(2022•顺德区二模)命题已知△ABCAB=AC.求证ZB90°.运用反证法证明这个命题时,第一步应假设()成立.A.AB^ACB.ZB90°C.ZB^90°D.ABWAC且N3290°【解答】解求证ZB90°.运用反证法证明这个命题时,第一步应假设N5290°故选C.(2022春•堇B州区期末)用反证法证明“直角三角形的两个锐角至少有一个角不大于45°”时一,应假设()A.两个锐角都大于45°B.两个锐角都小于45°C.两个锐角都不小于45°D.一个锐角大于45°另一个锐角小于45°【解答】解用反证法证明命题“直角三角形的两个锐角至少有一个角不大于45°”时,应先假设两个锐角都大于45°.故选A.(2022春•保定期末)用反证法证明命题“若在△ABC中,AB^AC则WNC”时,首先应假设(A.ZA=ZBB.AB=ACC.ZA=ZCD.ZB=ZC【解答】解用反证法证明命题“若在AABC中,AB^AC则NBW/C”时首先应假设/8=NC故选D.(2022春♦神木市期末)如图,直线A3CD相交于点,04平分NCOE且NQO£=50°则NBOO的度数是°.【解答】解AZCOE=180°-ZDOE=\30°.:04平分NCOSAZAOC=^C0E=65°.ZAOC与/BOD是对顶角.ZBOD=65°.故答案为
65.(2022春•嘉兴期末)如图,直线qA被直线c所截,N3的同旁内角是.【解答】解根据题意,N3的同旁内角是N
6.故答案为Z
6.(2022•江阴市校级一模)命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是,它是一个命题(填“真”或假”).【解答】解命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形,它是一个假命题.(2022春•北京期中)破译密码根据下面五个已知条件,推断正确密码是.【解答】解•・•密码532三个号码都不正确,;・密码中没有数字
235.•密码257只有一个号码正确但位置不正确,.•.密码中必有数字7并且不能在个位,.•密码876只有两个号码正确,但位置都不正确,,密码7不能在十位,密码中86只有一个正确,.•.密码中的7只能在百位,.•密码628中只有一个号码正确且位置正确,••密码中必有数字8且在个位,密码619中只有一个号码正确当位置不正确,••密码中只有数字9且在十位,正确的密码为798故答案为
798.(2022•门头沟区二模)电脑系统中有个“扫雷”游戏,游戏规定一个方块里最多有一个地雷,方块上面如果标有数字,则是表示此数字周围的方块中地雷的个数.如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷.如图2这是小明玩游戏的局部,图中有4个方块已确定是地雷(标旗子处),其它区域表示还未掀开,问在标有“A”〜“G”的七个方块中,能确定一定是地雷的有(填方块上的字母).【解答】解图2中最左边的“1”和最右边的“1”,可得如下推断由第三行第二个“1”,可得它的上方必定是雷.结合6下方的“2”,可得最左边的A、B对应的“?”中有一个雷;同理可得最右边的“4”周围4个“?”中有3个雷,中间、£对应“?”中有一个雷;由于5下方的“2”和第二行最右边的“2”,它们周围的雷已经够数,所以C对应的方格肯定不是雷,如下图所示进行下一步推理因为C对应的方格不是雷,所以下方“2”的左上、右上的方格,即
8、D都是雷;而3下方的“2”的周围的雷也已经够数,所以A对应的方格也不是雷.因为下方的“2”,它的周围的雷已经够数,可得EE对应的方格不是雷,根据产下方的“4”周围应该有4个雷,结合EE不是雷,可得RG对应的方格都是雷.综上所述,
4、C、EE对应的方格不是雷,且
6、D、F、G对应的方格是雷.故答案为B、D、RG..(2022•河南模拟)用反证法证明“若同<1则层<1”是真命题时,第一步应该先假设.【解答】解用反证法证明“若则是真命题时,第一步应先假设片
21.故答案为(2022春•惠州期末)如图所示,直线AbC3相交于点O射线区OF在NAOZ)内,且平分NBOEOFLCD已知NAOC ZAOD=\5求NEO/的度数.【解答】解VZAOC ZAOD=l5ZAOC=ZBOD:./BOD ZAOD=l
5.VZAOD+ZBOD=\^0°.ZBOD=30°•.*0平分NBO石,:•/BOD=/E0D=3U°•.*OFLCD.ZD0F=9Q°.ZEOF=60°.(2022春•前进区期末)
(1)完成下面的推理说明已知如图,BE//CFBE、C/分别平分NABC和N3CD求证AB//CD.证明〈BE、C/分别平分NA8C和N8C(已知),AZ1=1ZZ2=1Z().VBE//CF()AZ1=Z2().1i.-ZABC=^ZBCD().22・/ABC=/BCD(等式的性质)..AB//CD().
(2)说出
(1)的推理中运用了哪两个互逆的真命题.【解答】解
(1):BE、C尸分别平分NABC和NBCD(已知)AZ1=1ZABC(角平分线的定义):BE〃CF(已知)••.N1=N2(两直线平行,内错角相等)
1.-ZABC=^ZBCD(等量代换),;./ABC=NBCD(等式的性质)(内错角相等,两直线平行)故答案为ABC;BCD;角平分线的定义;已知;两直线平行,内错角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行;
(2)两个互逆的真命题为两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.定理3同旁内角互补,两直线平行.定理4两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.定理5在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
3、两条平行线之间的距离处处相等.四.命题、定理和证明【解题关键】本题考查了命题与定理,解题的关键是了解交换一个命题的题设和结论即可得到这个命题的逆命题.
1、判断一件事情的语句,叫做命题.命题可以写成“如果…,那么…”的形式,“如果”后面接的部分是题设,“那么”后面接的部分是结论.
2、就命题的内容而言,任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
3、反证法的一般步骤是
①假设命题的结论不成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确【真题实例】一.相交线及相关概念(2022•北京)如图,利用工具测量角,则N1的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解答】解根据对顶角相等的性质,可得Nl=30°故选:A.(2021•大庆)如图,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两相交最多有6个交点,按照这样的规律,则20条直线两两相交最多有个交点.【解答】解2条直线相交有1个交点,3条直线相交最多有1+2=3个交点,4条直线相交最多有1+2+3=6个交点,n条直线相交最多有失*个交点,A20条直线相交最多有190个交点.故答案为
190.(2022•青海)数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).从左至右依次表示()A.同旁内角、同位角、内错角B.同位角、内错角、对顶角C.对顶角、同位角、同旁内角D.同位角、内错角、同旁内角【解答】解根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.故选D.(2022•兰考县模拟)如图,直线a与〃相交,Zl+Z2=240°N3=()A.40°B.50°C.60°D.70°【解答】解VZ1=Z2Zl+Z2=240°.•・N1=N2=12O°.*.Z3=180°-120°=60°.故选C.(2022•突泉县一模)如图
①两条直线交于一点,图中共有支警=2对对顶4角;如图
②三条直线交于一点,图中共有心^=6对对顶角;如图
③四条4直线交于一点,图中共有空警=12对对顶角;…;按这样的规律,六条直4线交于一点,那么图中共有对对顶角.(只填数字)【解答】解由各图形直线的条数,以及计算对顶角个数的式子,可知6条直线相交时,这个图形的对顶角的个数是(12—2)x12=30对对顶角.4二.垂线及其性质(2021•杭州)如图,设点P是直线/外一点,PQLI垂足为点,点T是直线/上的一个动点,连结P7则()A.PT22PQB.PTW2PQC.PTPQD.PTWPQ【解答】解点7是直线/上的一个动点,连结尸7:・PT》PQ故选C.(2021•北京)如图,点在直线上,OCLOD.若NAOC=120°则/800的大小为()A.30°B.40°C.50°D.60°【解答】解ZAOC+ZBOC=1SO°ZAOC=120°.ZBOC=1SO°-120°=60°又丁OC.LOD.ZCOD^90°ZBOD=ZCOD-ZBOC=90°-60°=30°故选A.(2022•贵阳模拟)如图,在RtZiABC中,ZABC=90°BQ_LAC于点,石L43于点E则点B到AC的距离是()A.线段AB的长度B.线段的长度C.线段5的长度D.线段的长度【解答】解点到直线的距离是垂线段的长度.因为求的是点B到AC的距离,所以应该是点8向AC作垂线段,即线段BD的长度为其距离.故选C.(2022•滦州市一模)在小河旁有一村庄,现要建一取水点,为使该村村民到河边取水最近,则取水点应建在()A.A点B.B点、C.点D.D点【解答】解为使该村村民到河边取水最近,则取水点应建在C处.故选C.(2021•绍兴模拟)同一平面内有ABC三点,A5两点之间的距离为5c机,点C到直线AB的距离为2cm,且△ABC为直角三角形,则满足上述条件的点C有个.【解答】解
(1)当为斜边时,点到A3的距离为2c帆,即边上的高为2cm符合要求的C点有4个,如图;
(2)当AB为直角边时,AC=2cm或者BC=2cm符合要求的点有4个如图;综上,符合要求的C点共8个.故答案为
8.三.平行线的性质和判定(2022•襄阳)已知直线m//n将一块含30°角的直角三角板ABC(NA8C=30°ZBAC=6Q°)按如图方式放置,点A8分别落在直线根,场上.若Zl=70°.则N2的度数为()A.30°B.40°C.60°D.70°【解答】解•.•机〃九,Zl=70°AZl=ZABD=70°VZABC=30°AZ2=ZABD-ZABC=40°故选B.(2022•郴州)如图,直线〃〃b且直线a2被直线c2所截则下列条件不能判定直线c〃1的是()A.N3=N4B.Zl+Z5=180°C.N1=/2D.Z1=Z4【解答】解
4、若N3=N4时,由“内错角相等,两直线平行”可以判定c//d不符合题意;B、若/1+/5=180时,由“同旁内角互补,两直线平行”可以判定〃d不符合题意;、若Nl=/2时,由“内错角相等,两直线平行”可以判定a//b不能判定〃4符合题意;D、由a〃Z推知N4+N5=180°.若N1=N4时,则Nl+N5=180°由“同旁内角互补,两直线平行”可以判定c〃d不符合题意.故选C.(2022•铁西区二模)如图,下列条件中,能判定DE〃AC的是()A.NEDC=NEFCB.ZAFE^ZACDC./DEC=/ECFD./FEC=/BCE【解答】解由/EDC=/EFC不能判定桃〃AC故A选项不合题意;由NA尸石=NACQ可得EF〃BC不能判定石〃AC故B选项不合题意;由/CEO=NECF能判定DE〃AC故C选项符合题意;由/比C=NEC可得EFV/BC不能判定石〃AC故选项不合题意;故选C.(2022•谷城县二模)已知,直线m//n将含30°的直角三角板按照如图位置放置,Zl=25°则N2等于()A.35°B.45°C.55°D.65°【解答】解如图VZ1=25°N1与NODE是对顶角,.ZCDE=Zl=25°VZACB=30°ZCEF=ZACB+ZCDE=55°m//n,N2=NCE/=55°.故选C.(2022•永嘉县三模)如图,在墙面上安装某一管道需经两次拐弯,拐弯后的管道与拐弯前的管道平行.若第一个弯道处/3=140,则第二个弯道处NC也为140°能解释这一现象的数学知识是()A.两直线平行,内错角相等B.内错角相等,两直线平行C.两直线平行,同位角相等D.同位角相等,两直线平行【解答】解因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行,所以根据两直线平行,内错角相等可得N8=NC=140°故选A.(2022•新乐市校级模拟)如图所示,六边ABCDE/中,平行且等于£0AF平行且等于CQ平行且等于方£对角线尸已知/0=24BD=
18.则六边形A3CDE/的面积是()A.423B.432C.405D.234【解答】解连接AC交友)于GAE交DF于H如图TAB平行且等于£,A/平行且等于CZ),四边形是平行四边形,四边形AFOC是平行四边形,.AD//BDAC//FDAE=BDAC^FD\FD±BD,四边形是矩形,.AH=DG且BD±AC.EH=BG.,六边形的面积=平行四边形AFOC的面积+三角形ABC的面积+三角形的面积=/・8=24义18=
432.故选B.四.命题、定理和证明(2022•上海)下列说法正确的是()A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题【解答】解A、命题一定有逆命题,本选项说法正确,符合题意,
3、不是所有的定理一定有逆定理,例如全等三角形的对应角相等,没有逆定理,故本选项说法错误,不符合题意;、真命题的逆命题不一定是真命题,故本选项说法错误,不符合题意;、假命题的逆命题不一定是假命题,例如假命题对应角相等的三角形全等其逆命题是真命题,故本选项说法错误,不符合题意;故选A.(2022•雨花区校级模拟)甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏,要找出谁在数学测评中获奖.甲说”是乙获奖乙说“是丙获奖丙说“乙说的不是实话.”丁说“反正我没有获奖.”如果这四个同学中只有一个人说了实话,请问是谁获奖()A.甲B.乙C.丙D.丁【解答】解本题可分三种情况
①如果甲是真命题,则乙是假命题,丙是真命题,丁是真命题;显然与已知不符;
②如果甲是假命题,乙是真命题,则丙是假命题,丁是真命题;显然与已知不符;
③如果甲是假命题,乙是假命题,则丙是真命题,丁是假命题;在这种情况下,只有丙说了实话,而其他人都说了假话,因此这种情况符合题意.在
③的条件下,丁说了假话,因此丁一定获奖.故选D.(2022•瑞安市校级三模)用反证法证明若力<0则庐时”,应假设()A.aWbB.a^bC.«2^Z2D.【解答】解用反证法证明“若a<b<0则/>从时”的第一步是假设足Wb2故选C.(2022•渝北区校级模拟)下列命题为假命题的是()A.对顶角相等B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.两直线平行,同旁内角互补D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【解答】解A、对顶角相等,正确,是真命题,不符合题意;
3、角平分线上的点到角两边的距离相等,正确,是真命题,不符合题意;C、两直线平行,同旁内角互补,正确,是真命题,不符合题意;、平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故原命题错误,是假命题,符合题意.故选D.(2022•鹿城区校级三模)要说明命题“若a>b则“层>〃”是假命题,下列Q沙的值能作为反例的是()A.a=2b=-IB.a=1b=2C.a=-2b=-3D.a=-3b=2【解答】解当a=-2=-3时,满足>匕,但不满足居>从,・•・要说明命题“若瓦则“=-2b=-3能作为反例故选C.【真题演练】(2022•南京模拟)下列生活实例中,数学原理解释错误的一项是(A.两个村庄之间修一条最短的公路,原理是两点之间线段最短B.从一条河向一个村庄引一条最短的水渠,原理是在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C.把一根木条固定到墙上需要两个钉子,原理是两点确定一条直线D.从一个货站向一条高速公路修一条最短的路,原理是连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中,垂线段最短【解答】解
4、两个村庄之间修一条最短的公路,原理是两点之间线段最短,故本选项正确,不符合题意;B.从一条河向一个村庄引一条最短的水渠,原理是点到直线,垂线段最短,故本选项错误,符合题意;、把一根木条固定到墙上需要两个钉子,原理是两点确定一条直线,故本选项正确,不符合题意;、从一个货站向一条高速公路修一条最短的路,原理是连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中,垂线段最短,故本选项正确,不符合题意;故选B.(2022•南京模拟)如图,P是直线/外一点,AB三点在直线/上,且于点3NAPC=90°则下列结论中正确的是()
①线段BP的长度是点P到直线I的距离;
②线段4P是A点到直线PC的距离;
③在抬,PBPC三条线段中,PB最短;
④线段PC的长度是点P到直线I的距离A.
①②③B.
③④C.
①③D.
①②③④【解答】解于点5••・线段AP的长度是点尸到直线/的距离,故
①正确,
④错误;VZAPC=90°线段AP的长度是A点到直线尸的距离,故
②错误;根据垂线段最短,在布,PBPC三条线段中,PB最短故
③正确;故选C.。