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第1章集合与常用逻辑术语单元综合检测难点
一、单选题
1.已知命题〃V6ZGN3/7GN使得>人则一^为A.3tzeNX/Z史N使得B.V力eN使得48C.36/eNV/gN使得qW/D.VtzeNV/gN使得ab【答案】C【解析】【分析】由全称命题和特称命题的否定形式,可得解由全称命题和特称命题的否定形式,可得命题〃V6/eN3/gN使得〃的否定-P为:3tzeNVZ7eN使得故选C
2.已知命题〃当相«12]时,关于x的方程2x+加=0没有实数解.下列说法正确的是A.〃是全称量词命题,且是假命题B.〃是全称量词命题,且是真命题C.〃是存在量词命题,且是假命题D.〃是存在量词命题,且是真命题【答案】A【解析】【分析】对加«12]的理解是加取遍区间[12]的所有实数,当m=1时方程有解,从而判断原命题为假命题.原命题的含义是“对于任意相«12]方程——2x+m=0都没有实数解,但当m=1时,方程有实数解x=l故命题是全称量词命题,且为假命题,故选A
3.设集合={x|x—〃x—3=}N={x[x—4x—1=}则下列说法一定正确的是A.若MN={134}则MN=0B.若MN={134}则mn手0C.若McN=0则MuN有4个元素故答案为
26..我们将b—Q称为集合卜|Wb}的长度若集合M=卜|加Wm+2022}N={x]〃一2023%鹿}且“,N都是集合何%2024}的子集,则集合McN的“长度”的最小值为.【答案】2021【解析】【分析】对私〃的取值进行分类讨论,结合“长度”的定义求得集合McN的“长度”的最小值.由题意得,加的“长度”为2022N的“长度”为2023要使McN的“长度”最小,则,N分别在卜|0%2024}的两端.当m=0〃=2024时、得加={乂0«入42022}N={x\\x2024}9则McN=卜|1x2022}此时集合McN的“长度”为2022-1=2021;当m=2〃=2023时,M={x\2x2024]9N={x|0Kx2023}则McN=卜|2x2023}此时集合McN的“长度”为2023-2=
2021.故McN的“长度的最小值为
2021.故答案为2021
四、解答题.已知全集为R集合A={x[2«x6}B={x\3x-lS-2x}.⑴求AU3;2求AcB;3若=|〃—4xq+4}且人口々C求的取值范围.【答案】⑴3为22}.2{九次3或%6}.⑶{|〃一2或a10}.【解析】【分析】1解出集合以即可求出AU2先求AB再求AcB;3先求出4C={x[x〃—4或,根据AcaC列不等式,求出的范围.13={x|3x-728-2x}={x|x23}.所以Ad3={%[2xK6}u{x|x〉3}={x|xN2}.⑵因为A={x|2Wx«6}8={x|x23}所以AcB={x[2x6}c{x|xZ3}={x[3x6}所以4Ac3={x[%3或x〉6}.3因为C={x|〃一4x«a+4}所以47={]|工〃一4或%+4}.因为A={x|2]«6}且Ac^C所以-46或a+4v2解得10或一
2.即Q的取值范围{1一2或10}.Y—
4.已知集合人={%|--0}集合3={x|q—2%2+1}.x+31当〃=3时,求A和6rAU5;2若xeA是xgB的必要不充分条件,求实数的取值范围.【答案】1A={x|xv—3或x4}^AuB={x|-3x7};2一2或q
6.【解析】1当=3时,得出集合3解分式不等式即可得集合A再根据补集和并集的运算,从而可求出金RUB;..〃—22a+1]4—2W2q+12由题意知BUA当3=0时,〃—2为+1;当5W0时,।勺或彳,从而可求出实[2〃+1-3[a-24数的取值范围.解1由题可知,当=3时,则3=|1%7}则A={x[—3x4}所以AuB={x|-3xW4}u{x|lx47}={x|-3xW7}.2由题可知,A是的必要不充分条件,则8UA当3=0时,一22〃+1解得a-3;q-22i+1fa—22a+l2a+l-3或ja—2〉4解得-3-2或6;综上所得-2或
6.【点睛】结论点睛1若,是q的必要不充分条件,则夕对应集合是,对应集合的真子集;2〃是q的充分不必要条件,则〃对应集合是q对应集合的真子集;3是q的充分必要条件,则对应集合与q对应集合相等;4是q的既不充分又不必要条件,q对的集合与〃对应集合互不包含..已知命题1关于1的方程如2+2工+1=0最多有一个实数根,记满足条件的加的取值范围构成集合4命题2|2m-l|3记此不等式的解集为R命题3a:2x4^:3m-lx-m9且万是7的充分条件,记满足条件的加的取值范围构成集合C1求集合ABC;2命题
1、命题2和命题3中有且仅有一个真命题,求加的取值范围.【答案】⑴4={0}B=—l2C=,T;2—I]-1001[2+o.【解析】【分析】1根据二次方程根的分布、解绝对值不等式、充分条件,即可得到答案;2分三类情况,即可得到结果.⑴命题1当m=0时2x+l=0X=-1满足题意当相0时,A=4-4m0即机综上A=[L”U{};212m—113—3v2m—13—lvm2・・・3=-12;命题3•••万是》的充分条件,即是用的充分条件,/.{x2xv4}o|x|3m-1x-zn|.J3m-
124.・〃4-4即C=-oc-4];2若命题1为真,命题2和命题3为假,则相«2+x若命题2为真,命题1和命题3为假,则〃2«—10101若命题3为真,命题1和命题2为假,则/%£yo-4]综上,加的取值范围f,tj—i,°y°,i」2y..已知集合A={x|—24x2}3={y|y=分+3%£A}C={y\y=2x-h3axeA]1若Vy^BX/%£C,总有成立,求实数的取值范围;2若VxeB3^2eC使得工必成立,求实数的取值范围;3若寺使得成立,求实数的取值范围;4若小小53y2eC使得力4必成立,求实数的取值范围;17【答案】1a7;26/—;3«-;4a-\.【解析】【分析】(I)由山小8总有必(%成立,则儿皿列出不等式,继而得出答案;
(2)由VmeB3y2eC使得成立,则打侬,列出不等式,继而得出答案;
(3)由小小8Vj;2eC使得X成立,则―必…列出不等式,继而得出答案;
(4)由小小8使得以%成立,则%—必…列出不等式,继而得出答案;1设乂=办+3%=2x+3a其中一2Wx42由题设可得Ymax丁2min即Ymax3]-4故解得
27.⑶设1=以+3%=2x+3q其中一2x2由题设可得Nimin-Hmm即Mmin3〃-4故一2a+34-4+3〃或2a+34-4+37解得不
(4)由题设可得YminW)2max,故—2+34+3或2+34+3q解得qN—
1..设集合M=卜,=/一〃2mhez|.
(1)证明属于的两个整数,其积也属于M;
(2)判断
32、
33、34是否属于加,并说明理由;
(3)写出“偶数2Z(Z£Z)属于的一个充要条件并证明.【答案】
(1)见解析;
(2)32eM33eM34eM理由见解析;
(3)k为偶数证明见解析.【解析】【分析】
(1)设JM则对他进行化简,观察其是否满足集合M的条件,进行判断即可;
(2)用反证法进行判断即可;
(3)证明充要条件时既要证充分性,又要证必要性.tt=nr-n\m〃wz1中的元素4=根一,t2=m;—后,所以/2\/22\22222222单2=肛乂一州%—/+巧巧=m12m22+雇心2一犯2%2+2g2=仍回+々々2-肛七十小网一,因为出neZ所以町也+九匹,S〃2+4根2£Z所以有Jt2lM则他iM所以属于A/的两个整数其积也属于2因为32=62—22所以32eM;假设33eM则33=4一〃2=加+硕加一〃,因为仅neZ所以相+〃与〃〃有相同奇偶性,因为33为奇数,所以加+〃与机-〃一个为奇数一个为偶数,则m十九与m-〃有相同奇偶性相矛盾,所以不成立,所以33纪M;假设346M同上可得34=疗一/=加+〃〃2-〃,因为帆neZ所以相+〃与根-〃有相同奇偶性,因为34为偶数,所以根+〃与〃-〃均为偶数,所以机+〃乂加-〃应为4的倍数,而34不是4的倍数,所以假设不成立,所以34史M.3“偶数22%£Z属于的一个充要条件是k为偶数.充分性因为左为偶数,设Z=2q〃£Z所以2左=4々,而q+12—Q—l『=4q所以2攵=q+1『一q—I满足集合加=*『=疗-后m〃wz}所以偶数2MAcZ属于M;必要性因为偶数2左左wZ属于加,所以22=加-»=m+〃m-〃,因为帆neZ所以相+〃与加-〃有相同奇偶性,因为乂后GZ为偶数,所以根+〃与机-〃均为偶数,所以根+〃m-〃应为4的倍数,2k必为4的倍数,即%必为2的倍数,所以人为偶数.【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件,解题的关键是会用反证法证明,以及会证明充要条件.
22.设集合A为非空数集,定义A+={x|x=a+b以、beA}A-={x\x=\a-b\、beA}.⑴若A={-11}写出集合a+、a-2若人={再,4,4,/},为<9<工3<工4,且A-=A,求证%+%=工2+当;⑶若Aq{x|族/2021X£N}且A+「/T=0求集合A元素个数的最大值.【答案】⑴A+={-202}4={02};2证明见解析;
31348.【解析】【分析】⑴根据新定义,直接得出集合〃、A;⑵根据两集合相等即可得出“々、与、Z的关系;3通过假设A集合{加,m+1m+24042}m2021m^N求出相应的A+、/T根据A+A一=0列出不等式即可求出结果.由题意知,A={-11}得T={—202}4={02};由于集合4={玉,%3,%},为%2尤3%4,且/T=A,所以集合A一中有且仅有4个元素,即同-={0,9-X,刍-芭,%4-%}剩下的元素满足々一玉=%3-%2=%4一%3,即X+工4=工2+工3;设4={《4%}满足题意,其中…〈以贝lj2q4+q+/•4+4生+ak%+%vak-\+《2ak,所以+上2%-1ax-axa2-a]a3-a]ak-a]所以42%因为AF因=0由容斥原理,4-|=⑷+同之31A+14最小的元素为0最大的元素为2即,所以
①由2%+1所以女—142%+14043供eN*解得^1348实际上当4={6746752021}时满足题意,证明如下设4={m,m+Lm+22021}meN贝ljA+={2根2根+l2〃2+2・・4042}4一二{012・・・2021—加}2依题意,有2021-mv2〃z即愣>673鼻,所以根的最小值为674于是当根=674时,集合A中的元素最多,即A={674675,,2021}时满足题意.综上所述,集合A中元素的个数的最大值为
1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解•对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.D.若MN/0则MN={134}【答案】D【解析】【分析】首先解方程得到M={3间}或M={3}N={14},针对a分类讨论McNMuN即可.1当q=3时,M={3}MN=0MJN={134;2当a=l时,M={13}MN={l}MN={134};3当〃=4时,M={34}MN={4}MN={134};4当qw134时,M—MN=0MN={L34a};综上可知ABC不正确,正确故选D
4.如图,三个圆的内部区域分别代表集合ABC全集为/则图中阴影部分的区域表示B.4cCc0BD.BnCn^A【答案】B【解析】【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.解如图所不AcBcC对应的是区域1;AcCc®/对应的是区域2;AcBc℃对应的是区域3;BcCc@A对应的是区域
4.故选B
5.设/为全集,S
2、S3是/的三个非空子集且S|US2dS3=/.则下面论断正确的是A.nS2uS3=0B.鸟口期512c凡C.腿c£c/S3=0D.4那2D/S3【答案】C【解析】【分析】画出关于S=/且含7个不同区域的韦恩图,根据韦恩图结合集合的交并补运算确定各选项中对应集合所包含的区域,并判断包含关系.将S|uSUS3=/分为7个部分各部分可能为空或非空,如下图示所以S]=S2=AJBJCJF.53=AuCoDuG则6/S]=Cu/uGdzS9=DjEjG3=BuEdF所以邑dS3=Au3uCu尸uG故0S]CS2DS3=buGA错误;版c凡=E故知2c/邑三5B错误;耦c】S2czs3=0C正确;腿$=BdDdEdFdG显然3与腿2^邑没有包含关系,D错误.故选C6设a6cgR贝广a历=0是/+44+04=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可.当abc=0时,若=1/==,不能推出/+4+c=0不满足充分性;当/+4+/=0则a=b=c=0有而c、=0满足必要性;所以%历=0”是+°4=o的必要不充分条件.故选B
7.设全集=卜|国4且]£4,S={—213}若PjUaP[S则这样的集合P共有A.5个B.6个C.7个D.8个【答案】D【解析】【分析】先求出全集U再求出集合S的子集即为gp再进行补集运算可得集合P进而可得正确选项.u=卜|Wv4且X£Z}={-3-2-10123}S={-213}的子集有0{-2}{1}{3}{-21}{-23}{13}{-213}S={—213}的子集有8个,(QjP)qS所以均尸有8个因为瘩(uP)=P,所以存在一个熊尸即有一个相应的P,所以尸={—3—2—10123}{-3-10123}{-3-2-1023}{-3-2-1012}{—3—1023}{-3-1042}{-3-2-102}{—3—102}有8个,故选D.
8.已知集合A中有10个元素,3中有6个元素,全集U有18个元素,AcBwO.设集合(您4)c(uB)中有X个元素,则X的取值范围是()A.{x3(x8x£N}B{x2xW8xeN}C.^x|8x12xeN|D.|a|10x15xeNj【答案】A【解析】【分析】分析可得AB至少有1个元素,至多有6个元素,由(桐)c(uB)=%(AuB)由补集的定义即可求解.集合A中有10个元素,3中有6个元素,因为AcBw0AQ8至少有1个元素,至多有6个元素,所以A5至多有15个元素,至少有10个元素,集合(桐)c(胆)=%(Au3)有x个元素,则3WxW8且x为正整数.即x的取值范围是{x[3x8%£N}故选A.
二、多选题
9.下列说法正确的是()“对任意一个无理数xY也是无理数,,是真命题“外0”是“尢+丁0”的充要条件C.命题“6Rf+1=0的否定是“VxeR丁+1W0,,D.若的必要不充分条件是“m-2vxm+2”则实数加的取值范围是
[13]【答案】CD【解析】根据命题的真假,充分必要条件,命题的否定的定义判断各选项.x=0是无理数,/=2是有理数,A错;x=-ly=-2时,xyQ但x+y=-30不是充要条件,B错;命题天£R/+1=的否定是Vxex2+10C正确;[m-21“Ixv3”的必要不充分条件是“m-2%m+2,贝IJ两个等号不同时取得.解得1金三
3.D[根+223正确.故选CD.【点睛】关键点点睛本题考查命题的真假判断,解题要求掌握的知识点较多,需要对四个选项一一判断.但求解时根据充分必要条件的定义,命题的否定的定义判断,对有些错误的命题可以举例说明其不正确..已知〃是〃的充分条件而不是必要条件,q是厂的充分条件,$是〃的必要条件,q是$的必要条件.现有下列命题
①§是g的充要条件;
②〃是q的充分条件而不是必要条件;
③〃是q的必要条件而不是充分条件;
④是r的必要条件而不是充分条件;则正确命题序号是()A.
①B.
②C.
③D.@【答案】ABD【解^51【分析】根据题设有〃但〃分P即知否定命题的推出关系,判断各项的正误.由题意,但今〃,故
①②正确,
③错误;所以,根据等价关系知「〃且M分「广,故
④正确.故选ABD.我们知道,如果集合AqS那么S的子集A的补集为A={x|x£S且xeA}类似地,对于集合A台我们把集合A且次金用,叫作集合A和区的差集,记作A—5例如A={12345}3={45678}则有A—B={123}B-A={678}下列解答正确的是()A.已知A={45679}3={35689}则3—A={378}B.已知A={x[x-1或x3}B={x|-2x4}则A-B=[x\x-2^x\\C.如果A—3=0那么AqBD.已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示,则A-B=【答案】BCD【解析】【分析】由题意可知A-8即先求A3的交集,然后求其以A为全集的补集,结合差集定义依次判断各个选项即可.由题意可知,A-3即先求A3的交集,然后求其以A为全集的补集.对于A根据差集的定义可知若4={45679}5={35689}则3—A={38}故选项A不正确;对于B4=或x3}B={x|-2x4}则2405={工|一2工一1或3%4}故A—B={x|x—2或x24}故选项B正确;对于C如果A—3=0则AB=A故故选项C正确;对于D因为4-3=疫(4门3)=4^^1;3故选项D正确.故选BCD.当一个非空数集G满足“如果SeG则a+ba-反必wG且力wO时”G”时我们称G就是一个数域b以下关于数域的说法:
①是任何数域的元素;
②若数域G有非零元素,则2019eG;
③集合P={x|x=2Z%£Z}是一个数域;
④有理数集是一个数域;
⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有A.
①②【答案】AD【解析】【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假,题目给出了对两个实数的四种运算,要满足对四种运算的封闭,只有一一验证.
①当时,由数域的定义可知,若absG则有eG即OeG故
①是真命题;
②当=时,由数域的定义可知,若absG则有即leGb若leG则l+l=2eG则2+l=36Gl则1+2018=2019eG故
②是真命题;
③当=21=4时,f==故
③是假命题;h2
④若4力£,则+一〃/£,且人0时,;£,故
④是真命题;b
⑤OeG当bwG且8wOB寸,则一bsG因此只要这个数不为就一定成对出现,所以有限数域的元素个数必为奇数,所以
⑤是真命题.故选AD.【点睛】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力,理解数域的定义是解决该题的关键,题目着重考查学生的构造性思维,一定要读懂题目再入手,没有一个条件是多余的,是难题.
三、填空题.A=[-13]B=[2加-1加+5]已知“xwA”是的充分不必要条件,则实数团的取值范围是【答案】—24加工0【解析】【分析】由已知,集合A是集合B的真子集,以此列不等式组,即可求解加的取值范围由已知,集合A是集合5的真子集,即加需满足不等式组323且等号不同时成立用早得一2〃140故答案为-2m
0.已知命题P Dxe
[12]aNx+l”命题q“HxgR2x2+5x-^a=0\〃的否定是假命题,4是真命题,则实数的取值范围是.【答案】得]【解析】【分析】根据给定的全称量词命题和存在量词命题都是真命题分别求出的取值范围,再求其公共部分即可得解.由立句12]在x+1得,6/3因〃的否定是假命题,则〃是真命题,于是得25因2x2+5x+a=0即方程212+5工+〃=0有实木艮,则△=25-8qN,解得qV丁,O25又夕是真命题,则〈三,O25因此,由〃是真命题,q也是真命题,可得一,O所以实数a的取值范围是R故答案为[在今].已知7是方程入2+外+9=0〃2—49的解集,A={135798二{14710}且TcA=0TcB=T则P+4=.【答案】26【解析】【分析】根据集合「A8之间的关系,确定一元二次方程的解集,即可由根与系数关系求得P+/对方程Y+px+q=0p2—440显然有两个根,故可得集合了中有两个元素;因为TcB=T故可得T中的两个元素一定在集合区中;又因为TcA=0故可得7中的所有元素都不在A中;综上可得7中的元素一定是4和10由根与系数的关系可得14=-p40=%则P+9=
26.。