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第23讲应用万有引力定律估算天体质量和密度.(2021•全国)卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量,以实验验证了万有引力定律的正确性应用引力常量还可以计算出地球的质量,卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”已知引力常量G=
6.67Xl().iiN・m2/kg2地面上的重力加速度g=
9.8m/s2地球半径R=
6.4X则地球质量约为()A.6X1018kgB.6X1O20kgC.6X1022kgD.6X1024kg.(2021•乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆,银河系中心可能存在超大质量黑洞这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M可以推测出该黑洞质量约为()A.4X104MB.4X106MC.4X108MD.4X1010M一.知识回顾.万有引力定律b=G粗詈,式中G为引力常量,在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出测定G值的意义
①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据;
②使万有引力定律有了真正的实用价值.万有引力的特点
(2)应用万有引力定律的注意事项在以下三种情况下可以直接使用公式F=G%詈计算:
①求两个质点间的万有引力当两物体间距离远大于物体本身大小时,物体可看成质点,公式中的一表示两质点间的距离
②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力公式中的〃为两个球心间的距离
③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力〃指质点到球心的距离3对于两个不能看成质点的物体间的万有引力,不能直接用万有引力公式求解,切不可依据F=4警得出厂-0时b-8的结论,违背公式的物理含义4在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即£尸引=
0..万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力尸表现为两个效果一是重力〃吆,二是提供物体随地球自转的向心力尸向.地面上物体的重力随纬度的升高而变大在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的在地球两极处重力就是引力,在赤道上,重力和引力不等,但在一条直线上1在赤道上G,袈=mg1+
①2r.2在两极上耨=mgo.3在一般位置万有引力d耨等于重力mg与向心力R向的矢量和.越靠近南、北两极,g值越大,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即竿3重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小,故地球自转带来的影响很小,一般情况下认为在地面附近〃2g=G爷若距离地面的高度为h则m,=喷器我为地球半径g为离地面h高度处的重力加速度可得<=系器=%£泮,所以距地面越高,物体的重力加速度越小,则物体所受的重力也越小厂R
2.
3.天体质量、密度的计算4•估算天体质量、密度时的注意事项与易错点1利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的是中心天体的质量,并非环绕天体的质量2区别天体半径R和卫星轨道半径r只有在天体表面附近运动的卫星才有六人;计算天体密4度时,丫=刍出3中的R只能是中心天体的半径■*3在考虑中心天体自转问题时,只有在两极处才有0誉=〃吆二例题精析多选例
1.2020年7月23日,中国火星探测器“天问一号”在文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空,目前它已经进入环绕火星的轨道假设探测器在离火星表面高度分别为hi和h2的圆轨道上运动时,周期分别为T1和T2火星可视为质量分布均匀的球体,且忽略火星自转的影响,万有引力常量为G仅利用以上数据,可以计算出A.火星的质量B.火星的密度C.火星对“天问一号”探测器的引力D.火星绕太阳运动的公转周期例
2.我国首个探月探测器“嫦娥四号”,于2019年1月3日成功降落在月球背面的艾特肯盆地内的冯一卡门撞击坑内,震惊了世界着陆前,探测器先在很接近月面、距月面高度仅为h处悬停,之后关闭推进器,经过时间t自由下落到月球表面已知万有引力常量为G和月球半径为R则下列说法正确的是(A.探测器落地时的速度大小为gChB.月球表面重力加速度大小为4九r2C.月球的质量为标D.月球的平均密度为、3]2nGRt2例
3.2021年6月17日上午9点22分我国“神舟”十二号载人飞船发射圆满成功,不久前我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行,若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动,已知引力常量G由下列物理量能计算出地球质量的是()A.核心舱的质量和绕地半径iB.核心舱的质量和绕地周期C.核心舱的绕地角速度和绕地周期D.核心舱的绕地线速度和绕地半径例
4.北京时间2021年5月15日,在经历“黑色九分钟”后,中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星,这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标火星可以看成半径为R质量分布均匀,不断自转的球体“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周时间为T“祝融号”与着陆器总质量为m假如登陆后运动到火星赤道,静止时对水平地面压力大小为F引力常量为G下列说法正确的是()27rA.火星自转角速度大小为77TB.火星自转角速度大小为牛-17,771aFR2C.火星的质量为丁GmD.“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于火星赤道上物体随火星自转的加速度三举一反三,巩固练习
1.中华民族几千年来为实现飞离地球、遨游太空的千年梦想而进行的不断尝试和努力新中国成立以来,中国航天事业的蓬勃发展,载人航天的千年梦想终于实现了宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面,做了如下实验用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球,上端固定于0点,如图甲所示,在最低点给小球某一初速度,使其绕0点的竖直面内做圆周运动,测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示F1=4F2设R、量,忽略各种阻力下列说法正确的是()
5.地球半径R地球表面的重力加速度g现有质量为m的卫星,在距地球表面2R的轨道上做匀速圆周运动,则正确的是A.卫星的动能为安4B.卫星的角速度为愿C.卫星与地球间的万有引力为mgD.地球的密度为471/
3.同步卫星距离地面高度为h地球表面重力加速度为g地球半径为R地球自转周期为T1近地卫星周期为T2万有引力常量为G则下列关于地球质量及密度表达式正确的是4兀2九3A.地球的质量为GT{B.地球的质量为零.1开普勒行星运动第三定律指出,行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a的三次方与它的a3公转周期T的二次方成正比,即=;=kk是一个所有行星都相同的常量,将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式.已知引力常量为G太阳的质量为Ms.2开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统如地月系统都成立.经测定月地距离为
3.84Xl8m月球绕地球运动的周期为
2.36X16s.试计算地球的质量mbG=
6.67X10-1INm2/kg2结果保留一位有效数字3开普勒第二定律指出,行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等设火星公转半径为门,地球公转半径为⑵定义“面积速度”为单位时间内扫过的面积.火星、地球公转的“面积速度”之比为多大?普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间,宇宙间任彳可两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,总是满足大小相等,方向相反,作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间,力有引力起着决定性作用使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TMm4tt2G一mrp4兀2户M-GT2只能得到中心天体的质量八VMmv2rr这M-Gu、TMmv2rrMm4k2G272-/TM-271G利用天体表面重力加速度g、RGMmmg—丘M=^rCr密度的计算利用运行天体八T、RMm4tt2Gf2等1尺33兀一P~GT1R^当r=R时p=3兀彳利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、RGMmmg—r2M—p^7tR33a2-4兀GR。