高考一轮复习通用版9.9.2圆锥曲线中的证明定值及定点问题学案

第2课时圆锥曲线中的证明、定值及定点问题提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一证明问题［综合性］［例1］已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A01B0-1焦距为2V

5.1求椭圆C的方程；2已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点MN设D为直线AN上一点，且直线BDBM的斜率的积为一；，证明点D在x轴上.4听课笔记反思感悟圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题.【对点训练】［2022•郑州市质量预测］已知椭圆E，+±lab0的离心率为争且过点Cl

0.1求椭圆£的方程；2若过点-/0的任意直线与椭圆E相交于AB两点，线段AB的中点为M求证恒有|AB|=2|CM|.考点二定值问题［综合性］[例2][2022•河南高三月考]已知椭圆C1+左=1＞20的左焦点为日离心率为弓，过F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为

2.1求椭圆C的方程；2已知点A20过P2-4的直线1交椭圆C于MN两点，证明直线AM的斜率与直线AN的斜率之和为定值.听课笔记反思感悟圆锥曲线中定值问题的两大解法1从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.2引进变量法其解题流程为【对点训练】[2022•湖北襄阳五中高三月考]已知双曲线C£-《=1的左、右顶点分别为AB过45右焦点F的直线1与双曲线C的右支交于PQ两点点P在x轴上方.⑴若丙=3而，求直线1的方程；2设直线APBQ的斜率分别为ki，kz，证明号为定值.K2考点三定点问题［综合性］［例3］［2022・贵州贵阳一中高三月考］己知椭圆Ci W+《=lab0的离心率为当a，3且过椭圆的右焦点F有且仅有--条直线与圆C2x2+y2=2相切.1求椭圆G的标准方程；2设圆C2与y轴的正半轴交于点P.已知直线1斜率存在且不为0与椭圆G交于AB两点，满足/BPO=NAPOO为坐标原点，证明直线I过定点.听课笔记反思感悟求解定点问题常用的方法1“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.2“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.3求证直线过定点xoy0常利用直线的点斜式方程y—y=kx—xo来证明.【对点训练】在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点F20的距离与它到直线x=|的距离之比为竽.记点P的轨迹为曲线C.1求曲线C的方程；2过点F作两条互相垂直的直线h卜小交曲线C于AB两点，h交曲线C于ST两点，线段AB的中点为M线段ST的中点为N.证明直线MN过定点，并求出该定点坐标.第2课时圆锥曲线中的证明、定值及定点问题提升关键能力考点一例1解析

（1）由题意，得Z=lc=V3所以42=力2+/=4即=

2.故椭圆的方程为一+）2=

1.4

（2）证明设M（xiM，则M—即，〃），xiWO—lml.因为直线8Q8M的斜率的积为一；，所以直线3的斜率为一泊4直线AN的斜率为上之所以直线AN的方程为），=匕4+

1.X]X]解得点D的纵坐标为加=一F丁丁.-^xf+m2-1因为点M在椭圆C上，所以咚+〃2=|则y0=o.所以点在X轴上.4对点训练解析⑴由题意知〃=1-=Aaz又〃=〃+/所以=应.所以椭圆E的方程为+f=l.

（2）证明当直线的斜率为0时，易知M为坐标原点，则|A4|=2|CM恒成立.当直线的斜率不存在或存在且不为时，设过点（一/0）的直线为x=f），一%人（为，乃）x=ty--23得9+18产y2—12—16=0且/乂t-4-x2=1又瓦=X1—1J|CB=X2—12»所以玄•诙=8—1X2T+y”=tyi-3ty2-3+W=1+产加工—2।+”+y川十今就一半品+孩=，所以以，和因为线段A3的中点为例，所以H8|=2|CM|.综上，恒有HB|=2|CM].考点二C_Vza-T*手=2a2=b24-c2解得所以椭圆C的方程为]+[=

1.lb=V242解析

（2）由题意知直线/斜率存在，设其方程为）=丘+皿ZWO）Mgyi）N（K2”）{y=kx+mx2v2代入消元并整理得21店+4公办+2〃，-4=A=4km2—4X2k1+12m2-4=32A-8m24-160将》|=依1+〃2”=依2+机代入，整理得:将韦达定理代入化简得3+除\，=黑胃.2（2k+m），因为直线/过点P（2一4）所以24+旭=-4代入半w+%AN=得心”+心产.对点训练解析

（1）设点P（X\J|）Q（X2J2），iPF=3FQF

（30）可得（3—xi一》）=3（及一3”），即依「¥或色，（Yi-一收将尸12—3为，-

3.V20X2户代入双曲线方程得f12-3x22-

3、22_145—-运—次=1V45消去＞2»解得^2=~又点P在X轴上方，，点Q在X轴下方，.・）2=一1之•仁一若3fq=2V2・•直线/的方程为2/2a—y—6a/2=

0.

（2）证明•・•过右焦点厂的直线/与双曲线C的右支交于P两点，F

（30），可设直线/的方程为x=my+3P（〃y।+3yi）（吵+3yi），x=my+3联立方程x2y21消去x整理得（5//—4））2+30v+25=0=15m2-4H0△=900m2-4x25x5m2-4O..30m25•♦v+k-m，9=就三又A（—20）B

（20）kAP=ki=—^—knQ=ki=-^—myi+5my2+l・ki_yi（my2+l）_my^+yr7_25m__

5.^-y2（my1+5rmyiy2+5y又〃小以一；^—S+）2），，合券+y）+%=T，即学为定值一/卜2--（yi+y2）+Sy25k2s考点三例3解析

（1）因过椭圆的右焦点尸（c0）有且仅有一条直线与圆C2/+）2=2相切，则点尸（c0）在圆Q r+产2上，即/=2而椭圆G的离心率e=；=绐得，解得a=V3则拄=4一/=1所以椭圆C1的标准方程为£+）2=1；解析

（2）圆29+）=2与），轴的正半轴交于点P（0V2）依题意，设直线/的方程为y=^+m（kWO）A8两点的坐标分别为3巾），（x2”），由ZBPO=ZAPO知直线APBP斜率2”与依互为相反数，又抬产纥乌无产纥马X1X2即y

1、+丫

2.=o化简整理得X2（yi—鱼）+汨2—鱼）=，X]x2又|=依।+my2=履2+相，于是得2息/2+（m-四）（加+念）=0由｛1+摄”消去）得（3公+1）r+6如x+3/〃2—3=0则即+%2=—崇言，x\X2=3m2-33k2+i从而有2k碧三+（〃一企）•（一黑）=0即2k（3病—3）—6切（加一企）=0解得加=”•5K+1\3K+1/Z此时直线/的方程为尸收+产，所以直线/恒过定点（0务对点训练解析

（1）设尸（xy）由题意可得蟀察=§lx-l3即V5x7（x-2）2+y2=2|x-1|两边同时平方整理可得y-y2=l所以曲线C的方程为一=1;«5⑵若直线/ib斜率都存在且不为0设小尸的一2则公产一出一2K由『:与二^可得3”TE—12+12k2+3=0当弘2—1=0时，即/=；方程为一以+7=0此时只有一解，不符合题意*5当3产一1工0时4=144父一43/—112/+3=123+10由韦达定理可得xi+x2=WJ所以点M的横坐标为“料=汨+七=答733-123”-1代入直线/i，=川工-2可得如=比加-2=撩-2=或、所以线段A4的中点mQ]»31X1，言，所以线段ST的中点M1，言，2k—2k.2k3-k2+2k3k2—l2k6k23-k2-63k2-l3l-k2直线MN的方程为T会=儡酸品，2k62k_2k2kl_62k3l-k23^~~3^~3l-k2X-3^Ll-k2+-3l-k2/此时直线MN过定点3若4=±1时，则M31N3-1或M3-1N31直线MN的方程为x=3此时直线MN也过点30若直线/iA中一个斜率不存在，一个斜率为0不妨设八斜率为0则6y=0/2X=2此时直线MN的方程为y=0此时直线MN也过点30综上所述直线MN过定点30。