第20讲指对数比较大小8种常考题型总结（解析版）

第20讲指对数比较大小8种常考题型总结【知识点梳理】指数和对数的比大小问题成为了高考和模拟题的一些拉档题，这里我们重点介绍几种比大小方法，让大家充分了解掌握一些指数对数大小比较的常用方法.

（1）利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可

（2）利用指数对数函数图象关系比较大小

（2）比较与01的大小关系，此类题目一般会放在单选第5题左右位置，比如

00.2°

30.2°=1，0=logo.21logo.

20.3log

020.2=1

（3）取中间值，比如遇到两个数都在到1之间，我们可以比较它们与L的大小等2

（4）去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时候，需要将对数进行分离常数再比较.例如log“ma=log777+1；log”ma=log”+〃・

（5）当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如a=ln2和b=log32a=In2=---Z=log32=—!—@^jlog93log2e所以log2©log23

（6）乘倍数比较数的范围比较大小，比如a=log23和b=log34!«iJ36z=31og23=log227e

（45）3b=31og34=log364e

（34）所以33b所以〃

（7）构造函数，利用函数的单调性比价大小【题型目录】题型一直接利用单调性比较大小题型二比较与01的大小关系题型三取中间值比较大小题型四利用换底公式比较大小题型五分离常数再比较大小题型六利用均值不等式比较大小题型七乘倍数比较数的范围比较大小题型八构造函数比大小【典型例题】题型一直接利用单调性比较大小【例1】（2022・湖南邵阳•高一期末）已知=log2（）.61=log2（）.8c=k）g2L2则（）A.cbaB.cabA.a-hOahB.ahOa-hC.0aba—bD.0a—hcib【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得Q-0ab0由此可判断得选项.ba【详解】解0^jtz=log2^log22=l0=log6\b=log67tlog66=1所以所以a-b0ab09故排除A、B选项；Xy--==log6-log^2=log^3log^7t\ab0所以Ovo—bv/baab故选D..（2021・江苏•海安高级中学高一阶段练习）设

0.2=

0.32”=

0.3则（）A.a+bab0B.aha+h0C.a+b0ahD.ah0a+h【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由

0.2=.3==叫

02.3Hlog021log

020.3log

020.2所以0vav1由2=

0.3=〃=log

20.3因为log

20.3log

20.5=-1所以人〈一1因此aZ0a+h0由a=log

020.3—=log

030.2h=log

20.3n=log032ab于是有-+7=log

030.2+log（）32=log

030.4因为Iogo

30.4vlogo3（）.3=lab所以4+因为而0所以b+Qababab即aba+b0故选B【点睛】关键点睛利用对数函数的单调性，结合〃力两数的倒数和与1之间的关系，进行判断是解题的关键..（2022・全国•高一课时练习多选题）已知正数xyz满足3x=43=6z则下列说法中正确的是（）A.-+=3x4j6zC.xy2z2D.x+y〉N+zx2yz（2J【答案】ACD【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】正数羽yz满足

3、=4=6z设3=4，=6]=中1）则x=log31y=log41z=log

61.对于A，^^=log341og4=log6=|故A正确;对于B3x=31og3r4y=41ogj6z=61og6z对于C由—=—H——2/——xw2y两边平方，可得肛2z故C正确;zx2yV2xy故选ACD题型五分离常数再比较大小【例1】（

2022.河南・汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知〃=1嗝3b=log84c=log105则（）.A.bacB.chaC.acbD.abc【答案】D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可.【详解】由题意得，a=log63=log6^=l-log62=l--2log2681b=log84=log8-=1-log82=1--2log28tz=log105=log10^=l-logI02=l--2log210因为函数y=log2%在+⑹上单调递增，111所以Iog26kg28log210则^-----log26log28log210所以故选D.【题型专练】

1.设〃=kg36b=log510c=log714则A.obaB.bcaC.acbD.abc【答案】D【详解】由题意得，log32log52log72所以可得abc故选D.题型六利用均值不等式比较大小7【例1】2022•黑龙江•绥化市第九中学高二期末^z=-/2=log420c=log32+log36则，b的大小关系是A.abcB.acbC.cbaD.cab【答案】B【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可74【详解】=一=1+-，h=log420=log44+log45=1+log45c=log32+log36=1+log3441z-1—因为一=log333=log3v81log3v64=log34所以cIg3±lg5pgl5Vrigl621g4[因为Iog45=lg5lg312JJ2JJ2J」2J，log451Jog341log34lg4lg4lg42lg42lg42lg42所以log45vlog34所以c〃，综上acb故选B【例2】2022•安徽省临泉第一中学高二期末若Q=lg

2.lg5b==殍，则，c的大小关系为A.abcB.bcaC.bacD.acb【答案】A【分析】由基本不等式可判断由对数的性质可得人〉!，再作差可判断，力大小.44【详解】ggZ.lgSvW+g，=¥=学〉；，h皿3In221n3-31n2J44444c-b=--=cb.所以故选A.【题型专练】2022•全国•高考真题文已矢口9八=10口=10m—11力=8一一9则A.a0bB.ab0C.baOD.b0a【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m再利用基本不等式，换底公式可得mlglllog89m然后由指数函数的单调性即可解出.即机Igl1所以〃=10m-ll10gll-ll=

0.又…｛吟叫僧所以黠音即所以人=8〃一98噪J—9=

0.综上a0b.故选A.（2022・河南商丘・高二期末（文））已知log逐，h=206c=-log026则实数aAc的大小关系为A.acbB.abcC.bacD.bca【答案】C【分析】根据换底公式可得a再根据换底公式与基本不等式可得再根据5〉而求得大小关系【详解】a=log2V5=log451^=-log

0.26=log56l.g4+lg6则c_log56_Ig41g612--alog45lg52lg52sra7ab=2^\=8-，所以匕〉上⑶2[2:由0=喻8得13-8，由8川得

134135.・.5c4可得〉1・综上所述，abc.故选A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【题型专练】

1.已知=kg23b=log34c=log45则实数abc的大小关系为A.abcB.abcC.bacD.bca【答案】B][3:【详解】36z=31og23=log227e453Z=31og34=log364e34，所以3a3〃，所以]所以〃QC故选c.题型七乘倍数比较小【例1】2020・全国•高考真题理已知

558、

13485.设听log53Z=log85c=logi38则A.abcBbacC.bcaD.cab【答案】A【分析】由题意可得〃、b、ceOl利用作商法以及基本不等式可得出、人的大小关系，由〃=1^544得8=5结合558’可得出匕1，由c=log138得13c=8，结合13485可得出c〉不，综合可得出、b、的大小关系.alog531g3lg8/1_•blog85lg5lg5lg52:.ab\4由b=log85得8=5由+84得85”

84.・.5bv4可得6不又因4匕=41og34=k）g3256£

（56）4c=41og45=log4625e

（45）所以4Z4c所以所以abc故选B题型八构造函数比大小【例1】

2022.全国.高一专题练习设0b0则下列叙述正确的是A.^\na-2b\nb-2a则B.若\na-2b\nb-2a则qvbC.若\nci-2aInb-2b则qZD.^\na-2a\nb-2b则【答案】A【分析】利用函数的单调性分析判断即可【详解】因为y=lnx和y=2x在0+8上均为增函数，所以/x=lnx+2x在0+co上为增函数，所以/〃/》时得ab0反之也成立即lna+2alnb+2Z时，a〉b〉0反之也成立，所以Ina-◎lnb-2〃时，ab0反之也成立，故选A【例2】

2022.四川・树德中学高二阶段练习文若例一©一2，一©一%则A.ln^-x+l0B.ln^-x+l0C.ln|x-^|0D.ln|x—y|v0【答案】B【分析】先构造函数/x=

2、-e-通过导函数得到单调性，从而得到X九故可通过函数单调性判断出lny-x+llnl=0而|x-y|可能比1大，可能等于1也可能打―乂《01故CD均错误.【详解】令/%=

2、—4则/%=21n2+0恒成立，故〃%=

2、—单调递增，由

2、—已

一、23，可得％儿故lny—x+llnl=0A错误，B正确；x-引可能比1大，可能等于1也可能|x-故不能确定ln|x-y|与的大小关系，CD错误.故选B【题型专练】

1.2021・江西・高二阶段练习理若匕1且优-加中—则A.lnx-^+10B.lnx-y+lvOC.ln|x-y|0D.ln|x-y|0【答案】A【分析】根据题意，构造函数〃x=-人一利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.【详解】因为/“ADBPax-b-xay-b-y故令4%=优-L则上式等价于〃y因为〃力1y=优丁=-疔、都是7上的单调增函数，故X为R上的单调增函数，则由可得％几即x-y0；则x—y+ll故lnx—y+l0则A正确；B错误；因为|x—丁|0故无法判断ln|x—y|的正负，故CD错误.故选A.【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数并利用其单调性判断乂丁的大小关系.C.lny—x+l0D・2-【答案】BC【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.不成立，故xy所以//故人错误，8正确.y—x0则y—x+ll%ylny-x+l0故C正确.2x~y2°=b故D不一定正确.故选BC.间（0+8）上单调递增，故由得Ovxvy故故A错误.Vy3b正确；由工九xy得y—x+ll故lny—x+llnl=0C正确；2f2°=l，故D不一定正确故选BC.C.hcaD.ahc【答案】A【分析】由对数函数得单调性即可得出结果.【详解】・・・y=iog2-在定义域上单调递增/.log

20.6log

20.8log

21.2^Cba.故选A.【例2】（2022•全国•高三专题练习）已知〃=1喳3Z=log46c=log89则以b、c的大小顺序为（）A.abcB.acbC.chaD.hca【答案】C【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【详解】b=log46=log2遥，Xc=log89=log2^9因为3卡莎，y=log2%单调递增，所以cbva.故选C【题型专练】（

2022.广东珠海.高一期末）下列选项正确的是（）A.log

25.3log

24.7B.log027log029C.log3Klog/D.logd

3.1log^

5.2（tz〉0且〃w1）【答案】C【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A因为y=log2X是单调递增函数，所以10g

25.310g

24.7故A错误；对于B因为产log%是单调递减函数所以log/log”，故B错误;对于C因为log3兀log33=llog兀3log/=l所以log3兀log兀3故C正确;对于D当Ova1时，y=log/是单调递减函数，当々1时、y=log“x是单调递增函数，所以当OvcyI时，logfl

3.1log6/

5.2当时，logw

3.1logd

5.2故D错误.故选C.（2022・全国•高一单元测试）已知〃=log232=ln2c=log2n则〃bc的大小关系为（）A.abcB.cabC.acbD.cba【答案】B【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.【详解】解因为/X=10g2%为单调递增函数，所以睡2兀唾

231.因为ln2vl所以故选:B.2022・江西・上高二中模拟预测文已知，=ln3/=log35-log32c=21nVL则〃，c的大小关a系为A.achB.bcaC.cabD.cba【答案】C【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得;【详解】解:c=21n百=ln31=IneIn3Ine2=2即lvcv2又，=ln3所以a=4==log3e所以aIn3In32b=log35-log32=log3——=log3V3log3—log33=1IP—Z12222又e；所以k^elog[即故选C

2022.内蒙古•阿拉善盟第一中学高一期末已知％=9°%，^=log

20.1z=log

20.2则A.xyzB.xzyc.zx^d.zyx【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可【详解】因为y=9”在R上为增函数，且

0.910所以9°9°=1即因为y=log2%在0+oo上为增函数，且

0.

10.21所以log1log

20.2log21=0即y20所以xzy故选B.题型二比较与01的大小关系【例1】（2022・甘肃酒泉・高二期末（理））若〃=in]c=

0.6^2则，b的大小关系为（）2A.cbaB.cabC.hacD.ach【答案】B7Y【分析】分别根据=-、y=lnx、y=06的单调性，比较〃，bc与、1的大小，即可比较【详解】y=-在（f，+8）上是减函数，0〃=--=1；y=lnx在（0+8）上是增函数，Z=ln^lnl=0；y=

0.6”在（yo+8）上是减函数c=

0.

6420.6°=1，故C46故选B【例2】（

2022.全国.高一课时练习）已知〃=log|2/=log23c=243则，江的大小关系是（）3A.abcB.bacC.cabD.bca【答案】D【分析】利用函数的单调性判断出v，bl0cl即可得到正确答案.【详解】因为y=咋产为减函数，所以〃=咋！218「=°即”0；333因为y=log2%为增函数tA^=log23log22=l即bl；因为y=2]为增函数所以0vc=2432°=1即0c1；所以故选D（\俨1【例3】（

2022.天津.高考真题）已知q=2°Lb=-，c=log2-则（）k3J3A.acbB.bcaC.abcD.cab【答案】C【分析】利用幕函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、b.的大小关系.（1\0-71【详解】因为2°-0=log.llog9-故心0c.3JNJ乙勺73故答案为C.【题型专练】（2022•黑龙江•鸡东县第二中学二模）若4=101l=lg

0.8c=log

53.5则（）A.abcB.bacC.cabD.acb【答案】D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断力的范围，即可比较大小，可得答案.【详解】由函数y=10”为增函数可知〃由y=lgx为增函数可得/=lg

0.8，由由y=log5%为增函数可得0c=log

53.5vl1c=log

53.50/=lg

0.

8.acb故选:D（2022・浙江•诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知=lg

0.2b=log56c=ln2则，b的大小关系为（）A.ahcB.cabC.acbD.cha【答案】C【分析】利用0」分段法求得正确答案.［详解］a=lg

0.20b=log56log55=l0c=ln2lne=l所以avcv.故选C（2022・陕西汉中•高一期末）已知=2叫/7=e-06c=log

20.6则〃，b的大小关系为（）A.bacB.bcaC.abcD.acb【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断，=2°，b=e46c=log2（）.6的范围，即可判断大小，即得答案.【详解】由于4=2°62°=10=©一°3=1c=log

20.6log2l=0故4ZC故选C题型三取中间值比较大小【例1】（

2022.吉林东北师大附中模拟预测（文））已知^=log23c=91则（）A.cabB.bacC.bcaD.cha【答案】D【分析】利用嘉函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、b、的大小关系.2［详解］因为Q=log3-log31=01=log22b=log23log24=2因此，cba.故选D.【例2】（2021•全国•高考真题）已知=k）gs2^=log83则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacC.acbD.abc【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、〃与的大小关系，由此可得出结论.故选C.【例3】（

2022.山东滨州高二期末）已知〃=晦2b=log

050.2c=

0.603则b的大小关系为（）A.acbB.abcC.bcaD.cab【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【详解】解Iogo

50.2=log2j5=kg25log24=2即》〉20=log61log62log6761=

0.6°O.

6030.5°

30.51=BP-cl22故选A【题型专练】

31.2022•河南濮阳・高一期末文已知=log34/^=log45c=则有A.ahcB.cbaC.achD.cab【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可.3【详解】依题意，0423343^，33・・y=log3X是单调递增，.・.log34log335=二，二.c

05243...5♦，13丁=log4%是单调递增，，log45log442=］，・.・0c，4c

544350...4〉34，

255.y=log3%是单调递增，log34log334=-「.a〉一44°

45.51』55；y=log4%是单调递增，10g45log444=-・.a，综上所述，cab.故选D.

2022.贵州黔西.高二期末理设q=

0.61Z=lg906c=log328则A.hacB.cbaC.acbD.bca【答案】D【分析】利用嘉函数和对数函数的性质比较即可二3【详解】因为c=log328=log2523=t=

0.

60.61所以c〃，因为y=x°6在0+oo上为增函数，且9V10所以

9610.6因为y=igx在，+°°上为增函数，所以lg9°6lgl0°6=

0.6所以bvc综上，故选D（2022・重庆九龙坡•高二期末）已知=21og54Z7=1log37c=2log45则〃，b的大小关系是（）A.hcaB.hacC.cahD.abc【答案】B【分析】根据对数得运算性质结合对数函数的性质，利用中间量法即可得出答案.【详解】解:ia=21og54=log516则b=^-log37=log3不log3M=10=2氏45=2唾2百=62所以人4C.故选B.题型四利用换底公式比较大小【例1】（2021•全国•高一期末）设元九z为正数，且3y=4）=5z则（）A.xvyvzB.yxzc.yvzVXD.zvyvx【答案】D【分析】令

3、=4，=52=k1用％表示出xyz再借助对数函数的性质即可比较作答.【详解】因工九z为正数，令3工=4，=52=攵，则左1因此有x==y=log4^=—z=\og5k=—^—9log3log4log*5又函数FO）=log在（0+8）上单调递增而Iv3V4V5贝iJOvlogQvlog/vlogQ111于是得；7；T；7logk3log4log5所以zvyvx.故选D【例2】（2022•全国•高三专题练习）设a=log32〃=ln20=5；，则三个数的大小关系是（）A.abcB.bacC.cabD.cba【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值

0、I比较可得.【详解】V0ln2lne=lln3l・ioM

2..logsz=ln2In3ab

1..cba故选D.【例3】（

2022.全国.高三专题练习）设斫log32/kln2c=5L则三个数的大小关系是（）A.abcB.bacC.cabD.cba【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值

0、1比较可得.【详解】・・・0ln2lne=lln3l..logsz=ln2In3・\ab

1.\cba故选D.【题型专练】（2022河南•高三开学考试（文））设（=k）go」4b=log504则（）A.2ab2（q+b）abB.2aba+b4abC.aba+b2abD.2aba+bab【答案】D【分析】由对数函数性质得〃，从而曲0由对数换底公式和对数运算法则计算得1』+2ab再由不等式性质可得结论.【详解】因为以=logo14b=log504所以〃0力，所以而0—+-=log

40.1+log450=log45g

（12）gpi—+-2所以2〃+人.abab故选D.（2022・重庆八中高三阶段练习）设a=log2»，〃=log6〃，则（）。