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第2题高考复数的两大热点概念及运算
一、原题呈现【原题】若il—z=l则z+5=A.-2B.-1C.1D.2【答案】D【解析】解法一由il—z=l得l-z=;=—i所以z=l+i故z+5=l+i+l—i=2故选D解法二;由il—z=l得-il—[=1,两式相减得iz+7=2i所以z+乞=2故选D【就题论题】去年与今年新高考全国1卷的复数题都位于第2题,都是考查共加复数及复数的运算,这说明高考不回避对重点知识的重复考查,另外为降低难度,今年把数据设置为最简单,可见虽然今年高考试题难度增大,新高考试卷入手依然比较容易.
二、考题揭秘【命题意图】本题考查共规复数及复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养难度容易.【考情分析】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义如复数的模、共较复数、纯虚数、复数的几何意义等二是复数的加减乘除运算.【得分秘籍】
1.解决复数概念问题及复数的几何意义应注意的问题1复数的分类,复数的相等,复数的模,共辆复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时需把所给复数化为代数形式,即〃+biQ/£R的形式,再根据题意求解.•.刈应二=+/i*-Za.h
2、否G.二二前•其中q/£RM表示复数z对应的点与原点的距离.|z「Z2|表示两点的距离,即表示复数Z1与Z2对应的点的距离.求解复数运算问题的常见类型及解题策略1复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.2复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共貌复数,解题中要注意把I的嘉写成最简形式.3复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为+6iab£R的形式,再结合相关定义解答.4复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为+为〃b£R的形式,再结合复数的几何意义解答.5复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的.【易错警示】.对于复数a+bi如果或没有明确界定ab£R则不可想当然地判定abGR..易误认为》轴上的点与纯虚数一一对应注意原点除外.3对于〃+bia/£R为纯虚数的充要条件,只注意了=0而漏掉了厚
0..进行复数的乘法与除法运算误认为I=1导致运算错误.设z=a+bia/£R注意z=〃-Zizz=不要出现z=—a+bi.zz=^cr+kr的错误
三、三年新高考同类题展示2022新高考全国2卷2+2il—2i=【解析】2+2il—2i=2+4—4i+2i=6—2i故选D.2021新高考全国1卷已知z=2-i则z5+i=A.6—万B.4-2zC.6+万D・4+万【答案】c【解析】•・・z=2—i.・.zQ+i=2-i2+i+i=2-i2+2i=4+4i-2i-2/=6+2,.故选C.2-i2021新高考全国2卷复数——在复平面内对应的点所在的象限为1-31A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】£=2—11+31=包=上口,所以该复数对应的点为该点在第一象限,故选l-3i101021222020新高考山东卷工二=l+2iA.1B.-lC.iD.-i【答案】D2-i_2-0l-2z1+2/-l+2/l-2z
四、以例及类(以下所选试题均来自新高考1卷地区2022年1月以后模拟试卷)*(2023届湖南省三湘创新发展联合高三上学期起点调研)已知复数2=-^合一,则z的共加复数]=()V3+1a—1—/3i口—1—V3i「-1+V3i「—1+y/3i4242【答案】C-i-(Ai)—1—i_T+后【解析】由一丁~=/二2知2=上巴.故选C.3+1网+144(2023届湖北省九师联盟高三上学期8月起点考试)已知复数2=言,则归+司=()A.V2B.V3C.76D.75【答案】A【答案】D*【解析】因为z=W(2022届广东省深圳市光明区高级中学等高三下学期名校联考)已知复数z在复平面内对应点的坐标为【答案】A—o(2022届广东省高三模拟押题卷)设为复数,4/2分别是4*2的共初复数,满足z/Z2=㈤一,则下列一定成立的是()A.4=4B.4=z2【答案】B【解析】设4=+砥为eR)则马J历=片=(+)(一的)=一历,所以C错Q+为Q+为/+/z2=a+h\当〃0时,Z\zz2z2A错,D错,z=a-hi=z2B对,故选B.(2022届山东省泰安肥城市高三5月高考适应性训练)在复平面上表示复数z的点在直线x-y=上,若z是实系数一元二次方程/+如+4=0的根,则团=()A.也或—叵B.夜或2及C.2血或-28D.—亚或—2近【答案】C【解析】设2=+勿cR则+出2+mq+q,+4=0化简2c/i+3+加疝+4=0即ma+4=0=…2=解得加=2衣或-2亿故选C.(222届福建省漳平第一中学、永安第一中学高三毕业班联考)已知i为虚数单位若复数z=\]SeR)且z=l则的值为()【答案】Ba=±
2.故选B.(2022届山东省百师联盟高三下学期5月模拟)已知复数z满足力=l+i则2=()A.1B.V2C.V3D.2【答案】B【解析】由zi=l+i即z==^=l-i所以|z|=J1+1=夜.故选B.1(2022届广东省惠州市第一中学等六校联盟高三下学期第六次联考)已知l+2i是关于1的方程%2+px+,=0(pM£R)的一个根,i为虚数单位,则〃+0=()A.-2-3iB.5+2iC.-2+5iD.2+5i【答案】C【解析】根据题意,(l+2i)2+〃(l+2i)+q=0n(2〃+4)i+〃+9—3=0所以所以〃+qi=-2+5i.故选C.
10.(2022届河北省衡水市部分学校高三下学期3月联考)若复数z满足N(2+i)=i-1(,为虚数单位),则2=()2255第四象限.故选D.(2022届河北省衡水市部分学校高三下学期4月联考)已知复数z满足z(l-2i)=-1223则>|=()D.旦10【答案】故选C.(222届湖北省武汉市高三下学期5月模拟)复数z二高,则⑶=()【答案】ABDzz+2i=8+6i所以Wz+2iz=8+6i所以/+从—2b+2ai=8+6i所以/+从―28=82a=6所以=3h=l所以z=3+i所以z的实部为3虚部为1故AB正确;2=10故C不正确;z在复平面上对应的点
(31)位于第一象限,故D正确.故选ABD.
18.多选2023届湖南省长沙市麓山国际实验学校高三上学期入学考试18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如忖也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.下列说法正确的是A.若目=1贝ljz=±l或z=±iB.复数6+5i与-3+4i分别对应向量Q4与OB,则向量区4对应的复数为9+iC.若点Z的坐标为T,l则三对应的点在第三象限D.若复数z满足lK|z归则复数z对应的点所构成的图形面积为万【答案】BCD【解析】对于选项A设Z=Q+〃,只需+从=1即可,故错误;对于选项B:复数6+5i与-3+4i分别表示向量与08•二表示向量射的复数为6+5i——3+4i=9+i故正确;对于选项C点Z的坐标为则I对应的点为-L-1在第三象限,故正确;对于选项D若复数z满足啜J|z|V2则复数z对应的点在以原点为圆心,内圆半径为1外圆半径为血的圆环上,故所构成的图形面积为2%-%=%故正确;故选BCD.
19.多选2022届山东省淄博市高三三模已知复数满足z「Z2W,下列说法正确的是A.若㈤=221则Z=Z22zC.若zeR则/eRD.2目二闻㈤Z2【答案】BD[解析]对选项A设4=1+iZ2=则阂=区|=0z=1+i2=2iz2=V2i2=-2不满足Z「=z22故A错误对选项B设4*2在复平面内表示的向量分别为4*2且马*20当4*2方向相同时,Z]+Z2=Z]+Z2,当Z]*2方向不相同时,z+Z2Z1+Z2综上卜+22闫马|+㈤,故B正确.对选项C设Z1=l+iz2=l-izIz=l+il-i=2eR二匕!]大R故C错误.z1—iJi0+i对选项D设Z]=a+「iz2=c+d\abcd手斗?=a+历c+M=ac-,+ad+Zci则|zjZ2|=+ad++bd2+ad+bcj㈤㈤=J+〃.“,2+6/2=Jac2+42+加2+儿.2=zR故D正确.故选BD
20.(2022届湖南师范大学附中高三下学期5月三模)已知复数z满足(1+i)z=2i(i为虚数单位),则zi【答案】2一2i2il-i.一【解析】z==-=l+iz=l—i1+il+il-i【答案】C-i-1-l+3i【解析】由题意,z==,所以2+i(2+i)(2-i)
511.(2022届山东省济南市高二下学期5月三模)复数z二A.2-iB.2+iC.1z=z=故选C.5二2-i(其中i为虚数单位)的共筑复数为()D.3【答案】B【解析】由z=2-i5=2-i,则三=2+i.故选B(2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期押题卷)设复数/3i22A.ar=coB•啰,=1C.692+69+1=0D.CD1=—CO【答案】D【解析】^2=f-+—il—i=-dG2+/+i=6i+iw0切3=_(22122I故选D(2022届河北省石家庄市第二中学高三下学期5月模拟)设i为虚数单位则()11也[—H1—H1=—
1.22人22J复数z满足(3+4i)z=2022则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】D……20222022(3-4i)6066-8088i
60668088.【解析】;z=3+4i=(3+4i)(
3.4i)=25=2525]D.第四象限if
60668088、八.「・z对应的点为,,位于。