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第3章不等式单元综合测试卷
一、选择题本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.若不等式2人?+依-0对一切实数x都成立,则实数攵的取值范围是OA.-3〈攵0B.-3Z:0C.一3〈*工0D.火一3或女20【答案】C【解析】2云2+履一0对一切实数x都成立,O3
①A=0H寸,一三0恒成立,8ko
②攵/0时,L/207八,解得一3VA0△=K+30综上可得,-3kW0故选C..卜六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“v和符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数小〃满足+〃=4且l+恒成立,则实数,的取值范围是ahA.t\B.r1C.t2D.t2【答案】B【解析】•:a+b=4之2几当且仅当=〃=2时等号成立,IIa+b4/.ah4—+-=——=—1当且仅当a=〃=2时等号成立,ababab/.r1;故选B.
3.若不等式加+小2的解集为*l-2xl}则a+/wA.-2B.0C.1D.2【答案】D[解析】因为不等式ax2+bx-2的解集为“1-2x\]所以0-2和1是方程分2+法_2=0的两实数根-2+1=--所以:解得=1,b=l以上两种方案获利均为264万元,但方案
①只需6年,而方案
②需10年,所以仅考虑该项目的获利情况时选择方案
①更有利于该公司的发展.(12分)已知关于工的方程V-2x+〃=O.
(1)当为何值时,方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)当为何值时,方程的一个根大于-1且小于1另一个根大于2且小于3⑶当为何值时,方程的两个根都大于0【解析】
(1)二次函数),=/-2工+的图象是开口向上的抛物线,故方程f-2*+〃=0的一个根大于1另一个根小于I则2+avO解得1所以〃的取值范围是
(2)方程V-2x+a=0的一个根大于-1且小于I另一个根大于2且小于3作满足题意的二次函数),=V-2x+a的大致图象,1+2+〃01一2+〃0由图知,ac,4-4+«09-6+a0解得一
30.所以a的取值范围是{|一3va0}.
(3)方程f-2x+a=O的两个根都大于0则,解得04«匕所以〃的取值范围是{a[0aG}.(12分)已知关于x的不等式分2—x—20的解集为{可-1〃}.⑴求实数ab的值;ab⑵当x0(0且满足一+—=1时,有2x+yN/+火+2恒成立,求实数k的取值范围.【解析】
(1)因为不等式加-X-20的解集为{H-lvxvb}所以-1和〃是关于x的方程⑪Jx-2=0的两个实数根,且
0.因为x=-l是©7-2=0的一个实数根,所以+1-2=0解得a=
1.将a=l代入/-1-2=0,得/-彳-2=0解得内=-1工2=2所以力=
2.12
(2)由
(1)得一+—=1xy(i
2、v4x故2x+y=(2x+y)—+—=44-—+—8(xy)xJV4r当且仅当一=一即x=2y=4时,等号成立,由题意得(2%+).之-+%+2即82父+4+2解得一34心2所以实数々的取值范围为卜32].12分已知函数丁=a/一a+2x+2aeR1,3-2x恒成立,求实数”的取值范围⑵当a0时,求不等式,2的解集;⑶若使关于x的方程加-2国+2=0有四个不同的实根,求实数〃的取值.【解析】⑴由3-2*得:/_4+2工+2v3-2x恒成立,.,.泼-公-10恒成立〃0当〃=0时,-IvO恒成立,符合题意;当工0时,则L2八,解得-4va〈0;[△=-+4”0综上所述实数的取值范围为-4,].2当〃0时,y=ax2-a+2x+2=ar-2x-l0;令卜a-2x-l=0解得内=一,x2=1;当*=1即a=2时,y20恒成立,.••不等式的解集为R;a当Ov^vl即a2时不等式的解集为卜用U[L同;当;1即0a2时,不等式的解集为5]呜收;综上所述当=2时,不等式的解集为/;当2时,不等式的解集为f;|u[1+8;当0av2时不等式的解集为-8/[,+
8.⑶由加一+2国+2=0得咖-2卜|-1=0;当=0时,-2忖-1=0解得x=±l方程有且仅有两个实根,不合题意;当〃0时,国一2=无解,则凶=1,解得x=±l;方程有且仅有两个实根,不合题意;当a0时,则凶=,或国=1解得x=±7或x=±l2「方程加一a+2|R+2=0有四个不同的实根,.•工wl解得=2则々0且〃工2;综上所述实数〃的取值范围为02U2e.所以+8=
2.故ABC错误.故选D.
4.已知集合4=卜|2/+.1-6W}8=«%言0卜则Ad8=()(
3.{x|-2x1}B.{x|-2x1}C.-3x-D.x-3x—【答案】C【解析】A={x|2x2+x-60}=1x|-2^x||8={x|匕10»={x|-3x1}贝ij=x|-3x.故选C.设A=2+f其中、”是正实数,且疝〃,8=—』+4x—2则A与8的大小关系是()abA.ABB.ABC.ABD.AB【答案】B【解析】因为、b是正实数,且#〃,则A=g+2的弓=2B——X+4x-2=—(X—2)+242因此,A~
13.故选B..某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润)(单位10万元)与营运年数MxwN)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运()年时,其营运的年平均利润最大.A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】根据题意得到抛物线的顶点为
(611)过点
(47)开口向下,设二次函数的解析式为y=〃(x—6『+11(av0)所以7=a(4-6『+ll解得〃=T即y=--6)2+11所以上=土二比111=7-竺+12*2后+12=2,XXX25当且仅当工=上,即x=5时取等号.x故选Cab%]a
2.在R上定义运算=ad-bc若不等式二一之1对任意实数%恒成立,则最大为caa+1xA.--B--C.-D.-2222【答案】D【解析】原不等式等价于Mx-1-Q-2〃+11BPx-x-l«+1«-2对任意1恒成立.[2:\a-2ba+b\z]211丫
5、5X-X-1=IX——29I2;44所以—22/一.一2解得422故选D.已知2-人=2且0a+b2则」7+—^的最小值为a+ba-2bA.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】因为加-b=a+b+e—2/=20a+h2所以々一2/i+ha-2b\a+ha-2bJ、1cIa+b_a-lby.-x2+2J=2故选A
二、选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.多选对于实数abc下列命题为真命题的是A.若ab,则B.若a〃0贝bc—bh—cC.若avbvOc0贝ij—D.若acvOabc贝U0ac-aa【答案】AB【解析】对于A因为“〃,所以一审=,^±-b=^0所以小〃,故A为真22222命题;对于B因为-p==^^\所以同理可得\/^〃,即a〉\/^〉b,故B为真命题;bc-bb(c-a\-a(c-b\c(b-a\八对于C因为a力0c0所以=八~~/-\~~-=4-;0故C为假命题;ac-aa\c-a)a(c-a)b—c对于D因为ac0abc所以a0c0b-c0所以0故D为假命题.a故选AB.1().(多选)已知Xy都为正数,且2x+),=l则()A.2个,的最大值为,B.4/+),的最小值为:42C.x(x+)的最大值为:D.-+;的最小值为3+2【答案】ABD【解析】对于A因为4y都为正数,且2工+),=1所以2冲4(笥当且仅当2x=y即K=;y=!时取等号,所以2冷,的最大值为,所以A正确,24对丁B因为2x+),=l所以4/+)尸=(2%+),『一4岁=1一4孙,由选项A可知不,工,所以O4x2+/=1-4^1当且仅当x=y=g时取等号,所以4/+V的最小值为枭所以b正确对于C因为2x+y=l所以qx+),)《+;+yJ=;当且仅当x=x++即X=g,y=0时取等号但%》都为正数,故等号取不到,所以c错误,对于D因为4y都为正数,且2x+y=l所以J_+_L=(J_+_L](2x+),)=3+2+在之3+2拒,当且仅当xy14y)4yV2Yj—=—即即x=]——-),=-1时取等号,所以一+一的最小值为3+2灰,所以D正确,xy2xy故选ABD
11.已知函数),=公2+〃-3则下列结论正确的是()A.关于上的不等式以2+云_3()的解集可以是{中3}B.关于x的不等式o+-30的解集可以是0C.函数),=0+/-3在(0切)上可以有两个零点D.”关于大的方程加+麻-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“〃〉0”【答案】BCD【解析】若不等式加+版-30的解集是{1%3}则=0且劝-3=0得匕=1而当=0〃=1时,不等式or+/狄_3()即工一30得xv3与x3矛盾,故A错误;取=Tb=0此时不等式一丁一30的解集为0故B正确;取a=Tb=4则由=一.r+
4.\-3=0得x=l或3故C正确[a力0若关于x的方程这2+法-3=0有一个正根和一个负根,则{3八得0,——0Ia若0则A=〃+12a0,故关于x的方程加+/*-3=0有两个不等的实根与,天,且由=-三,即关于x的方程0+-一3=0有一个正根和一个负根.a因此“关于X的方程以2+灰-3=()有一个止根和一个负根”的充要条件是“40”,故D正确.故选BCD.
12.已知方程/+〃氏+〃=()及犬2+心+切=()分别各有两个整数根阳,文2及文3,文4,且工|工20,工3七°•则下列结论一定正确的是()%0x20七0x40+x4-8ntn+1n+ni8【答案】ACD【解析】对于A由内勺知,占与々同号.若%0则0这时一加=X)+x20所以〃70此时与m=x3x40矛盾,所以用0x
20.同理可证七0,
0.故A正确;m0n0n—解得〃之
4.64同理〃24即%+玉++玉=一+〃《-8故B不正确,D正确;对于C由A知,七
0.j,七,几是整数,所以七KTx4-
1.由韦达定理有m-n+\=+玉+/+1=+1天+
12.所以〃K〃+1故C正确;故选ACD.
三、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知关于X的一元二次不等式加+Zu+c0的解集为{x[lx3}则一—队+〃的解集是【答案】{“上〉一;或x—l}【解析】因为关于X的一元二次不等式or2+〃x+c的解集为{x|lxv3}所以a0且方程d+/zr+c=0得解为xt=lx2=3hr则—=4=3aa所以人=-4ac=3a则不等式ex2-bx+a0即为3ax2+4av+«即3/+4x+10,解得或XT所以c一反+qo的解集是{中-;或x-1}.J故答案为{工一;或••■
14.已知集合4={45-21+37}8={小2一3〃一]b+2〃2一〃},若4=则实数a的取值范围为【解析】依题意,8={司红一工一2+10}当勿—1即〃1时,8=42〃-1当a=2a—l即〃=1时,3=0当〃2〃一1即1时5=2«-
1.«而0qA则〃=1综上得-1工,22所以实数4的取值范围为【-彩】.故答案为1-ga
15.若关于x的不等式2/-8X一4一0在1工5内有解,则实数的取值范围是.【答案】-oo6【解析】由2f_8x-4-a0即2f_-4设/a=2x2-8a-4=2x-22-12当1vxv5时,最小值/2=-12而/⑴=-10/5=6A/xg[-126工要使不等式212一81-4-a0在1x5内有解则6即的范围是~°
06.故答案为-
86.
16.若aeRZ0a+〃=3则当=时,7;^+甲取得最小值.3|〃|b[3:【答案】-;【解析】因为+力=3b0所以〃=3—0即a
3.当0va3时,+@=叱+3+2+0,+2耳=23\a\b9ab99ab9\9ab9]3311al7当且仅当〃时取等号,所以当〃时;取得最小值;443间b9当a0时59当且仅当时取等号,所以当,7=-]时,工+g取得最小值,.223同b9综上所述,当=-时,上+4取得最小值.23Mb3故答案为
四、解答题本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚10分实数,〃满足-3+〃2-\a-b
4.1求实数的取值范围;⑵求3a-助的取值范围.【解析】1由一34+人工2—1工一人工4两式相力口得,-42a6A-2a3即实数a的取值范围为[-23].2设3〃-2/=〃〃+/+na-h=/〃+〃a+〃一〃〃,22:.3a-2b=^a+b+^a-b-3a+b2-ia-b
4.31s
5.--^l-a+b1--^Pa-b102222A-43f/-2/U即3a-》的取值范围为[-UI].12分已知x0y0且x+y=
2.9⑴求一+一的最小值;*y⑵若4x+l-/闵对恒成立,求/〃的最大值.【解析】1由%+y=2得+又x0,y019rv19所町+1(?(丁]y9x、=5+六+丁222x2yvQri4当且仅当*二丁,即1=)=9时等号成立,2x2y2219所以一+一的最小值为8x丁4x+1
(2)由4x+1-mxy0恒成立,得/〃工恒成立,xy又x+y=2所以4x+l_4x+;(f)_9x+y_l(-+-)__Xyxy町,2xy21Qi19v9r14由
(1)可知一+―28所以!(-+-)4当且仅当丁=丁,即]=,)=7时等号成立xy2x),2x2y224x+1即一一4故〃的最大值是
4.xy(12分)某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目,〃(〃cN+)年内的总维修保养费用为(41+20〃)万元,该项目每年可给公司带来100万元的收入.假设到第〃年年底,该项目的纯利润为V万元.(纯利润=累计收入一总维修保养费用一投资成本)
(1)写出纯利润〉的表达式,并求该项目从第几年起开始盈利.
(2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定转让该项目,现有以卜两种处理方案
①年平均利润最大时,以72万元转让该项目;
②纯利润最大时,以8万元转让该项目.你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展?请说明理由.【解析】
(1)由题意可知y=lOO〃-(4〃2+2O〃)-144=T/+80〃一]44(〃€N+)令),0得-4〃2+80〃_]440解得2〃18所以从第3年起开始盈利;
(2)若选择方案
①,设年平均利润为y万元,则x=2=80-4|\+史]W80-4x2,1^=32nVn)\n当且仅当〃=生,即〃=6时等号成立,所以当〃=6时,X取得最大值32n此时该项目共获利32x6+72=264(万元).若选择方案
②,纯利润=-4/+80〃-144=-4(〃-10)2+256所以当〃=10时,丁取得最大值256此时该项目共获利256+8=264(万元).。