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第一章集合与常用逻辑用语章节复习1集合中元素的三个特性确定性、无序性、互异性.2集合的三种表示方法列举法、描述法、图示法.3自然数集记作正整数集记作N*或N+;整数集记作Z;有理数集记作Q;实数集记作R.4/是B的子集记作/或334A是B的真子集记作AB或B*A.5由集合之间的基本关系推出的结论即/U4若4NB且8墨,则4CC6并集或交集4n8=5底/且补集必={x区且且且x^A}.7如果夕nq那么〃是g的充分条件〃是〃的必要条件.如果夕Oq那么〃与互为充要条件.8全称量词命题\/x£〃,x的否定三工£四,刁心;存在量词命题三次£河,px的否定题型一集合的基本概念【例1】已知集合A={xU=3几+1〃$N}集合3={3,567810}则中元素的个数为集合A={12}B=[24}Cc;B={013}・・・AU”={
0123.故选D..设4={回1=2〃,几wN*}B={x\x=2nxwN*}求A\jB.【解答】解={x|x=2nsN}B={x\x=2nxeN*1AfB={x\x=TxeN*}A\^B={x\x=2nxeN*}..已知条件〃:x0条件4x..3则〃?是9?的A充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解若条件p:x0成立,则条件/*.3不成立,反之若条件q:x..3成立,则条件p:x0成立,一.p是q的必要不充分条件,故选B..“x—10”是“犬―10”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解由工2-10解得X1或XV-1故工―10”是“f—10”的充分不必要条件,故选A..已知全集U=R集合A={x|1V用,3}集合3={x|2根vxv1-2}.条件
①=0;
②A是xe笈的充分条件;
③VX]WAHx2eB使得石=工
2.1若〃2=—1求B;2若集合A3满足条件三个条件任选一个作答,求实数机的取值范围.【解答】解1若相=一1则3={%|2mv%vl-初}={%|-2vxv2}A={x|l<工,3}・•.AC\B={x\]x2}.2若选
①=・・.475则\.二mv—2[1-m3・•.实数〃2的取值范围-oo-
2.若选
②xwA是3的充分条件,则A=5r.f2阿,1则\/.相v—2[1-m3・•.实数加的取值范围-oo-
2.若选
③V%e43x2^B使得%=々,则A=52mAi01-m3・•.实数〃2的取值范围-00-
2.
12.已知〃实数x满足集合A={x|啜k5}q实数x满足集合8={x|厂一2x+1—ml+0m0}.1若根=2且命题p和均为真命题,求实数x的取值范围;2若〃是的充分条件,求实数用的取值范围.【解答】解1B={%|%2-2x+1-ml+m„0m0]={x|l-^lk1+m机0}又m=2B={x\—l^lk3}又4={%|掇k5}且〃和乡均为真命题啜k5-1M3故实数x的取值范围是
[13];2p是q的充分条件,A=5乂4={1|1领卜5}B={x\l-n^^c1+mm0}9故实数小的取值范围是[4+
00..若命题“任意X£[-1+002公+
2..a”是真命题,求实数〃的取值范围.【解答】解由题意得/一2办+
2..々在区间[-1+00上恒成立.即%—a..+a-2在1―1+co上恒成乂.
①当%-1时,只需-1-〃
2.・/+〃_2成立,解得a・.-
3.所以此时—3和z—1即为所求;
②当〃—1时,只需../+[_2成立,解得—2麴h1所以此时-综上-3强上1即为所求.已知p k」—-0则“非〃”对应的x值的集合是—{x|—2软3}r—x_6【解答】解p:一」一0x2-x-6则x—60解得%—2或%3所以“非p”对应的x值的集合是{x|-2领k3}.故答案为{x|-2M
3..下列结论中正确的个数是
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;
②命题£+]0”是全称量词命题;
③命题“土£尺,/+2%+10的否定为“£+2%+10”;
④命题“匕是2//的必要条件”是真命题.A.0B.1C.2D.3【解答】解对于
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故
①错误;对于
②命题V九cHY+i”是全称量词命题;故
②正确;对于
③命题x2+2x+lo则「p:\ZxwRx2+2x+10故
③错误;对于
④ac1bc\/.c2^0即,0所以不等式两边同除以°便得到・•.aah”是“achc2”的必要条件;
④正确;即正确的有2个,故选C.
16.Vxg{x|1M2}小£{,|掇出2}使得x+2/+相成立,求实数机的取值范围.【解答】解Vxg{x|1M2}Ue合|啜/2}•・+2加〃+附痴J・・y=%+2在%£口2]为增函数・・.Q+2“〃=3y=,+加在,£口,2]为增函数,/+mw/zl=1+m.\3l+m/.m
2.・・加的取值范围为mv
2.A.1B.2C.3D.4【解答】解「集合A={x|x=3〃+1neN}集合B={34567810}/.=710}・•・A3中元素的个数为3故选C.【变式训练1】已知集合4={-2-1012}3={X£2|史匚0}则集合已收二孙,x-3ye引的元素个数为()A.6B.7C.8D.9【解答】解.2ox—3-2vxv
3.・.3={—1012}又•.A={-2-1012}・・・{z|z=w,xeAy^B}={20-2-41-14}共7个元素.故选B.【变式训练2】含有三个元素的集合既可表示成卜,/}又可表示成{/a+b0}则4021+02021【解答】解.「含有三个实数的集合既可表示成{〃,21}又可表示成{/a+b0}a麦=0a二.v4=1解得a=—1b=0aw
1.•・产+产=_
1.故答案为-
1.[变式训练3]已知集合B有2个元素且集合A和集合B的元素个数之和为6则集合A的子集个数可能是()A.4B.8C.16D.32【解答】解因为集合噌8有2个元素且集合A和集合B的元素个数之和为6则集合A中的元素个数可能有2个,3个,4个,所以集合A的子集个数可能有4个,8个,16个,故选ABC.题型二集合的基本运算【例2】已知集合尸={“£卬啜卜3}Q={xeR\x
2.A}则PD@Q=A.
[23]B.-23]C.[12D.-00-2]J[1+oo【解答]解Q={xeR\x2^}={xeR\x2或用,—2}即有={工£川一2x2}则尸D«Q=—23].故选B.[变式训练1】设集合A={124}B={x|x2-4x+m=0}若4「§={]}则吕=A.{1-3}B.{10}C.{13}D.{15}【解答】解集合A={124}B={x|x2-4x+m=0}.若入3={1}则IcA且1£氏可得1—4+篦=0解得m=3即有B={x|f—41+3=0}={13}.故选C.【变式训练2】设集合A={T1235}八巴34}C={xeR|1x3}则aQcJb=A.{2}B.{23}C.{-123}D.{1234}【解答】解:设集合A={—11235}C={%£R|L%v3}则始C={12}B=[234/.ApCJfi={l2}U{234}={1234};故选D.[变式训练3】已知集合A={%la-4xa+4}8={x|x5或%-1}.1若Q=1求A「3;2若=求实数的取值范围.【解答】解1a=l时,A={x\-3x5};・•.Ap|B=-3-1;2A\JB=R;6Z-4-1•二•a+
45、解得1vav3;二实数a的取值范围为
13.题型三充分条件和必要条件【例3】已知A M—2|3b[x2则A是5的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解由|x—2|3得—3烈5・•・若A:—3领k5成立,则3:lvxv2不成立,反之,若5:lvxv2成立,则A:—3领k5成立,「.A是B的必要不充分条件,故选B.【变式训练1】下面四个条件中,使〃成立的充分而不必要条件的是A.ab+\B.ab-\C.a2b2D.a36【解答】解a〃+l=a〃;反之,例如a=2Z=l满足q/但a=Z+l即推不出aZ+l故a+l是成立的充分而不必要的条件.故选A.【变式训练2】已知全集=火,非空集合4={刈土匚vO}B={x\x-ax-a2-20}.x-3
(1)当.=’时,求
(2)命题命题若9是的必要条件,求实数〃的取值范围.【解答】解1时,A={x\——0}={x|2vx3}1119B={x\x--x-——20}={a:|—x—}.全集U=RI、9CjjB={x|用,—或x..—}.Q・・.C/rA={x|xv3};
2.命题〃:命题q是〃的必要条件2c/1277Cl+2-1—QH..;-,244A={x|2vxv3}B={x\{x-ax-储一20}.•・・,解得
④-1或掇女2a2+
2..3故实数的取值范围(-00-4」1,2].[变式训练3】已知集合4={m1%3}集合B={x[2〃/xl-m}.
(1)当m=—1时,求A[〃;
(2)若是A”的必要不充分条件,求实数〃2的取值范围.【解答】解
(1)当相=—1时,A={x\\x3}9B={x\-2x2}.B={x|lx3}lj{x|-2x2}={x|-2x3};
(2)若是“工£A”的必要不充分条件,则At)5・「A={x11x3}集合B={x|2mxl-tn]解得〃,—
2.1一根..3・•・实数2的取值范围是(-8-2].题型四全称量词命题和存在量词命题【例J4】若命题“VxwH3/+2火+
1..”是真命题,则实数〃的取值范围是_「退h【解答】解若命题uVxgR3x2++
1..0v是真命题,则△=4〃—1幺0解得—例如退,即实数的取值范围是[-G,V3J.故答案为[-6,a/3].【变式训练1】若命题“土£段产一2,-°,,是假命题,则实数的最大值是——1【解答】解若命题方£R*_2/-0”是假命题,则“V/eR是真命题,△=4+4凡0解得
④-1故答案为-
1.【变式训练2】下列结论中正确的个数是()
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;
②命题“Vx£H£+10”是全称量词命题;
③命题“土£氏,丁+2%+10的否定为£+2%+10”;
④命题是的必要条件”是真命题.A.0B.1C.2D.3【解答】解对于
①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故
①错误;对于
②命题”以£H,是全称量词命题;故
②正确;对于
③命题工2+2%+10贝x2+2x+10故
③错误;对于
④ac2bc2:.c2^0即,0所以不等式两边同除以°便得到・•.aab”是“tzc2bc2”的必要条件;
④正确;即正确的有2个,故选C.%2-2加-5工+疗+19W
0.若p9都为真命题,求实数〃z的取值范围.【解答】解若命题pHxwA£—2x+6-3=0为真命题,则△=4-4%2—
3..0解得〃44;若命题夕VxeRx2-2m—5x+m2+19wO为真命题,则△=4m-52-4m2+190解得7«G3+CO又pg都为真命题,/.实数加的取值范围是4}r{m|m-}=丁可..已知集合用={划112}N={x\x3}则MrN=A.{x\x2}B.{x|x3}C.{x|lx2}D.{x\1x3}【解答】解•集合河={%|1%2}N={x\x3}:MQN=M={x\\x2}故选C..集合={
14916...}若beP则㊉bwP则运算㊉可能是A.除法B.加法C.乘法D.减法【解答】解当㊉为除法时,lgP故A错误,4当㊉为加法时,1+4=5e2,故3错误,当㊉为乘法时,m2-n2=m/i2eP故正确,当㊉为减法时,1一4任P故错误.故选C..已知集合4={11+々,1+20B={\b6}若A=3则h的值为-【解答】解A=B9\+a=b—[1+=-・・〈一2或〈,1+2〃=/~11+2=/__3解得1二°或4回1b」2
①当6=1时,不满足集合中元素的互异性;
②当/=一_L时,满足题意.2故人=一.2故答案为—
24.已知集合〃,NP为全集U的子集,且满足MqPqN则下列结论正确的是()A.翔Nq/B痢Pq』C.aP)「M=0D.@)「川=0【解答】解・「集合MNP为全集的子集,且满足三尸=N・•・作出韦恩图,如右图所示.由韦恩图,得:枫口J,故A正确;瘠尸7nM故5正确;@P)「|M=0,故C正确;(例)「乂0故错误.故选ABC.
5.设全集U={x$Z|—2vxv4}集合5与7都为U的子集,57={2}3「|7={-1}秒SC0丁={13}则下列说法正确的是A.0属于S且0属于7B.0属于S且0不属于7C.0不属于S但属于TD.0不属于S也不属于T【解答】解全集U={X£Z|—2XV4}={-10123集合S与T都为U的子集52={2},@SV={-1}.・.T={—12}.郴C={13}・・.S={02}Q/S={—113}旷={013}./.0g5O^TA、C、错误,B正确.故选B..设集合A={x|x+4x+l=0}集合B={x|x-4x—1=0}则A1B=A.{-1-4}B.{0}C.{14}D.0【解答】解集合A={x|x+4x+l=0}={x|x=T或x=_l}={-4-1集合3={x|x—4x—1=0}={x|x=4或x=1}={14}则B=
0.故选D..已知全集={xcN|不4}集合A={12}B={24}则4|1@8为A.{1}B.{012}C.{123}D.{0123}。