高考数字解答题双曲线专题5双曲线与椭圆共焦点

5.双曲线与椭圆共焦点一.基本原理结论已知具有公共焦点片尸2的椭圆与双曲线的离心率分别为G，G，P是它们的一个交点，且/片至=2夕，则有（2吆）2+（史运）2=

1.e\e2证明依题意，在△片PF2中，由余弦定理得百月「=|P4『+|P闾2-2忱用・伊可・cos29=PF^+|P^|2-2|P^|-|P^|-cos26-sin29=sir切尸司+1尸闾y+COS2划同一归闾y~9PE+PR99PE\-\PR9sin67cos6所以sir—!+cos20一H=1即也吧『+上工『=

1.F[F月为e\2二.典例分析2222例L已知椭圆G2+与=1（4＞々＞0）与双曲线6二-白=1（%＞也＞）有相同的焦b~//点々、尸2椭圆G的离心率为G，双曲线G的离心率为出，点尸为椭圆C与双曲线G的交点，且/耳则当+立取最大值时q+s的值为（3e1自解析设P为第一象限的交点，IPM=根、1巴冒=%则m+n=2q、m-n=2a2解得22/21772=]+%、几=%—%在PEK中，由余弦定理得cosNFFA=m+〃_C;-2mn2•*•nv+rr—mn—4c2，••%+%~+%—%/—q+4%一出=4c~，+3；=4c9:.2213丹亭=4+*4（亦可直接用上述结论）_L+走]2^+4^8BP-+—272当且仅当，=正，即弓=正G6JIG«2‘1^26%2等号成立，此时6+02=片，故选D例

2.（2014年湖北卷）已知耳尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且/RPF吟则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为-JA.迪B.空C.333解析设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为4

（4）半焦距为明由椭圆和双曲线的定义可知，设|用=不归周=电山闾=2°椭圆和双曲线的离心率分别为勾%PF=

9.•・由余弦定理可得4=（己2+

（2）2—2在cosg

①3A*]在椭圆中，

①化简为即4c2=4〃2一31知即消

②r丁|在双曲线中，

①化简为即4c2=4/+「%即代=-万+1

③例

3.设，、6分别为具有公共焦点6与K的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足P£・PK=0则3的值为（.）e\e235A.2B.-C4D.—■22解析设椭圆的长半轴长为四双曲线的实半轴长为的，不妨设1Ml设|片乙|=2c因为P£.PE=0则P£_LPF2由勾股定理得|P耳『+|巴叶=|不周二即（％+〃2『+（4-%）2=4整理得=2/故/+=

2.故选A.e\e2。