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第1章集合与常用逻辑术语单元综合检测(重点)
一、单选题.对与任意集合4下列各式
①0£{0}
②AA=
(3)AU0=A
④NgR正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据集合中元素与集合的关系,集合与集合的关系及交并运算可判断.易知
①0£{0}
②AA=A
③Au0=A正确
④NeR不正确,应该是NqR故选C..已知全集=区,集合A={12345}B={x\Qx4}则图中阴影部分表示的集合为()A.{1234}B.{123}C.{45}D.{5}【答案】C【解析】【分析】根据韦恩图中阴影部分所表示的含义,由集合的补集和交集定义可得.集合A={12345}B={x|0x4}图中阴影部分表示AplQ/又23={x|x24或x«0}所以AI6B={45}.故选C.已知集合人={-B={xeN|x3}那么集合A3等于1若,=与,求出集合AB即可求AC3;2若讨论集合即可得到结论.解A={x|£+2x-15=0}={-53}当a=L贝ijB={x|以一1=0}={5}则Ac◎B={_53};解当8=0时,a=0此时满足当BW0时,B={-}此时若满足B=a则,=-5或,=3解得〃或工,aa53综上c=H,H・
19.已知集合尸=3+13芯2+1}Q={x\-2x5].1若〃=3求@PcQ;2若“x£P”是充分不必要条件,求实数a的取值范围.【答案】DI-2x4}QqV2【解析】【分析】1将,=3代入求出集合PQ再由补集及交集的意义即可计算得解.2由给定条件可得尸Q再根据集合包含关系列式计算作答.因=3则尸={1空烂7}则有常P={x|x4或%7}又={42二烂5}所以@PcQ={x|—2Wx4}.匕£产是匕£充分不必要条件,于是得Q当4+1〉2+1即0时,P=0又Qw,即0Q满足P2贝iJq0a+1K2+1当PW0时,则有a+12—22+15综上得a29所以实数的取值范围是W
2.
20.已知命题P:3xgR使不等式mx1一如一]o成立是假命题
(1)求实数机的取值集合A;
(2)若4-4根-4是力的必要不充分条件,求实数的取值范围.【答案】
(1)A={m\-4m0}.
(2)(-40]【解析】【分析】
(1)本题首先可根据题意得出命题的否定“Vx£R不等式f—2x-60”成立是真命题,然后根据根=0或
(2)本题可根据题意得出集合A是集合5={同-4+4}的真子集,然后列出不等式求解即可.
(1)因为命题P BxgR不等式/nr一g-120成立是假命题,所以命题P的否定-X/x£R不等式nvc2—mx—\0成立是真命题,~fm0所以〃2=0或{9解得m=0或TvmvO[A=m~+4m0集合A=1m|-4m0};
(2)因为-4/%-a4即q—4cma+4所以4-4根+4因为q:a-4〈加vq+4是集合a的必要不充分条件,所以令集合3={根|〃-4根+4}则集合A是集合8的真子集,ci—4W_
4._即+40’解得Tv*所以实数的取值范围是(].
21.已知acH命题p:X/x«l2]ax2命题9大£氏,£+2区一2=0⑴若〃是真命题,求的最大值;2若〃v夕为真命题,〃△夕为假命题,求Q的取值范围.【答案】⑴12-211+8【解析】【分析】1由P是真命题,列不等式,即可求得;2先求出p、为真命题时的范围,再由复合命题的真假分类讨论,即可求解.若P是真命题,只需因为y=f在上单增,所以所以即的最大值为
1.若q是真命题,即为关于x的方程丁+2以-a-2=0有实根,只需△=4片+4一22,解得qNI或0—
2.若P是真命题,解得al.因为〃4为真命题,〃人为假命题,所以p、夕一真一假.[a\当〃真9假,则有/所以-2v”L\a\当p假^真,则有所以
1.[a1或〃-2综上所述a1或-1a
1.即Q的取值范围—
215148.
22.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
①413=5;
②Ad3=A;
③瓜AB=0;若集合A={x|x2_2x-30}左{x|a-lxV2a+3}设全集为R.⑴若a=-l求Ac3;⑵若,求实数,的取值范围.注如果选择多个条作分别解答,则按第一个解答计2{q24或〃〈一2}【解析】【分析】1由集合的交集和补集运算求解即可;2
①②③均等价于3=A讨论3=0两种情况,结合集合的包含关系得出实数Q的取值范围.A={x|x3或x-1}当q=-1时,B={^\-2xi]^/l={x|-lx3}所以@AnB=Ul-lxl}
①②③均等价于3cA当5=0时,一1之加+3解得解得心4或Tvq—2综上,实数〃的取值范围或-2}.
23.已知集合A={x|x=枢〃GZ}1判断8910是否属于集合42已知集合3={x|x=2k+l2iZ}证明“xeA”的充分条件是“工£5”;但“xeB”不是“%£A”的必要条件;3写出所有满足集合A的偶数.【答案】18eA9e410eA;2证明见解析;3所有满足集合A的偶数为4ZZ£Z.【解析】【分析】1由8=3—仔9=5-4即可证89eA若10=疗一〃2=|一|+|〃]|川一可1而10=1x10=2x5列方程组判断是否存在整数解,即可判断10是否属于A.
(2)由2%+1=(左+1)--公,结合集合A的描述知2Z+lcA由
(1)8eA而8e3即可证结论;
(3)由集合A的描述>-〃2=(〃2+〃)(加一〃),讨论加,〃同奇或同偶、一奇一偶,即可确定(利+冏)(利-〃)的奇偶性,进而写出所有满足集合A的偶数.8=32-129=52—428e49eA假设10=疗一〃2mneZ则(|刈+|〃|)(|刈T|)=10且|加|+|川>|〃2|-|川>,综上,有8eA9eAW^A;
(2)集合3={x|x=2%+lk£Z}贝U恒有2攵+l=(Z+l『一左2・・・2左+lwA即一切奇数都属于A又8eA而8任3A”的充分条件是“£3”;但“%w8”不是“X£A”的必要条件;
(3)集合A={x|X=—〃2W£z}2=(根+〃)(加一〃)成立,
①当相,〃同奇或同偶时,根+〃,根—〃均为偶数,(加+〃)(2-〃)为4的倍数;
②当〃2〃一奇,一偶时,加+〃根-〃均为奇数,(根+〃)(加一〃)为奇数,综上,所有满足集合A的偶数为4太左£Z.【点睛】关键点点睛根据集合的性质,应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论,判断元素与集合的关系证明条件间的充分、必要关系,确定满足条件的数集.B.{012}C.{-1012}D.{-10123}【答案】c【解析】【分析】用列举法表示出集合3进而可得人B.因为3={』£N|%v3}二{0J2}又A={-L0J2}所以A=3={-故选C..下列命题为真命题的是A.命题“若%y则%3”的逆命题B.命题“若尤1则的否命题C.命题“若x=l则£+3%—4=0的否命题D.命题“若Y21则的逆否命题【答案】A【解析】【分析】根据四种命题的关系写出相应命题再判断真假.也可利用逆否命题同真假的性质判断.Ilfyy0命题“若%几则工〉及1的逆命题是若y则%几由于3=八,因此为真命题;〔-yy命题“若xl则f〉i的否命题是若xKl贝鼠2i这是假命题,如x=-2时,/=41;命题“若x=l贝Id+3x-4=0的否命题是若xwl则犬+3工—4是假命题,如工=^时,f+3x-4=0命题“若Y21则x〉1”本身是假命题,如x=-2时,Yzi但工1其逆否命题也是假命题.故选A..已知p夕为两个命题,贝广〃v4为真命题”是为真命题,,的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义可得答案.“pvq是真命题、则〃是真命题q是假命题,或者〃是假命题q真命题,或者夕国都是真命题,p叔为真命题则都是真命题,所以是假命题”是〃人4为真命题”的必要不充分条件.故选B..已知命题p2x+m,^x2-2%-30若是9的一个充分不必要条件,则小的取值范围是()A.[2+8)B.(2+00)C.(一82)D.(一82]【答案】A【解析】【分析】先化简命题P,心再根据〃是4的一个充分不必要条件,由,夕求解.因为命题p.x——夕%3或xv—l又〃是q的一个充分不必要条件,所以-12解得机22所以加的取值范围是2+8)故选A.已知〃*£Rmx1+209VxgRf-2g+10若夕4为假命题,则实数m的取值范围是()C.\inm-21D.-1m1J【答案】A【解析】先分别求出命题〃应为真命题时,参数用的范围,再由〃夕为假命题,得出都是假命题,求出其对应的参数相的取值范围,它们的交集就是答案.由Z77LX2+20/.770由rVxwRx2—2/tu+I0**•A=4m2—40解得-lml9为假命题,・••〃,q都为假命题,若〃为假命题,则〃后0若q为假命题,则加2/或综上,实数机的取值范围是加
27.故选A.【点睛】本题考查复合命题真假求参数,确定简单命题真假是解题的关键,考查学生的逻辑推理与运算能力,属于基础题..定义A—3=设A、B、是某集合的三个子集,且满足A——A1C则A1C——C是B】=0的A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】作出示意图,由A-3dB-A=C可知两个阴影部分均为0根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.如图,由于A—0uB—AcC故两个阴影部分均为0于是A=/d/VdK3=〃/d/VdKC=/u〃d〃/uV1若AB1C=0则V=0・・.A=/u/V而C-C=/u〃u/V・・・A口C—3d3—C成立;2反之,若A=C——C则由于C—3uB—C=/u〃u/VA=Zu/VuV..Zu/VuVo/u//u/V\V=09故选A【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义,考查了分类讨论、数形结合思想的应用属于较难题.
二、多选题【答案】AB【解析】【分析】根据阴影部分集合元素的特点确定集合的关系.由题可知,阴影部分的元素是由属于集合3但不属于集合A的元素构成所以对应的集合为(瘵A)8=(u(Ac8))cB.故选AB.
10.下列叙述中不正确的是()A.若abceR贝卜加+fex+cN0”的充分条件是9一4册《0”B.若危ceR则”必2m2”的充要条件是,,〃c,,C.命题“对任意xeR有/NO”的否定是“存在xeR有丁之0”D.bl是必1的充分条件【答案】ABC【解析】【分析】选项A当QV时不成立可判断;选项B当人=0时不充分可判断;选项C否定是“存在X£R有工2<0,,可判断;选项D由不等式性质可判断.对于A当Z2—4qc<0时,若0or++0之0不一定成立,a错误;对于B当>m2时可以推出〉,但是不一定可以推出4〃>仍2比如,b=0所以“加>加,’的必要不充分条件是B错误;对于C“对任意X£R有犬20”的否定是“存在X£R有f<0,C错误;对于D.由b>V\则“口>1”成立但由不能推出>1b>l例如取=4力=1,满足>1但不满足々>1b>l2所以人>1是必>1的充分条件,故Q正确.故选ABC
11.已知集合P是全集U的两个非空子集,如果PcQ=且PuQwQ那么下列说法中正确的有A.VgP有B.3gP使得入七C.VgQ有xePD.3eC使得【答案】BC【解析】【分析】根据PcQ=且PuQwQ确定正确选项.由于RQ是全集U的非空子集,<^=且夕,,所以是尸的真子集,所以三£,使得xe、Vg2有即BC选项正确.故选BC
12.设集合ST中至少有两个元素,且ST满足
①任意xy£S若#y则x+y£T;
②对任意xy^T.若小则x-y£S下列说法正确的是A.若S有2个元素,则SUT只有3个元素B.若S有2个元素,则SUT可以有4个元素C.存在3个元素的集合S且满足SUT有5个元素D.不存在3个元素的集合S【答案】AD【解析】【分析】根据条件
②可知S中的元素成对出现,分别讨论S中是否有进行判断T的元素情况,得出结论.解由条件
②可知集合S中的元素必成对出现,他们互为相反数,若S有2个元素,不妨设S={〃,-〃}〃加,由条件
①可知集合7中必含有元素0若丁的另一个元素为或,显然符合条件
②,若T的另一个元素不是或-m不妨设为cc¥±a则由条件
②可知-也是S的元素,与S只有2个元素矛盾,.SUT={a-a0}故A正确,B错误;若S有3个元素,则0必然是S的元素,设5={〃,0-〃}则由条件
①可知SU7再由条件
②可知-2czes与S有3个元素矛盾,故不存在3个元素的集合S满足条件
①,
②,故C错误,D正确.故选AD.
三、填空题.命题“Vx£
[02]/一依+1o,,的否定是.【答案】3xoeLO2]xj-^o+lO【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.命题“Vx£
[02]一日+1,,是全称量词命题其否定是“3x0W
[02]X;-5+1故答案为:切£
[02]芯-5+1«
0.已知关于x的方程1-a/+〃+2x-4=,则该方程有两个正根的充要条件是【答案】la2^a10【解析】【分析】根据方程有两个正根的充要条件是列出不等式组求解即可.关于X的方程(1—)£+(4+2)%—4=0即(q—1)x2_(q+2)x+4=0一1w0—(〃+2)/、1/、则该方程有两个正根的充要条件是-〉°,且上=[-(+2)]2—16e—1)20-^-
0、a—1解得1〃2或210因此该方程有两个正根的充要条件是12或〃
210.故答案为la2或qNIO.已知p Fxo^Rxo2—xo+aVO”为真命题,则实数的取值范围是.【答案】(一0;I4J【解析】【分析】根据p Fxo^R项)2—xo+〃VO为真命题,由QC-f+x/ER有解求解.解:因为p Wxo^R刈2—xo+aVO”为真命题所以Q-x2+xx£R有解,(1A211令,二一工2+工=-X——十一则I2;44所以Q:,4故答案为(-【4J.对于两个正整数〃2〃,定义某种运算”如下,当机,〃都为正偶数或正奇数时,〃2〃=〃2+〃;当〃2〃中一个为正偶数,另一个为正奇数时,〃2几=如2则在此定义下,集合M={(p)|pO^=10peN}中元素的个数是.【答案】13【解析】【分析】根据定义可求从而可求其含有的元素的个数.•.•当〃2〃都为正偶数或正奇数时,机〃=根+〃;当相,〃中一个为正偶数,另一个为正奇数时,2〃=〃帆,,集合M={pq\pQq=109peN^eN*}={19283746556473821102552101}共13个元素,故答案为13
四、解答题.用描述法表示下列集合1所有被3整除的整数组成的集合;2集合{13579;3方程?+工+1=0的所有实数解组成的集合;4抛物线y=—N+3x—6上所有点组成的集合;【答案】答案见解析【解析】【分析】根据描述法的表示方法和集合中元素的特点,对每一小题进行描述表示即可.{m=3鼠k^Z].{x|x=2〃+l0n4且〃£N}.{x|x2+x+1=0x£R}.{xy|y=—N+3x—6}..设全集为ZA={x|/+2x—15=0}B={x\ax-\=Q].1若〃=!,求Ac3;⑵若3三4求实数的取值组成的集合C.【答案】⑴{—53}2卜法,}【解析】【分析】。