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【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题11概率(50题竞赛真题强化训练)
一、填空题(2018•安徽•高三竞赛)从12…,10中随机抽取三个各不相同的数字其样本方差的概率=.【答案】七【解析】【详解】13玉<勺<七的样本方差菁一可YI,当且仅当为、/、凡是连续的正整数.故网/川=专咕故答案为2(2018•广东•高三竞赛)袋中装有m个红球和n个白球,m>佗
4.现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系+〃W40的数组(mn)的个数为.【答案】3【解析】【详解】记“取出两个红球”为事件A“取出两个白球”为事件B“取出一红一白两个球”为事件C则外力=令,/4)=舁,P(C)二号i依题意得P(A)+P
(8)=P(C)即C+C=C C.所以〃+,=(〃-〃『,从而〃十〃为完全平方数.又由〃之4及〃+〃W4,得9W〃7+〃W
40.解之得(mn)=
(63)(舍去),或
(106)或
(1510)或
(2115).故符合题意的数组(mn)有3个.故答案为313(2018•广东•高三竞赛)已知点A
(11)B(-0)C(p0)经过点A、B的直如图所示,根据矩形特点,由这16个点可以构成C xC=36个不同的矩形.又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形,且不同的矩形,分割所得的直角三角形也不同.因此,可得4x36=144个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形.再算直角顶点不在矩形顶点
(1)在1x2的矩形中,有直角顶点不在矩形顶点,边长分别为(右正2)的直角三角形两个.而1x2矩形横向、纵向各有6个,故共有2x12=24个.
(2)在2x3的矩形中,有直角顶点不在矩形顶点,边长分别为(逐,石・屈)的直角.角形4个,边长分别为(百2后)的直角三角形4个.而2x3矩形横向、纵向各有两个,故共有(4+4)x4=32个.一……C144+24+322005所以所求的概率尸=—设一=标=y・(2018・全国•高三竞赛)从集合{122014}中随机地、不放回地取出三个数
6、%、%然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数%区、则将qx/x6为长、宽、高的砖能放进以4xx4为长、宽、高的盒子中的概率为【答案】74【解析】【详解】不妨设qv^v%,ab2Vb3当且仅当a2b2时砖可放入盒中.设(vs…C6是从{12…2014}中选出的六个数再从中选出三个,有盘=20种方法.这三个作为八
4、%,剩下三个作为仇、仇、仇,符合要求的q只能为q.%若为2,则内可为G或或5;%若为3,则内可为或.故符合要求的取法为5种,概率〃=—=;.(2018・全国•高三竞赛)小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子,直到第一次出现6点为止.则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为.【答案喘【解析】【详解】设小明、小红投掷次数分别为久则所求为工夕伍=〃=『)+「《=・,〃=,+l)+P(J=i+1,〃=】.i-l由独立性知所求概率为(2018・全国•高三竞赛)设n为正整数.从集合{
12.2015}中任取一个正整数恰为方程3g+£的解的概率为([可表示不超过实数x的最大整4JU数).【解析】【详解】当〃=62(丘4)时,肝愕卜3⑶+册图+愕卜2八女=3满足题中方程的n为6122010共335个;当〃=6k—5(ZeZj时,]==3k-3n~\「〃]「62一5]「6%-5].—+—=+=2k-2+k-\=3k-
3.3636满足题中方程的n为1713…,2011共336个;当〃=6攵一4(左wZ_)时,]==3—2「〃]「〃[「6%-4]「6k-4_..--+-=+=2k-2+k-\=3k-
3.|_3」16」L3」L6」满足题中方程的n不存在;当〃=6攵—3(kwZ+)时,=3k-
2.满足题中方程的n为
3915...»2013共336个;»6k—2当〃二6攵-2(后eZ_)时,—==3k-\
22.aw一「〃[「〃[「62-21「64-2-+-=+=2k-\+k-\=3k-
2.|_3」|_6」L3」L6」满足题中方程的n不存在;当〃=6攵-1(火wZ+)时,;=~~~=32-1满足题中方程的n不存在.因此,从集合{L2•2015}中任取•个正整数n恰为题中方程的解的概率为335+336+336_10072015-2015(2018・全国•高三竞赛)抛一颗色子三次,所得点数分别为小、〃、〃.则函数y=3~^2一〃“+1在3”)上为增函数的概率为.【答案】受24【解析】【详解】注意到,f(x)-pX+\在[1-ko)上为增函数等价于/(X)=2〃次2-小-〃>0在[1+8)上恒成立,等价于/⑴>,即力当〃=2时,n+p3有3种;当〃2=3时,n+p5t有10种;当〃=4时,〃+〃47有21种;当小=5时n+p9t有30种;当〃=6时,n+p\l有35种.(
2019.全国•高三竞赛)将编号为129的几颗珍珠随机固定在一串项链上,假设每颗珍珠的距离相等,记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为丁则7取得最小值的放法的概率为.【答案】七【解析】【详解】9»由题设,知珍珠的固定方法共有=7=4x7!(种).9x2在项链所在的圆周上,从1〜9有优弧和劣弧两条路径,设司修,…,4是依次排列在这段弧上的珍珠号码.则丁=|n|+|n-即+…+氏一淞|一%)+(%一/)+…+(/-9)|=8当且仅当1为<…〈毛〈9时,等号成立.因此,丁取得最小值的放法共有C;+C;+《+C;=26(种).(2018・全国•高三竞赛)小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小,且无人与他并列,则判他获胜;若投出最小数的人多于一个,则将没投出最小数的人先淘汰,再让剩下的人重新做一轮游戏,这样不断地进行下去,直到某个人胜出为止.已知第一个投掷色子的小张投到了数
3.则他获胜的概率是.【解析】【详解】考虑第一轮次中可能出现的四种情形.
(1)小张获胜.这种概率是4
(2)小张与另外某一人打成平局.这种概率是1,乂(3丫=,36{6)8故形成此情形且小张最终获胜的概率是6=o216(注意该游戏永不停止地进行下去的概率是0下同).
(3)小张与另外某两个人打成平局,这种概率是=故形成此情形且小张最终获胜的概率是8=乙2=
3.24372(\।
(4)所有人均打成平局.这种概率是-=—⑹216故形成此情形且小张最终获胜的概率是乙=击;=言.综上,小张在游戏中获胜的概率为尸=/+6+A+巴=:+上+上+47=o1672864864(2018・全国•高三竞赛)从集合{12…2011}中任意选取两个不同的数a、b使得+〃=〃(〃为某正整数)的概率为境则面的最小值为.【答案】
2010.【解析】【详解】k1记使得4+8=〃的方法有攵种.则不—=而7==
1005.考虑而尽量小,且使〃+/,=〃的方法有1005种.取“=
2011.则1+2010=2+2009=...=1005+
1006.此时,+=2011的选法恰有1005种.于是,他的最小值为1x2010=
2010.(2018・全国•高三竞赛)48两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员每名队员出场一次.48两队的三名队员分别是
4、A、牛与、四,且4对纥的胜率为*(1Wi、了3).则A队得分期望的最大可能值是.【答案喘【解析】【详解】设A,4胜率为百〃2,3则同队得分期望为A+P2+P3u12312312312312312324625533635444643591可知,当A4:综4:何时,期望最大为
2.6(208全国•高三竞赛)将1〜6这16个正整数随机地填入4x4棋盘的16个格子中(每格填写一数),则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为41【答案】市【解析】【详解】首先,将4x4棋盘染黑白两色,使黑、白两种格子各有8个,且每行(或列)中同色的格子有偶数个.分三种情况讨论:
(1)若第•列为两黑两自,则该列有C种染法.考虑后三列每行黑格的个数,则有1+2x3x2+3x2x2+3x3=34种染法.
(2)若第一列为四黑,则后三列共有3+C;C=21种染法.
(3)若第一列为四白,则后三列共有21种染法.对于以上每种染法,将1〜16中的偶数填入黑格中,奇数填入白格中,得到满足条件的填法.故所求概率为6x34+21x2x8!-=416!21452019・全国•高三竞赛某人练习打靶,开始时,他距靶100/〃,此时,进行第一次射击.若此次射击不中,则后退50〃进行第二次射击,一直进行下去.每次射击前都后退50机,直到命中为止,已知他第一次的命中率为,且命中率与距离的平方成反比.4则他能够命中的概率等于.【答案】【解析】【详解】记事件“第〃次射击命中“为A”,其概率为P
4.则pA=;.又笫〃次射击时距离靶100+50〃-l=50〃-lW/vi则p4=7T70A=LT7「是,前八次内命中的概率为_]1〃+2_n2〃+12/+1令〃-8得]而与=
1./1-»2因此,此人能够命中的概率是:.1故答案为:2019・全国•高三竞赛如图,给定由或回个点组成的正三角形点阵.在其中任2意取三个点,以这三点为顶点构成的正三角形的概率为.2[答案]人n~+〃-4【解析】【详解】设正三角形点阵的凸包为正A48C边长为首先,计算正ADEF的个数,其中,D、E、F为上述正三角形点阵内的点.如图,将AB、AC分别延长到点使得4A=CC=
1.将分成n等份.对正三角形点阵内任一点X过X作AB、AC的平行线与8C的交点,并分别记为XcX..下面分两种情形.
1.正△DEF与正△ABC的对应边平行,则正△DEF与边8上有序三点组片月区•・对应,有个正三角形.
2.正△££尸不与正△ABC对应边平行,作正△的外接正△DEF使得正△DEF与正△ABC的对应边平行,则正△O£T与边B上有序四点组耳一一对应,有C3个正三角形.综上,共有c3+c“=C1个正三角形.C2_2从而,所求概率为N-—〃2十〃_
4.,/T+122故答案为2,n+/Z-
434.2019・全国•高三竞赛有7名运动员分别获得某项比赛的
一、
二、三等奖,已知一等奖的人数不少于1人,二等奖的人数不少于2人,三等奖的人数不少于3人.则恰有2人获一等奖的概率为.【答案*【解析】【详解】按
一、
二、三等奖的顺序,获奖人数有三种情况
124133223.当124时发奖方式有6乂S=7x—xl=105种;当133时发奖方式有*2=
7、啜140(种卜当223时发奖方式有故恰有2人获一等奖的概率为210_6210+140+105-13・2019・全国•高三竞赛某校进行投篮比赛,共有64人参加.已知每名参赛者每次3投篮的命中率为:规定只有连续命中两次才能被录取,一旦录取就停止投篮,否则4一直投满4次.设4表示录取人数.则E.【答案】54【解析】【详解】每位参赛者被录取的概率为
(44)1444八4444八4444).216_.Eg=64x=54256故答案为54(2019全国•高三竞赛)数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒(如10:03:18).在同一天的05:00:00〜23:00:00(按小时计算)之间,钟面上的六个数字都不相同的概率是.【答案】黑【解析】【详解】为了满足题中的条件,设钟面显示应为4%〃】吗.邑“6»64工4).当46他6时,叫和片应在小于7中的另外四个数中选择.因而,叫有四种选择方式,豆有三种选择方式.由于已选择了四个数字,叫和$2就只能从剩余的六个数字中选择,它们分别有六种、五种的选择方式.在05:00:00—23:00:00之间,这种情形共有时间总数是7x4x3x6x5=
2520.当
九、也中只有一个小于6时类似可求在05:00:00~23:00:00之间,这种情形共有时间总数是8x5x4x6x5=
4800.因此,钟面上的六个数字都不相同的次数是2500+4800=7320概率为7320_6118x3600-540(2021•浙江金华第一中学高三竞赛)甲,乙两人进行一场七局四胜制的游戏,任何一人累计获胜四局即为胜方,同时游戏结束,另一人为负方.若在每局中,双方各有;的概率获胜,则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为35【答案】弓16【解析】【分析】【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为X则X可能取值为
1.234比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场px=1=;仕丫=工;16比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场PX=2=2C^f-T=—;一⑶16比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场PX=3=2C;gJ=;比四局,胜方连胜四局PX=4=2g=所以EX=-^-xl+9x2+」x3+」x4=吏.1616481635故答案为102019・四川•高三竞赛设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球取出某色球的概率均相同,确定颜色后放回,直到连续两次均取出红色球时为止,记此时取出球的次数为,则^的数学期望为.【答案】12【解析】【详解】设所求数学期望为凡第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数g的数学期望为E
3、ES、Ec.WJEb=Ec.因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的,所以E=E“;2ES
①先考虑第一次取出的球是红色的,若第二次取出的球是红色的,则操作结束;若不然,第i个为红球,第二个球的颜色为黄或蓝,忽略第i个球,剩下的取球方式可以I2视为一种新的取法即第一个球的颜色是黄或蓝则凤;X2+1+七仍
②再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝,忽略第一个球,剩下的取球方式可以视为一种新的取法则石S=E+1
③由
①、
②、
③,解得E=
12.故答案为
12.(2019•广西高三竞赛)从12…,20中任取3个不同的数,这3个数构成等差数列的概率为.3【答案】38【解析】【详解】设取出的3个不同的数分别为〃、b、.不同的取法共有C种,若这3个数构成等差数列,则有a+c=2尻故、c同为奇数或同为偶数,且与c确定后,力随之而定.从而所求概率为「=皂卢=
1.Jo四故答案为I;.38
二、解答题(共分)(2018•黑龙江•高三竞赛)为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”的战略,哈市面向全市征如《扶贫政策》义务宣传志愿者,从年龄在[2045]的500名志愿者中随机抽取100名,其年龄频率分布直方图如图所示.
(1)求图中x的值;
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动,再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低35岁”的人数为X求X的分布列及数学期望.【答案】
(1)x=
0.06
(2)分布列见解析,期望为
1.8【解析】【详解】
(1)根据频率分布直方图可得(
0.01+
0.02+
0.04+x+
0.07)x5=1解得x=
0.
06.
(2).用分层抽样的方法从100志愿者中选取10名则其中年龄“低于35岁”的人有6铭,“年龄不低于35岁”的人有4名,故X的可能取值为
0123.小=)啜=袅尸(x=】)=警*线和经过点A、C的直线与直线),1)所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域{(xy)|0x20yl}中任意一点进入区域G的可能性为S,则a=.【答案】|【解析】【详解】直线AB方程为y=2x-l直线AC方程为y=-2x+3直线y=〃与它们的交点为D
(二),E(好).G的面积等于三角形ADE的面积(1一),因此222(1-4=_1_^解之得〃二4162故答案为:(2019・全国•高三竞赛)已知甲、乙两人进行一种博弈游戏,甲获胜的概率为:,乙获胜的概率为g.若其中一人比另一人多赢两局,则游戏结束那么,需要进行的游戏局数的数学期望为.【答案】y-【解析】【详解】设所求的数学期望为七彳.注意到,两局就结束的概率等于(|j+f|Y=|.若两局没有结束,则必定恰赢了一局,回到初始状态,此时的数学期望为2+七3从而,32+*+E力唐n成若.故答案为(2019・全国•高三竞赛)两人约定在某天一同去A地,早上7点到8点之间在3地会合,但先到达B地者最多在原地等待5min分钟,如果没有见到对方则自己先行.设两人到达8地的时间是随机的、独立的、等可能的.那么,两人能够在当天一同去A地的概率是-PX=2=警=;px=3=旨qjo乙C|O°故X的分布列为:13c1c1cx—+1x—+2x-+3x-=
1.
8.301026(2018•湖南•高三竞赛)棋盘上标有第012…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败集中营)是,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为匕.(I)求A的值;
(2)证明%-2=-;亿-%1)(24〃499);
(3)求b、loo的值.【答案】⑴|
(2)”=依-%)(24】499)
(3)%=;(1+表)【解析】【详解】
(1)棋子跳到第3站有以下三种途径连续三次掷出正面,具概率在J;第一次掷出O反面,第二次掷出正面,其概率为!第一次掷出正面,第二次掷出反面,其概率为4因此舄吟
(2)易知棋子先跳到第,2-2站,再掷出反面,其概率为:匕_2;棋子先跳到第〃-1站,再掷出正面,其概率为gel因此有匕=夕心+%),即匕-6m,也即已「匕=/匕一么|)(2(〃工99).
(3)由⑵知数列{月「电}(〃川是首项为仍「加}(〃川[-£=$=!公比为的等比数列.因此有匕-呼.由此得到3目+-{!+…由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有/0=;=;1+/.2018・全国•高三竞赛已知数列也}满足4=0并且对任意的〃c乙取q-1或%+1的概率均为g.1设%的值为随机变量X试求X的概率分布;2求X的绝对值的数学期望E|X|.【答案】1见解析;2%【解析】【详解】1设
4.则对任意正整数小4取1或」的概率均为;,且2n2n/e=4+q=.f=1/=!设2“+1=.显然,|k|w2〃,并设此时44…,d2M中有X个l2n・x个-
1.则X-2n-x=k.因此,k=2x-n只能取[-2n2n]之间的偶数值.对于偶数2mm=0±l...土n事件{X=2m}相当于在2n个数44…,2n中有n+m个取1n-m个取-1因此,X的概率分布可表示为PX=-2〃=£^-〃=0±1/、土〃22对任意IgiWn易知PX=-2m=PX=2m.从而,尸因=2〃=泼〃=12….2018・全国•高三竞赛掷骰子为均匀的正方体,六个面分别标有
1、
2、
3、
4、
5、6游戏规则如下第一次掷9枚骰子,将其中显示为1的骰子拿出放到一边;第二次掷剩下的骰子,再将显示为1的骰子拿出;……,直到未掷出显示为1的骰子或骰子全部拿出,游戏结束.已知恰好掷9次结束游戏的概率为绥、b、c、d为不同的质数,〃、veN.•求”v+府•【答案】2012【解析】【详解】由游戏规则,知若恰好掷9次结束游戏,则前八次中每次恰好有I枚骰子显示为1第九次无论显示是否为I游戏均结束,其中,第2伏=12…8次掷10-4枚骰子恰有1枚显示为1的概率为生嗯£二.6=a=7〃=5c=3d=2“=37v=40■故uu+时=37x40+532=2012•2018•全国.高三竞赛从集合S={12…同〃eN+,〃之2的子集中先后取出两个不同的子集P、Q求以下事件发生的概率P0Q且Q0P;CardPnQ=A:O^/-13-2【答案】11一2”727厂2【解析】【详解】由集合S共有2个子集,知有序子集对AQ的取法共有怎二22-1种.1考虑“P0Q且Q0P”的对立事件:“尸<=#或<==”.若尸uh,记CardQ=ilW〃..则有C;种取法.而尸是的真子集,于是,产有2J1种取法.从而,满足Puw的子集对P的取法总数为£c;2-=-=3”-
2.i=li=O1=0由对称性,Quhp的取法也布.3-2种.因此,pU,」
1.2口尸的概率为1一品备*2”彳二.2集合S={12…可中含有〃的子集的个数为2」个.于是,事件CardPcQ=OKK〃-l等价于在〃-左元集合S=S\PcQ中先后选取两个子集户、Q使得PcQ,=
0.设CardP=0W注则P有C种取法.于是QcG,〃•从而,有2人种取法.此时,子集对(产0)共有2八七种选法.故满足PcQ=0的子集对(R)有921G=V(个).3人因此,Card(尸cQ)=M〈攵〈〃一1)的概率为彳可口•(2019・全国•高三竞赛)甲乙两人参加竞选,结果是甲得〃票,乙得〃票(〃>机).试求唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率.【解析】【详解】若唱甲当选,则记为1;若唱乙当选,则记为T.每一种唱票方式都对应一个由〃个1和〃,个T组成的排列.用5人表示谴责攵项的和,在直角坐标系中标出点(太)并将点化工)与点优+1加)用线段联结(左=01・〃7+〃其中$=0).这样,每一种唱票方式都对应一条联结0
(00)与4(〃7+〃〃-⑼的折线.而甲累计的票数始终领先等价于所有的点伏)都在k轴的上方,即折线与x轴无交点(我们称为“好折线”,反之为“坏折线”).显然,联结、A的“自由(无限定条件)折线有C;;条,这是因为在〃+〃段中选择〃段为上升有C、种方法.对每一条坏折线,有如下两种情形一是经过点S(L-1)二是经过点7
(11).对于第一种情形,坏折线是由S到A的自由折线,从而,这样的折线有Cet条.对于第二种情形,注意到过了』)的坏折线必与x轴相交,设其横坐标最小的交点为P.将此折线位于尸左边的部分作关于x轴的对称折线,便得到过点S(l-1)的坏折线,丁是,坏折线的条数也有C1-条.所以,合乎条件的好折线的条数为综上所述所求的概率为产CZt_〃-C;+mT_〃一〃(2019・全国•高三竞赛)如图,正六边形A8COE尸的中心为O对A、B、C、、E、〃、这七个点中的任意两点,以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量,以它们的数量积的绝对值作为随机变量久试求4的概率分布列及其数学期望Eg.【答案】见解析【解析】【详解】所作出的向量数为仁=21则可取=210对向量.设所取向量分别为、
6.由于4=|她=闻瓦卜M耳,因此,可不考虑向量的方向.不妨令所取两向量的夹角均为它们所在直线的夹角(取值范围为[090])则任意两向量之间的夹角均属于集合{0306090}每个向量的模值属于集合[162}.其中,模为1的个数为12模为6的个数为6模为2的个数为
3.若时=|目=2则它们之间的夹角必为60,|她=2其概率为9芸=若同=|可=6,则它们之间的夹角可能为0或
60.当夹角为0时,卜闺=3其概率为;当夹角为60时,“=]其概率为:441VZ/VZ4乙41kzDJ若[4=网=1则它们之间的夹角可能为0或60°.易知其概率分别为I3x12318x128—X=-X=.221035221035若同=2网=右,则它们之间的夹角可能为30或
90.易知其概率分别为3x423x2__1_^10-35ilO_35若时=2同=1则它们之间的夹角可能为0或
60.易知其概率分别为3x4_23x8_4~2U)~35210-35若时=6同=1则它们之间的夹角可能为30或
90.易知其概率为6x8_86x4_4110-35前一M从而,4的概率分布列为表故4的数学期望Eg=OxL+2_x*+lx+3x2+2xL+3x-!-=U.7235527141410(
2019.全国.高三竞赛)某镇有A、B、C三处茶楼,新来的镇长每天只去三处之一喝茶.已知第一天他去三处的概率同为g且若某天去了A处,则下一天分别以;、2的概率去A、B、C三处;若某天去了B处,则下一天分别以,、;、y236424的概率去A、B、C三处;若某天去了C处,则下一天分别以!、)、5的概率去442A、B、C三处.求第〃天镇长去A、B、C三处的概率.【答案】9:10:8【解析】【详解】设第〃天镇长去A、B、三处的概率分别为《、%、C”.则与+勿+”=1且M.i=«„+—/„+-(!-«„+—®
244、f44-b.=—a„+—/.+-(!-«-/)=—a+—b+—@324,)24411(
1、式
①可化为向一鼻=7an~~Z.33)由4=(知恒有JJ将;代入式
②可化为+产;,即%一M一Tj}再由可得包=4—(〃£乂).最后,由4+2+“=1可得以=*+3]丫7〃€乂).272714j/注令〃-8可得/二;勿一义,C”-三个概率之比为9:10:
8.故答案为9:10:8(2019・全国•高三竞赛)一个袋子中装有切个红球和〃个白球心〃之4)它们除颜色不同外,其余都相同现从中任取两个球.
(1)若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍,求证:〃[必为奇数;
(2)若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率,求满足〃+〃W40的所有数组(〃〃).【答案】
(1)见解析;
(2)
(106)
(1510)
(2115)【解析】【详解】1记“取出两个红球”为事件A“取出一红一白两个球”为事件反c2CC则PA卜声p8二滔」•依题意得PA=kPBkwN..则有C;=kC C.由此得m=2切+1•因为A“eN+,所以,加为奇数.2记取出两个白球〃为事件C则网0=不六依题意得PA+PC=PB.则有C;+C=C C-由此得m+n=m—n.从而,〃+〃为完全平方数.又由inn4Jkm+n
40.得9«/〃+〃
440.m+〃=9m+〃=16V〃[一〃=3;m-n—4;解得m=
6.〃二3舍;m=10m=15=21〃=6;n-10;/=
15.故满足条件的数组〃〃为io
615102115.2019・全国•高三竞赛已知100条线段的长度集合加={耳卜-50区
50.目/€乂}试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率.【答案】林【解析】【详解】易知,M={12・・100}于是,所求问题转化为从12…,100这100个数中任取三个不同的数,求其中两个较小的数的和大于最大数的概率.事实上,从1210中任取三个不同的数,其不同的取法有=篙种.下面求其中两个较小的数的和大于最大数的取法数机.先考虑一般情形设尸〃表示从12…,〃〃2这〃个数中任取三个数且其中两个较小的数的和大于最大数的取法数.易得尸3=0尸4=1……在从I2…,〃+1〃2这〃+1个数中,任取三个数目其中两个较小的数的和大于最大数的取法数尸5+1为两部分的和,即第一部分最大数不大于〃,易知,这部分不同的取法有F〃种;第二部分最大数为〃+1再从I2…,〃〃2这〃个数中取两个数,且这两个数的和大于〃+
1.考虑从12…,〃〃2这〃个数中取两个数中较大的数的情形,具体如表I表1由此可知,当〃是偶数时,第二部分的取法数为2+4++〃-2=处Z4=/〃+1=〃+〃;
2.当〃是奇数时第二部分的取法数为1+3+...+〃-2=〃;、/、I=/〃+1=尸〃+^—・当”为偶数时,得广5+2=尸5+1+[=尸〃+#+[=尸〃+3则尸〃+2=万4+戏+《+.+c;=l+C;+C++C3故尸ioo=6+d+・・+嗫=1[22+42++982-2+4++98]=1+22++492-1+2++49=2x1x50x49(2x49+l)-25x4925x49x
65.八25x49x6565因此,从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率为P=-R—=诟.Joo1”2019・全国♦高三竞赛甲、乙两人做游戏.甲随机选定一个正整数对Ar/i2Ar36ln^216乙做如下操作将[036]分成3段[036]=口[4_],4]《=04…=364wN.对每个整数目用此],取1-1/=2—%或《一%得到户2=Hfa.若尸化N〃,则甲胜;若=10=勺7Fkn则乙胜.求甲胜的概率.a241【答案】前【解析】【详解】先求Fk的最小值.对任意的«q-i,4]i=l2…㈤,取/S=min{2a—%卬一〃}.设4一《_1=〃=1,2…攵,+则/«=min{次4_}=g60bbi.bhj.«.b故Z/a=2z岳⑷=i+£色-力=M〃.x曙卜2易知,hx=yX€忆为下凸的.又F⑻=工£fa=£h也其中,=
36.i=lo=aTi=li=l/=l由琴生不等式及调整法知,当瓦心…外两两之间至多相差1时,*k取最小值.设$=V.则36=依+厂(0工厂<工).故」(此「(”一中
(5)+万($+1)・将=23…36分别代入上式得F
(2)=216尸⑶.=144\/nun\/minF
(4)=108F
(5)=85\/nun\/rnm尸⑹而「72尸⑺由=60产(8丈=52F(9+/)|nin=45-3/(/=0l2)F(12+/)n.n=36-3/(z=0J-s6)F(18+f)min=18-z(z=l2-.J8).下面计算甲胜的概率.显然,当甲所选的数对为(仁〃),且〃4产时,甲取胜.故甲取胜的概率为(36\241£「(0而n+(216x35)=
6.\*=2721/【答案】771144【解析】【详解】设两人到达A地的时间分别是7点过加分和7点过〃分(OWm、〃W60).用数对(〃〃)表示两人分别到达A地的时间.则在直角坐标系中,点(〃〃)的存在域是一个边长为60的正方形,其面积为
3600.显然,两人能够在当天一同去A地等价于.此时,相应点的存在域是正方形中位于两直线〃l〃=±5之间的部分区域(如图),其面积为3600-552=
575.23故答案为市(2019・全国•高三竞赛)在面积为1的正方形人BCD中任取一点尸,则△
248、▲PBC、PCD、的面枳均大于,的概率是O【答案】I【解析】【详解】如图,以A为原点,A8为尤轴建立直角坐标系.设p(xy)0xl0^l.由题设知xV必满足1x-61)‘遂1Z\12V76-(!-)!■〔
2、“61212因此,满足题设条件的点〃必在直线x=g,和y=g,所围成的正方形区域内.所以所求概率为(;)
1.=I29故答案为](
2019.全国•高三竞赛)圆周上有10个等分点.则以这10个等分点中的4个点为顶点的凸四边形中,梯形所占的个数比为.【答案】y【解析】【详解】任选4点,共有C=210个凸四边形,其中,梯形的两条平行边既可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取,也可以从5组不平行于直的4条平行弦中选取,去除矩形,梯形共有60个.2所以,梯形所占的个数比为,.故答案为,(2019♦全国•高三竞赛)记人={13579}8={2468}.现抛掷硬币从A、B中无放回地取出数字组成九位数,规则是若硬币出现正面时,就从集合A中取出一个最小的数;若硬币出现反面时,就从集合B中取出一个最小的数.当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时,另一集合剩下的数字就按从小到大的顺序添在后面按此规则,取出的数字恰好为123456789的概率为.【答案】上【解析】【详解】由规则知,抛掷硬币的正反面序列为正反正反正反正反.所以,取出的数字恰好为123456789的概率为=—.[2)256故答案为』7256(2021・全国•高三竞赛)在123…,10这10个正整数中任取4个,记J为这四个数中两数相邻的组数,则J的数学期望£=.【答案】|【解析】【分析】【详解】.匕㈤上上门l1x3xC;+2x3xC;+3x76易知4的取值为123且与=工~不——=--jo3故答案为I(2018・全国•高三竞赛)甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球,要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人.一次传球后,每个人仍各有一个球的概率为.【答案】【解析】【详解】(2018・全国•高三竞赛)袋内有8只白球和2只红球,每次从中随机取出一只球,然后放回1只白球.则第四次恰取完所有红球的概率为.【答案】
0.0434【解析】【详解】第四次恰取完所有红球的概率为2f9fI8291r8V21八八gioUoJioioioioioUoJ1010(
2019.全国•高三竞赛)从{12100}中任取5个数(可以相同).则取到合数的个数的数学期望是.37【答案】历【解析】【详解】{12100}中合数共有74个,设J为取到合数的个数.7437因止匕,^=5x—=—1001037故答案为养(2018・全国•高三竞赛)甲有一个箱子,里面有红球和白球共4个;乙有一个箱子,里面有2个红球、1个白球、1个黄球.现在,甲从他的箱子中任取2个球,乙从他的箱子中任取I个球,如果取出的3个球颜色全不同,则甲获胜.为了保证甲获胜的概率最大,则甲的箱子中的红球个数为【答案】2【解析】【详解】设甲的箱子中有〃(〃21)个红球,则白球有4-〃个.故甲获胜的概率为时,上式等号成立,P最大.(2019・全国•高三竞赛)两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则A胜;否则8胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的概率为.93【答案】商【解析】【详解】考察旋转9次才结束游戏的情形.此时,前8次旋转中正面向上和反面向上各有4次,其概率为学=费,于是,旋转不足9次就结束游戏的概率为1-哉=稳.93故答案为焉12o(2019・全国•高三竞赛)设4,出,…是20002001…2009的一个排列,记数列{q}的前〃项和为S”.则排列4,生,吗满足“S(14iK10)都不是3的倍数”的概率为•【答案】AJU【解析】【详解】设2(X)()2001-2009的一个排列为一个基本事件M.则基本事件总数为N=A;.下面计算所求事件何含的基本事件数.
(1)首项不能是3的倍数,除首项以外各项均可是3的倍数,从而,3的倍数有大种排法;
(2)去掉3的倍数后,考虑模3余
2、余1的数的位置(用q模3的余数代替巴)当q=l时,a2=l%=2%=1此时,含1的项比含2的项多,这与已知矛盾;当%=2时,生=2%=1……此时,满足题设要求.综上,模3余
2、余1的数的位置唯一确定,它们的各自排法分别有A和8种.因此,事件M含基本事件数为〃=A A;.故所求概率p=[=/;.N50故答案为妥(2019・全国•高三竞赛)一副扑克牌除去大、小王共52张.洗好后,四个人顺次每人抓13张.则两个红A(即红桃A、方块A)在同一个人手中的概率为.4【答案】措【解析】【详解】注意到,牌洗好后每个人的牌就定下来了,即已将52张牌排在了52个位置上.记四组牌号为15913…,49;26101450;37II1551;481216•••
52.则红桃A、方块A在同一组中的排列数为〃=41蜀.M4从而,所求概率为P二a=行.故答案为行(
2018.湖北.高三竞赛)一枚骰子连贯投掷四次,从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为.【答案】【解析】【详解】设
4、%、
6、内分别是四次投掷骰子得到的点数,那么(%%,4,%)共有6种不同的情况.如果从第二次起每次出现的点数都不小于前•次出现的点数,则a1a2%a
4.若《、%、/、4的值都相等,则(4%,生,4)有屐种不同的情况;若
4、出、外4恰好取两个不同的值,则
①,%,6,%)有3C;种不同的情况若外生、外4恰好取3个不同的值,则(%4%4)有3C;种不同的情况;若外生、外为恰好取4个不同的值,则(%%%%)有C种不同的情况.因此,满足的情况共有C+3C+3C+C=126(种).故所求的概率为粤=三.o72(2019•上海•高三竞赛)某侦察班有12名战士,其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组,分别有3名战士、4名战士、5名战士,那么每一组都有1名报务员的概率是.3【答案】【解析】【详解】由题意可知,所有的分组方法N=C;2C;满足题意的分组方法〃=3!C;C,则满足题意的概率值2=第9=33故答案为中(2019•贵州•高三竞赛)已知机£{1113151719}ne{
20002001...»2019}则〃的个位数是1的概率为.2【答案】|【解析】【详解】当“11{
20002001...»2019}时小〃的个位数都是1此时有20种选法;当〃二13(20002004200820122016}时〃〃的个位数都是1此时有5种选法;当w=15时,相〃的个位数不可能为1此时有种选法;当”17ne{20002004200820122016}时,的个位数都是1此时有5种选法;当〃尸19〃£{2000200220042018}时,,〃的个位数都是1此时有10种选法.2故答案为(2021・全国•高三竞赛)有甲乙两个盒子,甲盒中有5个球,乙盒中有6个球(所有球都是一样的).每次随机选择一个盒子,并从中取出一个球,直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为.【答案喘【解析】【分析】【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率,10即展左1+绕=2〃20221512319故答案为案.(2021・全国•高三竞赛)先后三次掷一颗骰子,则其中某两次的点数和为10的概率为•23【答案】标【解析】【分析】【详解】有两次为5的概率为上空=也,6216有两次为6和4的概率为幽*1=网6216士4163023所以概率为1-.21621610823故答案为砺(2018・福建•高三竞赛)从如图所示的,由9个单位小方格组成的,3x3方格表的16个顶点中任取三个顶点,则这三个点构成直角三角形的概率为.【答案】7714【解析】【详解】先计算矩形的个数,再计算直角三角形的个数.X0123P1303W\_260213223P7835527114114较大的数最小数的可能值个数n23…,”Tn-2n-\34…,2n-4n-
24...»〃-3n-6••••・・。