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专题1集合(必修1)基础篇
一、集合的含义与表示
1.元素与集合一般地,把研究对象统称元素;把一些元素组成的总体叫做集合.集合中的元素具有确定性,互异性,无序性.【思考】{*(%-a^x-3)=0}=
2.元素a与集合4的关系6C;
3.常用数集符号N*或N+正整数集,N自然数集,Z整数集,Q有理数集,R实数集,□rQ无理数集,复数集,{%|%=2几,几eZ}偶数集,{%|%=2几一1几eZ}奇数集.【有理数5其中pqezp0】R+={x\x0]=(0+oo);/_={x\x0}=(—oo0).
4.集合的三种常用表示方法列举法、描述法(形式可具有多样性)、图示法(一种解题工具或方法).列举法中集合的表示
①数集{abc}
②点集或方程组的解集{
(12)(-32)};描述法中集合的表示
①数集{%|/(%)}
②点集或方程组的解集{(%y)|F(xy))•
二、集合间的基本关系
1.集合A与集合B的(包含)关系,
2.二鼠关.概念
①子集(若4都有%则/UB);【显然,4U4;另规定8U
4.显然空集是非空集合的真子集]
②集合相等(若4G8且则4=B);
③真子集(若但三%€8且%《4则4呈B.)2若集合4中有几个元素,则集合/的所有子集个数为2rl.+上+鬣+•••+蠲=2或©尸=
2.)所有非空子集的个数是印-1所有真子集的个数是小-1所有非空真子集的个数是-
2.
3.集合的分类有限集,无限集,空集.
三、集合的基本运算.
①4UB={x\xEA或%EB};2;i4riB={x\xeA且%eB};彳
③口〃/={%|%GU且%£A}.全集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.注意求解某集合的补集时,最好先求出该集合,然后再写其补集,直接转化集合中的条件(分式,根式,对数式等),容易导致出错,如4=团三0}的补集是{工工0}而不是{%|三工X0}・.摩根定理
①(口必)0(口心)=儿⑷田);
②(□一)11(口—)=口八408).【右图中I、II、川、IV四部分你能用集合符号表示吗?】.
①=AQB.
②AQB.【
①②要重点理解掌握!】
③angB=8QAQB.
④□u4UB=UqAQB.
⑤□uBGMQU
3.
4.含参数的集合4满足4U8或4nB=0等情形时,在求解的时候要注意是否需要分空集与不是空集两种情形讨论.若含参数的集合力是一个方程或不等式的解集,也可以从通过讨论系数的符号来解方程或不等式的角度考察.提高篇.求集合有限集中的参数的值要注意检验
①是否违反集合中元素的互异性,
②是否与已知条件矛盾..求集合交、并、补或求满足4U3或4n3=0等情形时参数取值范围的方法
①观察法有限集,
②数形结合法【无限集,利用韦恩Venn图或数轴或坐标平面】..注意区分集合中元素的含义【数集一般都要进一步化简!]
①数集A={x|/x=0}方程的解集;B={%|f%0}或{%|/%0}不等式的解集C={x\y=/%}函数y=/%的定义域;D={y\y=fx}函数y=/%的值域;M={x|Fxy=0]N={y|Fxy=0}满足曲线方程F%y=0的工或y的取值集合.
②点集A={%y|F%y=0}曲线【或满足二元方程尸%y=0解实数对的集合B={xy|Fxy0}区域;C=xy|Fxy0}区域;D={a\d=/t,gt},令2=%y则=卜,y[{;].;;}={,y|Fxy=0}..给出含参数不等式的解集,则解集中的端点值是不等式所对应整式方程的根或者说是♦•••对应因式的零根.••5你会用补集思想解决问题吗?补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.6・右A—{12,•Q/n},C={01,2,***9九},(九TTL)则满足A£5£C的集合B有2n个;满足4睡B睡C的集合B有2一巾-2个..满足力UB={“i,a2…,即}的集合4B有吊尸=3对.【每个元素放置的位置都是三选一,如图.】.在集合4={的,2,…,an}的所有子集中:
①集合4中的每个元素出现2九t次譬如的这个元素,注意集合{的,…,an}有2九t个子集.
②含血个元素的子集有制个,在这C铲个子集中,集合4中的每个元素出现禺阳1次譬如的这个元素.综合篇.从集合观点理解方程或不等式恒成立、有解、无解问题的解决之道【参见专题成立与恒成立”】对于集合4={%|p%}集合8={%,%}其中p%/%代表不等式或方程,则
①4U8=/%对%€4恒成立!【大范围对小范围恒成立;有时需利用4U80口;8U转化一下.】
②ccznB/%对%e恒成立且p%对%ec恒成立!
③ADBH8Q/%在4有解或p%在B有解;AC\B=0of%在4无解或p%在B无解.
④若4都有%£8=
48.【若4GB但三%6B且%W4则/是B.】.cardAUB=cardA+cardF—card^A^B.【cardA集合A中的元素个数J合二为一的几种类型=%i,到是%+-%+-=0的两根.aa2
①axl+bxr+c=0axl+bx2+c=
0./m-km=/汽=丘有两个不等实根根,nfW=kn.axt+byx+c-0=经过p%「yjQx2y2两点的直线方程为a%+by+c=
0.ax2+by2+c=
0./九,九为奇数;则Q=/S+g5]]九一1/九-gSgn71为偶数.、n-—2——2-练习
1.设全集=M={x\3ax2a+5]P={x\-2x1]若M用®/P求实数a的取值范围.
2.已知集合A=[x\x2—5%+6=0}B={x\mx-12=0}若4UB=B则实数m的值为。