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核心考点06因式分解目录.因式分解的意义(共1小题).公因式(共1小题).因式分解-提公因式法(共7小题).因式分解-运用公式法(共7小题).提公因式法与公式法的综合运用(共6小题).因式分解-分组分解法(共2小题).因式分解-十字相乘法等(共7小题).因式分解的应用(共12小题)U考点考向一.因式分解的意义
1、分解因式的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式,整式乘法是多项式的表现形式.例如
3、因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.二.公因式
1、定义多项式〃2Q+加b+根中,各项都含有一个公共的因式相,因式机叫做这个多项式各项的公因式.
2、确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”
①定系数,即确定各项系数的最大公约数;
②定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);
③定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次累.三.因式分解-提公因式法
1、提公因式法如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2、具体方法
(1)当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而2利用提公因式法进行分解,即可解答.【解答】解1-ab+2a2b-a3b=-ab1-2a+〃2=-ab1-a2;24x-y2-Sx+Sy=4x-y2-8x-j=4x-yx-y-
2.【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,一定要注意如果多项式的各项含有公因式,必须先提公因式.六.因式分解-分组分解法共2小题
23.2022春•西湖区校级期中因式分解-2x3+16x2-24x;cP_廿-/+-2ay+2/u.【分析】1先提公因式,再利用十字相乘法继续分解即可解答;2先根据完全平方公式进行分组,再利用平方差公式继续分解即可解答.【解答】解1-2x3+16-24x=-2xx2-8x+12=-2xx-2x-6;a2-b2-/+;/-2ay+2bx—/-2砂+/-/2-2hx+x2=a-y2-Z-x2=a-y+b-x〃-y-/7+x.【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,因式分解--分组分解法,一定要注意如果多项式的各项含有公因式,必须先提公因式.
24.2022春•勤州区校级期中因式分解ab2+h316/-8孙+m2-32-4m2/-2x+2xy+2-2y+l【分析】1利用提公因式法,进行分解即可解答;2利用完全平方公式,进行分解即可解答;3先利用平方差公式,再利用十字相乘法进行分解即可解答;4利用因式分解-分组分解法,进行分解即可解答.【解答】解1a序+伊=伊4+;216/-8xy+=4x-y2;3m2-32-4毋=,-3+2//1m2-3-2m=m+3m-1Gn-3m+l;4x2-2x+2xy+y2-2y+1=7+2孙+9-2x+2y+1=x+y2-2x+y+1=x+y-
12.【点评】本题考查了因式分解--分组分解法,提公因式法与公式法的综合运用,一定要注意如果多项式的各项含有公因式,必须先提公因式.七.因式分解-十字相乘法等共7小题2022春•象山县校级期中下列因式分解正确的是4m2-4/71+1—4m机-1cPb1-a2b+az=a1Cab2-bx2-7x+10=x-2x-510/-52=5盯2x-y【分析】直接利用提取公因式法以及十字相乘法分解因式得出答案.【解答】解44〃,一4〃任1=2m-12故此选项不合题意;a3b2-a2b+a2=a2ab2-b+1故此选项不合题意;x2-7x4-10=x-2%-5故此选项符合题意;DIO/一5/=5y2/-y故此选项不合题意.故选C.【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式,正确利用十字相乘法分解因式是解题关键.262022春•瑞安市月考若--云-io=x+5工-〃,则步的值为-
1.8【分析】原式右边利用多项式乘以多项式法则计算,再利用多项式相等的条件求出,与人的值,即可求出所求.【解答】解已知等式整理得x^-bx-10=+(5-〃)x-5〃,可得5-a=-b-5a=-10解得a=2b=-3KlJab=2-34o故答案为
1.8【点评】此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键..(2022春•杭州期中)给出三个多项式
①〃2+3-2庐,
②发-3ab
③必+6层.
(1)请任选择两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解;
(2)当〃=4人=-7时,求第
(1)问所得的代数式的值.【分析】
(1)选择
①③,相加得/+4H+4户然后运用公式法因式分解即可;
(2)将〃=4人=-7代入
(1)计算即可.【解答】解
(1)选择
①③(答案不唯一),c^+3ab-2b2+ab+6b
2.=q2+4〃/7+4Z2=(a+2/)之;
(2)当=4b=-7原式=(4-14)2=
100.【点评】本题考查了公式法进行因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键..(2022春•绍兴期末)如图,标号为
①、
②、
③、
④的长方形不重叠地围成长方形已知
①和
②能够重合,
③和
④能够重合,这四个长方形的面积均为SAE=xDE=y且xy.若代数式/一3孙+2)的值为0则,长方形胭=色.S长方形ABCD9【分析】由题意得,代数式/-3孙+2),2=0结合得x=2y根据四个长方形的面积均为S求得石P=£EN=从而得出PN=S-1将此代入法迪幽进行化简求值即可解答.XyyXS长方形ABCD【解答】解•••/-3冷,+y=0工x-yx-2y=0/.x=y或x=2yVxy・x=2y••四个长方形的面积均为S・.“=£en=3xy.PQ=x-yPN=EN-EP=-^-9yx.$长方形P2MN••S长方形ABCDx-y声工=yxx-^y卢总7xx-y——=yxx-yd」yX_x-y2x+y22_y9y2=1—~•9故答案为
1.9【点评】本题考查了因式分解的应用,分式的混合运算,通过解关于的方程,表示出与人的数量关系是解题关键.
29.2022春•象山县校级期中把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题这种解题方法叫做配方法.如
①用配方法分解因式/+4〃+3解原式=/+4〃+4-1=+22-1—q+2+l+2-/—q+3〃+/
②M=/-2〃+6利用配方法求”的最小值解M=F-2〃+6=〃2-2〃+1+5=«-12+5因为tz-12三0所以当4=1时,M有最小值5请根据上述材料解决下列问题1在横线上添加一个常数,使之成为完全平方式/-8x+16;2用配方法因式分解了-4孙-12y2;3若M=4/+2x-l求M的最小值.【分析】1利用完全平方公式,加上一次项系数一半的平方即可;2利用十字相乘法分解因式;3利用配方法得到M=4x+12-2然后根据非负数的性质确定M的最小值.44【解答】解:1x2-8x+42=x-42故答案为16;x2-4xy-12y2=x-6yx+2y;M=4x2+2x-1=4x2+Ax-12=4*+L+A2-A2]-1244=4x+—2-—44V4x+A22,4・••当x=-』时,M有最小值-
9.44【点评】本题考查了因式分解-十字相乘法等,熟练掌握因式分解的方法和配方法是解决问题的关键.302022春•东阳市校级期中阅读下列材料:对于多项式/+工-2如果我们把x=l代入此多项式,发现,+工-2的值为0这时可以确定多项式中有因式x-l;同理,可以确定多项式中有另一个因式x+2于是我们可以得到/+工-2=X-1%+
2.又如对于多项式2/-3工-2发现当%=2时,27-3%-2的值为0则多项式2-3x-2有一个因式x-2我们可以设Zr2-3x-2=%-2mx+〃,解得〃2=2〃=1于是我们可以得到2X2-3%-2=x-2⑵+
1.请你根据以上材料,解答以下问题1当工=1时多项式8f-x-7的值为0所以多项式87-尤-7有因式x-1从而因式分解8尤2-%-7=%二18x4-7;2以上这种因式分解的方法叫试根法,常用来分解一些比较复杂的多项式,请你尝试用试根法分解多项式
①37+11X+10;
②x3-21X+
20.【分析】1当x=l时:多项式812-工-7的值为0所以多项式8/-1-7有因式X-1从而因式分解8/-x-7=x-18x+7;2
①当x=-2时,3/+1+10=0所以有一个因式是x+2从而得出答案;
②当x=14-5时,/-21x4-20=0所以X3-21x4-20=x-1x-4x+
5.【解答】解1当x=l时,多项式8/-1-7的值为0所以多项式8x2-x-7有因式x-1从而因式分解87-%-7=%-18x+7故答案为1x-1x-18x+7;2
①因为当x=-2时3x2+11x+10=0所以有一个因式是x+2所以37+llx+10=x+23x+5;
②因为当x=l4-5时,x3-21x+20=0所以『-25+20=x-1x-4x+
5.【点评】本题考查了因式分解,熟练掌握多项式乘多项式,理解阅读材料的方法,借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键.
31.2022春•诸暨市期中仔细阅读下面例题,解答问题例题已知二次三项式f-4x+机有一个因式是x+3求另一个因式以及加的值.解设另一个因式为x+〃,得x2-4x+m=x+3x+〃,贝ijx2-4x+m=/+〃+3x+3〃.fn+3=-4lm=3n解得n=-7m=-21・•・另一个因式为x-7m的值为-
21.问题仿照以上方法解答下面问题已知二次三项式2f+3x-A有一个因式是%-5求另一个因式以及Z的值.【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系,两个中二次三项式f-以+根的二次项系数是1因式是x+3的一次项系数也是1利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子27+3x-攵的二次项系数是2因式是1-5的一次项系数是2则另一个因式的一次项系数一定是2利用待定系数法,就可以求出另一个因式.【解答】解设另一个因式为2x+a得2/+3x-%=x-52x+a则2/+3x-%=2/+-10x-5a・・・卜-1°=3I~5a=~k解得:a=13女=65故另一个因式为2x+13人的值为
65.【点评】本题考查了因式分解-十字相乘法,正确读懂例题,理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.A.因式分解的应用共12小题
32.2022春•江干区校级期中【方法呈现】我们把多项式/+2必+廿及屋一2+房叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式,同样地,把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题.例如f+4x+5=/+4x+4-4+5=x+22+1*.*x+22oJx+22+iei.当x+22=时,x+22+1的值最小,最小值是
1.・・・/+4x+5的最小值是
1.【尝试应用】1直接写出x-12+3的最小值为3;2求代数式,+10工+32的最小或最大值,并写出相应的x的值.【拓展提高】3用长12机的一根铁丝围成长方形,能围成的长方形的最大面积是多少?请说明理由.【分析】1由x-12三0即可得出答案;2把/+10x+32化为x+5+7即可得到答案;3设长方形的长为则宽为6-xm围成的长方形的面积是x6-x=--+6x通过上面的方法即可求出.【解答】解1・・・X-122,,x-12+323当x-12=0时x-12+3有最小值
3.故答案为
3.2+lOx+32=/+10x+25-25+32=x+52+7Ix+522o・•・x+52+727••・当x+52=0即x=-5时,x+52+7的值最小,最小值是
7.3设长方形的长为无加,则宽为6-xm围成的长方形的面积是x6-x=-x2+6x-/+6x=-x2-6x+9+9=-x-32+9又-1-32^0・•・-x-32+9W9・♦・当-工-32=0即尸3时,-x-32+9的值最大,最大值是9答当围成边长为3切的正方形时面积最大,最大面积是9/.【点评】本题主要考查因式分解的应用,完全平方式,解答的关键是对完全平方式的掌握与应用.2022春•婺城区期末在当今“互联网+”的时代,密码与我们生活已经紧密联系在一起.有一种用“因式分解”法产生的密码,其原理是先将一个多项式分解因式,再计算各因式所得的值,最后将各因式的值进行组合.如将多项式工-9+2x2-9因式分解的结果为x+2x+3x-3当x=15时,x+2=17x+3=18x-3=12此时,可获得密码171812或171218或181712等.根据上述方法,解答以下问题1对于因式分解结果为x+2x-1的多项式,当x=21时用“因式分解”法获得的密码为
23202023.2当x=20y=2时,对于多项式9-X/,用因式分解,,法可以产生哪些数字密码求出四个即可?3已知多项式/+〃/+法+3因式分解成三个一次式,当x=23时,用“因式分解”法可以得到密码202224求ab的值.【分析】1把x=21直接代入x+2和1将两个数排序,从而获得密码.2先提公因式,然后用平方差公式将多项式因式分解,然后把x和y的值代入求得3个因式的值,然后把这3个数进行组合得出密码.3由密码得出三个一次因式的值分别为202224它们分别可以看成x-3x-1x+1然后计算这3个因式的乘积,其结果与9+奴2+云+3相同,其多项式的二次项系数=〃,一次项系数=4【解答】解1当x=21时,x+2=23x-1=20此时,可获得密码
23202023.故答案为
23202023.2x3-xj2=xx2-y2=xx+y%-y当x=20y=2时,x+y=22x-y=18此时可获得密码
202218201822182022182220222018221820.3当x=23时,用“因式分解”法可以得到密码202224・・・x3+o+版+3用“因式分解”法可以分解出的三个一次因式分别位尤-3x-1x+1x-1x+1x-3=x2-1x-3/.tz--3b=-
1.【点评】本题考查因式分解的应用,在多项式因式分解的基础上,由给定的字母的取值确定获得的密码.2022春•丽水期末已知正数bc满足〃--c=1ab+ac+bc=
4.1-c=2;2如图是三张叠放的正方形纸片,其边长分别为cc+1c+2若这三张正方形纸片的面积之和为S则S的值为
7.【分析】1由等式a-b=b-c=l得出比/大1匕比c大1由此得出比c大
2.2根据〃--c=l得出q=c+2b=c+\将其代入必+〃c+/c=4得出3c+6c-2=0通过计算3张正方形纸片的面积和S化简后得出S=302+6c+5用整体代入法把3c2+6c=2代入得出S的值.【解答】解⑴•••a-b=b-c=lA/=c+l9a-b=\C.a-c+1=1得出a-c=
2.故答案为
2.2由1知,q=c+2Z=c+1把q=c+2b=c+\代入ab+ac+bc=4得,c+2c+1+c+2c+c+1c=4c2+2c4-c+2+c2+2c+c2+c=43c2+6c-2=0这三张正方形纸片的面积之和5=/+(C+1)2+(c+2)2=d+(c2+2c+1)+(+4+4)=3c2+6c+5把3c2+6c=2代入,S=2+5=
7.故答案为
7.【点评】本题考查了因式分解的应用,根据题意得出关于c的等式,然后正方形的面积和S也化简,通过观察式子特点,用整体代入的办法计算出S的值.(2022春•东阳市期末)教材中的探究通过用不同的方法计算同一图形面积,得到相应的等式,从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如,选取图
①中的正方形、长方形硬纸片共6块,拼出一个如图
②的长方形,计算它的面积写出相应的等式a2+3ah+2h2=(〃+2h)(q+人)或Qa+2b)(a+b)=/+3帅+2户.
(1)请根据图
③写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算(工-2厂3)2;
(2)若/+y2+z2=]xy+yz+xz=3求x+y+z的值.
(3)试借助图
①的硬纸片,利用拼图的方法把二次三项式3〃2+7M+2户分解因式,并把所拼的图形画在虚线方框内.【分析】
(1)利用大正方形的面积=3个小正方形的面积+6个矩形的面积可列出代数恒等式,再根据所写恒等式计算(x-2y-3)2;
(2)将/+y2+z2=]xy+yz+xz=3代入
(1)中所得结论.计算即可求得x+y+z的值;
(3)画出图形,再分解即可.【解答】解
(1)由题意可得(q+0+c)—ci^-^h^+c^-^2ah+2hc-^2ac9则(x-2y-3)2=/+4)2+9_轨y-6x+12y;
(2)由
(1)得(〃+/+)2=2+庐+2+28+2匕+2,把x2+y2+z2=1xy+yz+xz=3代入上式,得(x+y+z)2=i+2X3=7,x+y+z=土VV;
(3)如图所示3/+7+2庐=(3〃+Z)(+2匕).【点评】本题考查了分解因式的应用,长方形的面积,完全平方公式的应用,主要考查学生的观察图形的能力和化简能力.(2022春•西湖区期末)
(1)化简(〃-/)2+(h-c)2+(-)
2.且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.2如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
3、口诀找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.
4、提公因式法基本步骤1找出公因式;2提公因式并确定另一个因式
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.四.因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.平方差公式/-必=a+b.a-b;完全平方公式a2+2ah+h2=±〃2;
2、概括整合
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反.
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数或式的平方和的形式,另一项是这两个数或式的积的2倍.
3、要注意公式的综合应用,分解到每一个因式都不能再分解为止.五.因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式.
2、对于常见的四项式,一般的分组分解有两种形式
①二二分法,
②三一分法.例如®ax+ay+bx+by=xa+b+y〃+/=a+bx+y®2xy-/+1-=-x2-2xy+2+i=1-x-y22利用1中的结果,计算/+人陷一一反一〃的值,其中q=98Z=100c=
102.3若a-0=1b-c=26f2+Z2+c2=7求a0+/c+ac的值.【分析】1根据完全平方公式化简即可;2根据题意可得-匕=-2b-c=-2q-c=-4代入1中的等式,求值即可;3根据-b=lb-c=2可得4-的值,再运用1中的等式求值即可.【解答】解1a-b2+/-c2+a-c2=a2-2ab+/+序-Ibc+c^+a2-lac+c2=2〃2+2■+22-2ab-2ac-2bc;2・・=98Z=100c=102/.6/-h--2b-c--2a-c-—42a2+2b2+2c2-2ah-2hc-2^=4+4+16=246f2+Z2+c2-ab-be-ac=12;3:a-b=lb-c=2•ci~c=3•・2q2+
2.+2c2-lab-2hc-2qc=1+4+9=14/.6Z2+Z24-c2-ab-be-ac=7a^+^+c2=7Iab+bc+ac=
0.【点评】本题考查了完全平方公式的运用以及整式的化简求值,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
37.2022春•西湖区校级期中配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等请用配方法解决以下问题.1试说明xy取任何实数时,多项式/+2-4x+2y+6的值总为正数;2分解因式:d+M+i;3已知实数mZ满足-/+5〃+/-3=0求a+Z的最小值.【分析】1先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式,再利用非负数的性质进行解答;2先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可;3先表示出Z=〃2-5a+3再表示出+/=陵-43再利用配方法求解即可.【解答】解1/+2_44+2,+6=7-4x+4+y2+2y+l+l=x-22+y+12+1•x-2220,+12^0・y取任何实数时,多项式/+/一4%+26的值总为正数;〃4+〃2+]=q4+2/+1-/=72+12-tZ2=/++1d-Q+1;V-cr+5a+b-3=0•\b—a-5+
3.\a+b=a2-46z+3=q-22-1J当〃=2时,〃+人有最小值为-1・・・Q+b的最小值为-
1.【点评】本题主要考查因式分解的应用,熟练掌握完全平方公式即平方差公式是解答此题的关键.
38.2022春•郭州区期中数学活动课上,老师准备了若干张如图1所示的三种纸片,A种纸片是边长为的正方形,B种纸片是边长为h的正方形,种纸片是长为仄宽为的长方形.现在用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形.观察图形并解答下列问题.1由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为/+2+户=q+2用含小人的代数式表示;2小敏用图1中的A、B、三种纸片拼出一个面积为2a+b〃+2的大长方形,求需要A、B、C三种纸片各多少张;3如图3C为线段A3上的动点,分别以AC8C为边在AB的两侧作正方形AC石和正方形BG.若AB=6记正方形ACQE和正方形3C/G的面积分别为SiSi且Si+S2=20利用1中的结论求图中三角形AC尸的面积.【分析】1图
②的正方形的边长为a+b是由1张A卡片,1张B卡片,2张C卡片拼成的,根据面积法可得答案;2计算2a+ba+2b的结果可得答案;3设AC=qBC=b可得出q+Z=6a2+b2=20由1的结论可求出时,进而求出三角形的面积.【解答】解1根据题意得,A如廿=a+b2故答案为於+2帅+庐=a+b2;2:2[+力+2=2+5ab+2f••・所需A、3两种纸片各2张,C种纸片5张;
(3)设AC=m3C=Cb=则+匕=6VSi+S2=20・•・/+■=20•「(〃+/)2=a1^-2ab+b2/.c^+h2—(〃+/)2-2/7A20=62-2^,ab=8:・S阴影=岂~/=4・2【点评】本题考查多项式乘以多项式,完全平方公式的几何背景,用不同的方法表示图形的面积是得出答案的关键.
39.(2022春•柯桥区期中)若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么就称这个正整数为智慧数.如,52-32=16则16是一个智慧数,5和3称为16的一对智慧分解数.则2019的智慧分解数有338和3351010和
1009.【分析】设未知数建立方程求解.【解答】解设2019=/-■=(+8)其中小是正整数,且〃>从V2019=673X3=2019X1•卜+b=673或卜+b=2019Ia-b=3Ia-b=1■Ja=338或1a=1010-lb=335Hlb=1009A2019的智慧分解数有338和335及1010和
1009.故答案为338和335及1010和
1009.【点评】本题考查因式分解的应用,根据智慧分解数定义确定,人是求解本题的关键.
40.(2022春•杭州期中)化简求值小明在求两位数的平方时,可以用“列竖式”的方法进行计算,求解过程如图1所示,34的平方中,首数字3的平方对应09尾数字4的平方对应16…
(1)仿照图1用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方,部分过程如图2所示,求这个两位数;(10/i+m)2是一个两位数的平方,用“列竖式”方法进行计算的部分过程如图3所示,求加,〃的值.【分析】
(1)观察图1可知,第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方,每个数的平方占两个空,平方是一位数的前面的空用0填补,第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍,然后相加即为这个两位数的平方,根据此规律求解即可;2设这个两位数的个位数字为6根据图3利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用相表示出小然后写出即可.【解答】解1观察图1可知,第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方,每个数的平方占两个空,平方是一位数的前面的空用0填补,第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍,然后相加即为这个两位数的平方,根据这个规律,设这个两位数为10x+7A2X7x=84解得x=6答这个数为67;2由题意得根=62mn=10解得〃2=677=5所以这个两位数是
56.【点评】本题考查了因式分解的应用,仔细观察图形,观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键.
41.2022春•拱墅区期末将一个多项式分组后,可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如am+an+bm+bn—am+an+hm+bn—am+n+/m+n=a+8m+n.1因式分解
①/-J+x+y;
②ab-a-/7+1;2若ab都是正整数且满足ab-a-b-6=0求2a+b的值.【分析】1
①分别将第
一、二项,第
三、四项结合,连续两次提取公因式便可达到分解因式的目的;
②分别将第
一、二项,第
三、四项结合,连续两次提取公因式便可达到分解因式的目的;2通过因式分解把原方程化成两个因式的积等于一个常数的形式,再根据整数的性质求解便可.【解答】解1
①原式=x2-y2+x+y=x+yx-y+x+y=x+yx-y+1;
②原式=ab-〃+-Z+l—aZ-1-Z-1=/-1a-1;29ah-a-h-6=0ab-a-+1-1-6=0ab-a+-b+\4--1-6=
0.aCb-1-h-1-7=0•・Z-1a-1=7•%都是正整数T=1或色也lb-l=7lb-l=l.••卜=2或卜=8Ib=8[b=2当时,2〃+=12;lb=8当k*时,2a+b=18;lb=2综上,2+=12或
18.【点评】本题主要考查了因式分解及其应用,关键读懂样例和灵活应用分组分解法解题.
42.2022春♦“用乘法公式分解因式”中这样写到“我们把多项式/+2+房及〃2一2帅+必叫做完全平方式”.如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式.再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、或小值等.例如分解因式/+2x-3=/+2x+l-4=x+12-4=x+1+2x+1-2=x+3x-1;求代数式2x2+4x-6的最小值2f+4x-6=2x2+2x-3=2x+l2-8可知当x=-1时2x2+4x-6有最小值,最小值是-
8.根据阅读材料,用配方法解决下列问题1分解因式m2-4m-5=/%+1--5;2求代数式-2+8q+1的最大值;3当
4、匕为何值时,多项式2-44+52+24-2+且有最小值,并求出这个最小值;44设a为实数,b为正整数,当多项式/-4必+5■+2〃-2》+且取得最小整数时,则或3=
1.42-2【分析】1利用配方法分解因式;2利用配方法变式,再根据平方的性质求最大值;3利用配方法变式,再根据平方的性质求最小值;4根据3的结论,结合小〃的取值范围求解.【解答】解:1m2-4/7-5=nr-4〃z+4-9=加-22-32=加+1m-5;故答案为m+1m-5;⑵:-片+8+1=-/一8+16-16+1=--42+17W17,当a=4时,-/+8Q+1的最大值是
17.3原式=/-4次+5层+2-2/+^^4=a-2b2+2a-2b+1+房+2人+工4=q-2Z+12+b+12+32旦.44此时有卜lb+l=O解得产-3lb=~l所以当=-3b=-l时,这个最小值为旦.4•・“为正整数,二由3得原式巳也,4原式取得的最小整数值是5当〃-2人+12+b+12+3=5时.4-2+12+8+12=114・“为正整数,・・・/+1=2•・-20+12=A4解得或4=
222.\b=1或=旦.22故答案为工或3;
1.22【点评】本题考查了配方法进行因式分解,求代数式的最值,理解完全平方式是解题的关键.
43.2022春•金东区期末通常情况下,不一定等于,观察下列几个式子第1个2+2=2X2;第2个3+3=3X3;2第3个:4+9=4义居…3我们把符合=的两个数叫做“和积数对”.1写出第4个式子.2写出第〃个式子,并检验.3若m〃是一对“和积数对”,求代数式T那的值.4m+4n+8iun【分析】
1、2根据已知条件得出的规律,直接写即可.3m〃是一对“和积数对”,所以可设加+几=〃优=光,化简式子,代入再化简即可.【解答】解1第4个式子为5+$=5义$;442第〃个式子几+1+生1=九+1义生1;nn检验左边=、n————―<、n—_n—]-=右边;nnn3Vm〃是一对“和积数对.\m+n=mn设m+n=mn=x原式=-3mtn2+4mn--3J+4x
2.4m2+n2+2mn4x24【点评】本题考查了新定义和化简求值问题,解题关键是读懂题意,根据新定义的规律解决问题
一、单选题2023春・浙江•七年级专题练习把多项式孙2_i6x分解因式的结果正确的是A.xy2-16B.xy—4尸C.xy+42【答案】D【分析】先提取公因式尢,再利用平方差公式分解可得.【详解】解原式=xy2_i6=My+4y-
4.故选D.【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,掌握提取公因式的方法和公式是解题的关键.2023春・浙江・七年级专题练习下列从左到右的变形中,属于因式分解的是A.x2+x+2=xx+l+2B.3xy2=3x-y2C.J-/=1+1一D.x+lx-l=x2-l【答案】C【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解.【详解】解A、右边不是积的形式,不是因式分解,不合题意;B、3盯2不是多项式,不是因式分解,不合题意;C、是因式分解,符合题意;D、是多项式的乘法,不是因式分解,不合题意;故选C.【点睛】本题考查了因式分解的概念,熟练掌握因式分解就是把一个多项式写成几个整式的根的形式是解题的关键.2023春・浙江・七年级专题练习多项式f+5x74可因式分解成九++,其中、b、均为整数,求+2c的值为A.-12B.3C.-3或12D.3或12【答案】D【分析】根据题意将多项式因式分解,即可得出,瓦C的值,进而即可求解.【详解】解・・・d+5x—14=x—2x+7=x+qSx+cI.a=-2Z=lc=7或a=7/7=lc=—2,a+2c=—2+14=12或+2=7—4=3故选D.【点睛】本题考查了因式分解,掌握因式分解的方法是解题的关键.2022春・浙江宁波•七年级校考期中下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是x2-2x-1B.%2+2-1C.a:24-4a-4D.x2+4a:+4【答案】D【分析】根据完全平方式4±2+〃的结构逐项分析判断即可【详解】解A.x2-2x-1不能用完全平方公式因式分解,故该选项不正确,不符合题意;不能用完全平方公式因式分解,故该选项不正确,不符合题意;«+©-4不能用完全平方公式因式分解,故该选项不正确,不符合题意;Y+4x+4=x+22能用完全平方公式因式分解,故该选项正确,符合题意;故选D.【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解,掌握完全平方式的结构熟练掌握是解题的关键.2023春・浙江・七年级专题练习如果4-3=25B么代数式〃3一2/6+加一4a的值是A.-1B.0C.1D.2【答案】B【分析】先提公因式,将原式化为/一2+/-4,,进一步整理为aa-b2-4a9再将〃-b=2代入,即可得到答案.【详解】Q3-2/b+一4q=—2ab+b2—4〃,=aa-b2-4a■:a-b=2・•QQ—52—4〃,=ax2r-4a=0故选B【点睛】本题主要考查利用整体代入法求多项式的值,理清题意,对所求多项式进行适当变形是解题的关键.2023春•七年级单元测试多项式/+以+12分解因式为x+Mx+〃,其中〃,相〃为整数,则〃的【分析】把12分解为两个整数的积的形式,〃等于这两个整数的和.【详解】解12=1x12时,=1+12=13;12=-lx-12时,-1+-12=-13;12=2x6时,〃=2+6=8;12=—2x-6[l寸,—2+-6=—8;12=3x4时,=3+4=7;12=—3x-4时,-3+-4=-7;・・・的取值有6个.故选D.【点睛】本题考查了用十字相乘法进行因式分解.能够得出机、〃之积为12加、〃之和为是解题的关键.2023春•七年级课时练习如图,有三种规格的卡片共9张,其中边长为的正方形卡片1张,边长为〃的正方形卡片4张,长,宽分别为,匕的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形,则这个大正方形的边长为A.a+2bB.+C.2a+bD.+3b【答案】A【分析】计算大正方形的面积,因式分解即可得到边长.【详解】解大正方形的面积为2+4〃+4=a+282,大正方形的边长为q+2〃,故选A.【点睛】此题考查了因式分解的应用,正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键.11222023春•七年级课时练习已知—m2+—/=〃—-2则的值为44mnA.—2B.0C.—1D.—4【答案】A【分析】首先根据;“2+;〃2=〃一加一2可得m+2『+S—22=0据此求出〃
2、〃的值各是多少,然后代入即可.【详解】解-m2-F-/i2=n-m-
2944...m2+〃2=4〃一4加一8=1+x-y1-x+y六.因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
①7+p+qx+pq型的式子的因式分解.这类二次三项式的特点是二次项的系数是1;常数项是两个数的积;可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解/+p+qx+pq=x+px+q
②a/+法+caWO型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数m,6/2的积6/1・2,把常数项C分解成两个因数ClC2的积C、1・C2并使Q1C2+Q2cl正好是一次项人,那么可以直接写成结果ax1+bx+c=mx+ciaix+c
2.七.因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题.
2、利用因式分解解决证明问题.
3、利用因式分解简化计算问题.【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用.因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入..用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分.U考点精讲一.因式分解的意义共1小题
1.2023春•拱墅区校级期中下列各式从左到右的变形属于因式分解的是A.6x2y3=2x23y3B.%2一9=x-3x+3C.+2x+l=xx2+2+1D.x+2x-3=x2-x-6【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.【解答】解A.从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;B.从左到右的变形属于因式分解,故本选项符合题意;C.从左到右的变形不属于因式分解,故本选项不符合题意;+4m+4)+(〃2-4〃+4)=0/.(m+2)2+(n-2)2=
0.*.772+2=077—2=0解得m=—2n=2=—2・故选A.【点睛】此题主要考查了配方法的应用,以及偶次方的非负性质的应用,熟练掌握解题的方法是解题的关键.(2023春•七年级课时练习)若f一9+如+5丫-6能分解成两个一次因式的积,则〃2的值为()A.1B.—1C.±1D.2【答案】C【分析】首先设原式=(x+y+4(x-y+),进而求出即可.【详解】解原式=(x+y+a)(x—y+3故q+Z=〃2-〃+〃=5ab=-6,用单得a=—2b=3m=1或q=—3b=2m=—1m=±l.故选C.【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式,正确得出等式是解题关键.
二、填空题(2023春・浙江•七年级专题练习)因式分解4/-4〃加—2利=.【答案】2加(2加一2〃-1)【分析】利用提公因式法求解即可.【详解】解4M2-4mn-2m=2机(2加一2〃一1)故答案为2M2m-2〃-1).【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式,找准公因式是解题的关键.(2023春・浙江・七年级专题练习)分解因式x1-2023x=.【答案】Xx-2023)【分析】直接利用提取公因式法进行因式分解即可.【详解】解/一2023=1(1-2023).故答案为Mx-2023).【点睛】本题主要考查了运用提公因式法因式分解,正确确定公因式成为解答本题的关键(2023春・浙江・七年级专题练习)已知x+y=3盯=-4则+盯2的值是.【答案】-12【分析】将代数式因式分解,然后代入x+=3xy=-49即可求值.【详解】解Vx+y=3xy=-4,x2y-bxy2故答案为-
12.【点睛】本题考查了因式分解的应用,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.(2023春•七年级课时练习)已知〃+b=2ab=-l9则46+〃〃的结果是.【答案】-2【分析】先将原式用直接提取公因式法分解因式,再将+人=2访=-1代入,即可求出结果.【详解】解:a2b^ab2=ab(a+b)将〃+b=2=—1代入,原式=(—1)x2=—2故答案为-
2.【点睛】本题主要考查了直接提取公因式法分解因式以及代数式求值,熟练掌握直接提取公因式法分解因式是解题关键.(2023春•七年级课时练习)一个二次二项式分解后其中的一个因式为x-3请写出一个满足条件的二次二项式.【答案】(答案不唯一)【分析】根据因式分解的结果,乘以一个单项式即可求解.【详解】解・・・£-3x=x(x—3)・••出一个满足条件的二次二项式可以是x2-3x(答案不唯一).故答案为(答案不唯一).【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系,掌握因式分解是解题的关键.(2023春・浙江•七年级专题练习)如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为〃2的大正方形,两块是边长都为〃的小正方形,五块是长为相,宽为〃的全等小长方形,且2>鹿(以上长度单位cm).观察图形,可以发现代数式2裙+5加+2/可以因式分解为.【答案】(2m+zt)(m+2n)【分析】根据图中的面积关系,两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积.【详解】解由图形可知,2〃+5碗+2/表示所有部分面积之和,整体来看面积为(2根+〃)(m+2〃),二.2nr+5mn+2n2=(2〃2+〃)(/%+2%).故答案为(2m+n)(m4-2n).【点睛】本题考查因式分解的应用,理解题意,列出正确的代数式,再由图形的特点求解是解题关键.(2023春・浙江•七年级期中)若x2_y2=30且x+y=5则x—y=.【答案】6【详解】根据平方差公式因式分解,即可求出答案.【分析】解•••12一/=30且x+y=5(x-y)(x+y)=30x-y=6故答案为
6.【点睛】本题考查平方差公式因式分解,解题的关键是熟练运用平方差公式.(2023春•七年级课时练习)多项式G/8+lJ/x-24a/y的公因式是.【答案】6ah【分析】多项式找公因式的要点是
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;
(3)相同字母的指数取次数最低的.【详解】解多项式6//7+18/b3x—24〃/y中,各项系数的最大公约数是6各项都含有的相同字母是、b字母〃的指数最低是1字母人的指数最低是1所以它的公因式是6〃江故答案为6ab.【点睛】本题考查了公因式的确定,熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键.1OO2023春・浙江•七年级专题练习当x=-6y=丽时,代数式丁—6孙—+6/=【答案】0【分析】原式先提取X再分组,利用因式分解,代入数值即可求解.1QQ【详解】解・・・x=-6y=瑞/.x3-6xy-x2y-\-6x2=
0.故答案为
0.【点睛】本题考查了因式分解的应用,掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键.2023春・浙江・七年级专题练习已知实数羽yz满足x+y+z=5且4xy+yz+xz=3则z的最大值为.22【答案】彳【分析】依据x+〉+z=5转换得至l」x+z=5—y+2=5—x将4外+yz+xz=3变形为外+*+外+应=3_2肛整理得5_+%5_%=3_2孙即5%+—3=%—2结合x+=5—2得55-z-3=x-»20求解即可.【详解】解%+y+z=
5.•.x+z=5—yy+z=5—x4xy+yz+xz=39,冲+yz+冲+xz=3—2xy・,・yx+z+xy+z=3-2孙,y(5-j)+x(5-x)=3-2ay•・5y—y~+5x——3—2xy2J5(x+y)-3=(x-y)/.5(5-z)-3=(x-^)2V(^-y)20A5(5-z)-3022解得z〈(,22故答案为—.【点睛】本题考查了已知式子的值求字母的取值范围,因式分解综合应用,完全平方公式及平方的非负性;解题的关键是熟练利用因式分解进行综合运算.
三、解答题(2023春・浙江•七年级专题练习)因式分解2(〃-+4(2-〃).【答案】2(〃叫(-2)【分析】首先把式子进行变形,变为2(〃-)2-4(4-),再提取公因式2(-»即可.【详解】解2(q—b『+49—〃)二2(q—6)(-人-2).【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式,解题时一定要注意观察,分解要彻底.(2023春・浙江・七年级专题练习)分解因式⑴/一3;
(2)3x2y-6xy
2.【答案】
(1)Q(—3)
(2)3xy(x-2y)【分析】
(1)提取,即可得;
(2)提取公因式3孙,即可得.【详解】
(1)解a2-3a=a(a-3);
(2)解3x2y-6xy2=3xy(x-2y).【点睛】本题考查了因式分解,解题的关键是掌握因式分解的方法.(2023春•七年级课时练习)因式分解⑴X-y+9b2y-x⑵炉+/j2y2【答案】Dx—ya+3ZQ—3b⑵%+»x—y2【分析】1先提公因式x-y然后根据平方差公式进行计算即可求解;2先根据完全平方公式展开,然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解.【详解】1解a2x-y-^9b2y-x二%-ya+3A〃一3Z;2解/+22_4尤2y2=1+2%一».【点睛】本题考查了因式分解,掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键.2023春・浙江•七年级专题练习阅读材料根据多项式乘多项式法则,我们很容易计算x+2x+3=f+5x+6;x—lx+3=x~+2x—
3.而因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得x2+5x+6=x+2x+3;x2+2x-3=x-lx+
3.通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.如将式子W+2x-3分解因式.这个式子的二次项系数是1=1x1常数项-3=-1x3一次项系数2=-1+3可以用下图十字相乘的形式表不为先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求和,使其等于一次项系数,然后横向书写.这样,我们就可以得到d+2x—3=%—1%+
3.利用这种方法,将下列多项式分解因式1x2+7x+10=;⑵f_2%一3=;⑶V—7y+12=;4x2+7x-18=.【答案】⑴x+2x+52x-3x+l⑶y-3y-44%+9%-2【分析】1用十字相乘法分解因式即可;2用十字相乘法分解因式即可;3用十字相乘法分解因式即可;4用十字相乘法分解因式即可.【详解】1解・・・10=2x52+5=7•*.+7x+10=x+2x+5;故答案为x+2x+5;2解:V-3xl=-3—3+1=—29*•Y_2x_3=x_3x+l;故答案为:%—3x+l;3解V-3x-4=12—3+-4=—
7.••y2_7y+i2=y_3y_4;故答案为y-3y-4;4解V9x-2=-189+—2=7r+7x-18=x+9x—2;故答案为x+9x-
2.【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式,解题的关键是熟练掌握十字相乘法,准确计算.2023春・浙江•七年级专题练习⑴已知x+y=4xy=2求2/y+4/#+2g的值;⑵已知x=l}化简并计算1-2x22x+12-3+2x23-2x2-【答案】164;2—80+64d64【分析】1先提公因式2孙,然后根据完全平方公式,因式分解即可求解,将已知式子的值,代入进行计算即可求解;2根据平方差公式因式分解,然后将x=代入进行计算即可求解.【详解】解1・.・x+y=4xy=2,原式=2孙/+2个+y2=2x2x4=64;2原式=1一4匹2一9一4炉2=—80+64炉1Q当x=l—时,原式=—80+64x—=—80+144=
64.24【点睛】本题考查了因式分解的应用,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.2023春・浙江・七年级专题练习阅读下列材料,并解答相应问题对于二次三项式/+2以+这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成+的形式,但是,对于一般的二次三项式,就不能直接应用完全平方公式了,我们可以在二次三项式中先加上一项,使其配成完全平方式,再减去这项,使整个式子的值不变,于是有⑴像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是;A.提公因式法B.十字相乘法C.配方法D.公式法2这种方法的关键是;3用上述方法把4-6m+8分解因式.【答案】⑴D⑵利用完全平方公式及平方差公式变形3m-2m-4【分析】1根据题意可得,其方法用了完全平方公式和平方差公式,故其使用的是公式法;2根据题意可得其方法用了完全平方公式和平方差公式,即可进行解答;3将6加+8改写为6帆+9-1再利用完全平方公式和平方差公式,即可进行解答.【详解】1解像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法用了完全平方公式和平方差公式,故其使用的是公式法;故选D.2解这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形;故答案为利用完全平方公式及平方差公式变形;3解原式=〃/-6/17+9-1=m-32-1=m-3+lm-3-l=m-2//z-4【点睛】本题考查用配方法进行因式分解的能力,完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍,因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式,可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式,熟记完全平方公式,牢记完全平方公式结构特征,并能灵活变形应用是解题的关键.2023春・浙江•七年级专题练习将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法,一般的分组分解法有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等.如“2+2”分法:请你仿照以上方法,探索并解决下列问题⑴分解因式x2-y2-x-y;2分解因式9m2-4x2+4xy-y2;3分解因式4q2+4q—4q62-b2-4ab2+
1.【答案】lx+yx-y-1;23m+2x-y3m-2x+y;⑶24+121+31—.【分析】利用分组分解法、公式法进行因式分解.【详解】1解f+y2_x_y=x+yx-yT;2解9m2-4x2+4xy-y2=3m-b2x-y3m-2x+y;3解4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1=2Q+l2l+bl_/
7.【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解,掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键.2023春・浙江•七年级专题练习将多顶式V-3x+2分解因式V-3x+2=x-2x-1说明多顶式f-3x+2有一个因式为,还可知当工一1二0时f一31+2=
0.利用上述阅读材料解答以下两个问题⑴若多项式Y+区一8有一个因式为%-2求人的值;⑵若x+2工-1是多项式2+依2+7;1+/7的两个因式,求、的值.【答案】⑴2[a=13⑵L99[b=-22【分析】
(1)把尢=2代入f+区一8=0得至1」2z+2攵—8=0即可求得攵的取值;
(2)分另IJ将%=—2x=l代入2/+双2+7%+6=0即可到关于、匕的方程组,解之即可得解.【详解】
(1)解:令x—2=0即当%=2时炉+6―8=0・•・2+2左一8=
0.k=2;
(2)根据题意,%4-2是多项式2d+62+7x+力的两个因式令%+2=0或工一1=0即当%=—2或x=l时,2/+依2+7x+b=,2x―23+―2『a+7x―2+b=02xl3+l2x6z+7xl+/7=0【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、解一元一次方程以及解二元一次方程组,熟练掌握各相关知识点是解决问题的关键.D.从左到右的变形属于整式乘法,不属于因式分解,故本选项不符合题意;故选B.【点评】本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义是解此题的关键,注意把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.二.公因式共1小题
2.2022春•西湖区校级期中若两个多项式有公因式,则称这两个多项式为关联多项式,若?一25与x+b2为关联多项式,则人为±
5.【分析】将多项式因式分解,根据公因式的定义即可得出答案.【解答】解x2-25=x+5%-5Vx2-25与x+〃之为关联多项式,;•〃=±
5.故答案为±
5.【点评】本题考查了公因式,掌握多项式〃2+加b+mc中,各项都含有一个公共的因式如因式相叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键.三.因式分解-提公因式法共7小题.2022春•镇海区校级期中设P=〃2-Q+b-cQ=-於一必+或,则P与的关系是A.P=QB.PQC.PQD.互为相反数【分析】根据提公因式法,可分解因式,可得答案.【解答]解P=-a2a-b+cQ--a/-ab+ac--a1q-0+cP=Q,故选:A.【点评】本题考查了因式分解,提公因式是解题关键..2022春•青田县校级期中分解因式2x3-6x2=2x2x-
3.【分析】提取公因式27即可得.【解答】解原式=2/x-3故答案为2/x-
3.【点评】本题考查了因式分解,解题的关键是找出公因式..2022春•萧山区期中因式分解2xa-b-6yQb-a=2a-rx+3y.【分析】直接提取公因式2Qa-b进而分解因式得出答案.【解答】解原式=2xtz-h+6ya-b—24-bx+3y.故答案为2a-bx+3y.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
6.2022春•长兴县月考8i-81肯定能被整除.A.79B.80C.82D.83【分析】原式提取公因式分解因式后,判断即可.【解答】解原式=81义81-1=81X80则8正-81肯定能被80整除.故选:B.【点评】此题考查了因式分解-提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.2022春•金东区期中如图,边长为〃、h的长方形周长为20面积为16则以+加的值为
160.【分析】根据“边长为〃、b的长方形的周长为20面积为16”可得+=10必=16再将原式因式分解为ab+,代入计算即可.【解答】解•・•边长为服匕的长方形的周长为20面积为16,〃+/=10ah=16Aa2b+abz=ab=160故答案为
160.【点评】本题考查提公因式法分解因式,将28+^2化成必Q+0是解决问题的关键.2022春•勤州区校级期中已知2x-10x-2-%-2%-13可分解因式为x+ax+则ab的值是-8或
2.9【分析】将2x-10x-2-x-2%-13分解为x-2x+3确定〃、匕的值,再代入计算即可.【解答】解因为2x-10x-2-x-2%-13=x-2[2x-10-x-13]=x-2x+3=x+〃x+/所以=-2b=3或=3b--2当a=-2h=3时,ab=-23=-8当〃=3b=-2Fbf〃=3一2=」,9故答案为-8或
2.9【点评】本题考查提公因式分解因式,掌握提公因式的方法是正确分解因式的关键.(2022春•上虞区期末)已知xy=—则孙2・尤2)的值是()23a.-2b.ic.Hd.2363【分析】首先利用提公因式法,求得孙2_12=一孙(x-y)把已知式子代入求得答案.【解答】解・.”-尸工孙=4,23故选:A.【点评】此题考查了提公因式法的运用.能够把肛2_%2y变形为一盯(1_y)是解题的关键.四.因式分解-运用公式法(共7小题)(2022春•西湖区期末)因式分解/+2x+l=(x+1)
2.【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可.【解答】解f+2x+l=(x+1)2故答案为(x+1)
2.【点评】本题考查运用公式法进行因式分解.,掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键.(2022春•青田县校级期中)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()-a2-Z2C.x3-y2D.a2-b2【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反.【解答】解A.f+/不能使用平方差公式分解因式,不符合题意;-/一廿=一(/+廿)不能使用平方差公式分解因式,不符合题意;丁一丁不能使用平方差公式分解因式,不符合题意;D-层能使用平方差公式分解因式,符合题意;故选D.【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式,关键是正确把握平方差公式的特点W-b2=(Q+b)(〃-b).
12.(2022春•余姚市校级期末)下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是()/+x+lB.x2+2x-IC./+2x+2Dx2-2x+1【分析】对每个选项逐一进行因式分解即可.【解答】解A./+x+i不能因式分解,故A选项不符合题意;x2+2x-1不能因式分解,故B选项不符合题意;/+2x+2不能因式分解,故选项不符合题意;x2-2x+l=x-12符合题意,故选D.【点评】本题考查了因式分解,熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键.2022春•柯桥区期末计算20232-2022=
4045.【分析】根据平方差公式进行因式分解便可简便运算.【解答】解原式=2023+2022X2023-2022=
4045.故答案为
4045.【点评】本题主要考查了有理数的运算,因式分解的应用,应用平方差公式进行因式分解是解题的关键.2022春•北仑区期末若工2-36/=%+殁x-my}则加的值为±
6.【分析】运用平方差公式进行计算即可得出答案.【解答】解/-36/=x+6yx-6y.则m的值为±
6.故答案为士
6.【点评】本题主要考查了因式分解-运用公式法,熟练掌握因式分解-运用公式法的计算方法进行求解是解决本题的关键.2022春•上城区校级期中如图,有一张边长为匕的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为的正方形.然后将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差,则M可因式分解为A.h-6ab-2aB.b-3ab-2aC.b-5ab-〃D.b-2a2【分析】先表示出底面积和侧面积,然后求它们的差,再提取公因式分解因式即可.【解答】解底面积为Qb-2a2侧面积为〃•/-2a・4=4a・b-2a.\M—(Z-2)2-4q・(Z-2a)提取公式Qb-2a)M=(/-2〃)・(/-2q-4q)—(b-2a)・(b-6〃),故选A.【点评】本题考查了因式分解,灵活提取公因式是本题关键.(2022春•绍兴期末)因式分解%2-16x4-64=(%-8)
2.【分析】原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解原式=(X-8)
2.故答案为(X-8)
2.【点评】此题考查了因式分解-运用公式法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.五.提公因式法与公式法的综合运用(共6小题)(2022春•新昌县期末)下列因式分解正确的是()A.切2+〃2=(m+n)2B-X2-I-X—X(x2-x+l)C.-h2=(a-b)2D.m2-/i2=(m一几)2【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式,进而判断得出答案.【解答】解A.m2+n\无法分解因式,故此选项不合题意;x3-x2+x=x(x2-x+1)分解因式正确,故此选项符合题意;一廿,无法运用公式法分解因式,故此选项不合题意;jv2-n2—(m-n)(m十几)故此选项不合题意;故选:B.【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式,正确运用公式法分解因式是解题关键.(2022春•乐清市校级期中)-『+6)_9y=-y(y-3)
2.【分析】先提公因式,然后根据完全平方公式分解因式即可.【解答】解:-)2+6)2-9y--y(/一6y+9)=-y(》-3)
2.故答案为-y(y-3)
2.【点评】本题主要考查了分解因式,熟练掌握完全平方公式(±)2=〃2±2〃以廿是解题的关键.(2022春•拱墅区期末)下列因式分解正确的是()A.a3+a1^a=a(/+)B.4x2-4x+1=(2x-1)2C.-2cP+4q=-2a+2D・x2-3x+l=xx-3+1【分析】利用提公因式法与公式法进行分解,逐一判断即可解答.【解答]解A=/+4+1故A不符合题意;B、4X2-4x+1=2x-12故5符合题意;C-2/+44=-2-2故C不符合题意;D、/-3x+l=xx-3+1不是因式分解,故不符合题意;故选B.【点评】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用,一定要注意如果多项式的各项含有公因式,必须先提公因式.2022春•上城区校级期中将下列多项式分解因式,结果中不含有因式x+2的是A.-4B.x-22+8x-2+16C.x3-4x2+4xD.x2+2x【分析】各式分解因式得到结果,即可作出判断.【解答】解A、原式=x+21-2不符合题意;B、原式=x-2+42=x+22不符合题意;C原式=工x2-4x+4=xx-22符合题意;D、原式=xx+2不符合题意.故选C.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.212022春•常山县期末分解因式3--6+3=3期-
12.【分析】先提公因式,再利用完全平方公式继续分解,即可解答.【解答】解3--6ax+3a=3ax2-2x+l=3ax-12故答案为3ax-
12.【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,一定要注意如果多项式的各项含有公因式,必须先提公因式.2022春•象山县校级期中因式分解-ab+2/b-t;4x-y2-8x+8y.【分析】1先提公因式,再利用完全平方公式继续分解,即可解答;。