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第十二章轴对称•••••••测试1轴对称••・•••学习要求・♦♦♦.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念,弄清它们之间的区别与联系,能识别轴对称图形..理解图形成轴对称的性质,会画一些简单的关于某直线对称的图形.
一、填空题
1.如果一个图形沿着一条直线,直线两旁的局部能够,那么这个图形叫做,•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••这条直线叫做它的这时,我们也就说这个图形关于这条直线〔或轴)..把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与重合那么这两图形叫做关于这条直线叫做折后重合的点是,又叫做..成轴对称的两个图形的主要性质是
(1)成轴对称的两个图形是;•••••••••••♦[2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对的垂直平分线..轴对称图形的对称轴是..
(1)角是轴对称图形,它的对称轴是;[2)线段是轴对称图形,它的对称轴是;
(3)圆是轴对称图形,它的对称轴是.•••♦•・♦•••♦••••••••••
二、选择题.在图1—1中,是轴对称图形的是〔)•••••••••••••••••••图1—1••••.在图1-2的几何图形中,一定是轴对称图形的有()图1一2•••♦A.2个B.3个C.4个D.5个・•••••••••••.如图1—3AA3C与AA8C关于直线/对称,则N8的度数为()•••••••••••••••••••••••••••••••••••••图1—3••••A.30°B.50°C.90°D.100°••••・♦••••.将一个正方形纸片依次按图1—4小b的方式对折,然后沿图c中的虚线裁剪,成图d样式,将纸展开铺平,所得到的图形是图1—5中的〔〕图1—4••••图1—5••••
10.如图1—6将矩形纸片ABC[图
①)按如下步骤操作[1)以过点A的直线为折痕折叠纸片,使点3恰好落在AO边上,折痕与BC边交于点石[如图
②);
(2)以过点E的直线为折痕折叠纸片,使点A落在3C边上,折痕£尸交边于点尸(如图
③);13)将纸片收展平,那么的度数为()••••••••••••••••••••••・・•图1一6••••C.等腰钝角三角形D.等腰直角三角形.假设一个三角形是轴对称图形,则这个三角形一定是•••••••••••••••••••••••••••A.等边三角形B.不等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形.如图7—6AA5c中,AB=ACZBAC=\OS°假设A、AE三等分/BAC则图中等腰三角形有1♦••••••A・4个B・5个C.6个D.7个••••••••••••・•・图7—6图7—7••••••••.等腰三角形两边、〃满足Ia-b+2I+2+38-112=0则此三角形的周长是〔••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••A.7B.5C.8D.7或
5.如图7—7AABC中,AB=ACBE=CDBD=CF则/£尸=•••♦••••••・♦•♦•・・♦•♦••・・♦♦•••・•・・♦♦•・・・••A.2ZAB.90°-2ZA•・・♦•••••••••C.90°—NAD.9Q0--ZA•••2
三、解答题•••••.如图7—8A是N84的平分线,/B=/EACEbJ_AD于E求证EF平分/AEB.图7—8••••.如图7—9在△ABC中,CE是角平分线,EG//BC交AC边于「交NAC3的外角[NACD的平分线于G探究线段EF与尸G的数量关系并证明你的结论.图7—9••••.如图7—10过线段A3的两个端点作射线AMBN使AM〃员V请按以下步骤画图并答复.••••1画NMA
5、NNR4的平分线交于点ENA四是什么角2过点£任作一线段交AM于点交BN于点、C.观察线段£、CE有什么发现请证明你的猜测.3试猜测AD与A3有什么数量关系图7-
10.如图7—11AABC中,AB=ACZA=\00°BE平分/B交AC于E.1求证BC=AE+BE;2探究假设NA=108,那么5c等于哪两条线段长的和呢试证明之.图7—11测试8等边三角形学习要求・♦♦♦掌握等边三角形的性质和判定.课堂学习检测
一、填空题.的叫做等边三角形..等边三角形除一般的等腰三角形的性质外,它的特有性质主要有1〕边的性质;2角的性质;3对称性等边三角形是图形,它有对称轴..等边三角形的判定方法1三条边的是等边三角形;2〕三个角的是等边三角形;的等腰三角形是等边三角形..含30°角的直角三角形的一个主要性质是..判断以下命题的真假
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形.••••••••••••••••••••••••
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形.〔••••••••••••••••••••a•
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形.〔•••••••••••••••••••••••••••a•
④三个外角都相等的三角形是等边三角形.
6.如图8—1AA3C是等边三角形,于£于假设A3〃CD则图中60的角有个.•••••••••••・••图8-1••••.如图8—2B、C、在一直线上,bABC、AAOE是等边三角形,假设CE=15cmCD=6cm贝ijAC=ZECD=.图8-2•••♦.如图8—3AABC中,AB=AC120°OE垂直平分AC交3C于,垂足为E假设QE=2cm则3C=cm.图8-3••••综合、运用、诊断解答题•••.如图8—4AA3C和A8DE都是等边三角形.1求证AD=CE;2当时,判断并证明AB与BE的数量关系.图8-4••••.如图8—5AA8C是等边三角形,D、£分别在边3C、AC匕,ftCD=CE连接QE并延长至点R使连接ARBECF.11请在图中找出一对全等三角形,用符号“0〃表示,并加以证明;[2求证AF=BD.图8-
5.如图8—6四边形A3CO中,AC平分NA4,CD//ABBC=6cmZBAD=30°•••♦•••♦♦♦•♦♦♦•・••••・♦•・♦••••・♦•・♦•••••••••••••••ZB=90°.求CO的长.图8-6••••拓展、探究、思考.[1)如图8—7点是线段A的中点,分别以AO和为边在线段A的同侧作等边三角形043和等边三角形OCD连接AC和相交于点E连接3C求NAE6的大小;图8-7••••
(2)如图8—8△ORB固定不动,保持△OCO的形状和大小不变,将△OCD绕着点0旋转〔△OAB和△OCQ不能重叠),求NAE8的大小.图8-8••••.如图8—9△A3C为等边三角形,延长8到,延长A4到E使连接CE、DE.求证CE=DE.图8-9•••♦.如图8—10四边形ABC中,ZA=ZB=90°ZC=60°CD=2ADAB=
4.[1)在A3边上求作点P使PC+PQ最小;图8-10[2)求出[1)中PC+P的最小值.A.60°B.
67.5°C.72°D.75°综合、运用、
一、解答题•••••.请分别画出图1—7中各图的对称轴..如图1—8AASC中,AB=BC△ABC沿QE折叠后,点A落在边上的4处,假设点为边的中点,ZA=70°求NBOA的度数.图1一
8.在图1—9中你能否将的正方形按如下要求分割成四局部,1分割后的图形是轴对称图形;[2这四个局部图形的形状和大小都一样.请至少给出四种不同分割的设计方案,并画出示意图.图1—
9.在图1—10这一组图中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线的空白处设计一个恰当的图形.♦•••图1-10拓展、探究、思考
15.如图1-11在直角坐标系中,点A在y轴上,轴于点,点A关于直线08的对称点恰好在8C上,点E与点关于直线5C对称,ZOBC=35°求NOEO的度数.••••图1—11测试2线段的垂直平分线学习要求・♦♦♦.理解线段的垂直平分线的概念,掌握线段的垂直平分线的性质及判定,会画线段的垂直平分线..能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.课堂学习检测
一、填空题.经过并且的叫做线段的垂直平分线..线段的垂直平分线有如下性质线段的垂直平分线上的与这条线段的相等.•••.线段的垂直平分线的判定,由于与一条线段两个端点距离相等的点在并且两点确定所以,如果两点M、N分别与线段48两个端点的距离相等,那么直线MN是.完成以卜各命题1线段垂直平分线上的点,与这条线段的2与一条线段两个端点距离相等的点,在;3不在线段垂直平分线上的点,与这条线段的;4与一条线段两个端点距离不相等的点,;5〕综上所述,线段的垂直平分线是的集合..如图2—1假设P是线段A8的垂直平分线上的任意一点,则⑴PAS;⑵PA=;ZAPC=;4〕ZA=.图2—1••••.A48C中,假设43—AC=2cm8C的垂直平分线交A3于点,且AACO的周长为14cm则A5=AC..如图2—2AABC中,AB=ACA3的垂直平分线交AC于尸点.1假设NA=35°则NBPC=;2〕假设AB=5cmBC=3cm则AP5C的周长=.图2—2••••综合、运用、诊断
一、解答题.如图2—3线段A股求作线段AB的垂直平分线MN.作法•••图2—3♦••♦.如图2—4NA3C及两点M、N.求作点P使得PM=PN且P点到NA3C两边的距离相等.作法•••图2—4••••拓展、探究、思考
10.点A在直线/外,点P为直线/上的一个动点,探究是否存在一个定点-当点在直线/上运动时,点P与A、3两点的距离总相等.如果存在,请作出定点假设不存在,请说明理由.图2—5••••
11.如图2—6AD为NB4c的平分线,DELAB于EDF1ACF那么点£、尸是否关于AQ对称假设对称,请说明理由.图2—6••••测试3轴对称变换学习要求••••.理解轴对称变换,能作出图形关于某条直线的对称图形..能利用轴对称变换,设计一些图案,解决简单的实际问题.
一、填空题.由一个得到它的叫做轴对称变换..如果由一个平面图形得到它关于某一条直线/的对称图形,那么,1〕这个图形与原图形的完全一样;2新图形上的每一点,都是;3连接任意一对对应点的线段被..由于几何图形都可以看成是由点组成的,因此,要作一个平面图形的轴对称图形,可归结为作该图形上的这些点关于对称轴的.
二、解答题.试分别作出图形关于给定直线/的对称图形.⑴•••图3-1••••⑵•••图3-2••••⑶•••图3—3♦・♦♦.如图3—4所示,平行四边形A3CZ及对角线3D求作ABC关于直线的对称图形.[不要求写作法图3-4••••.如图3—5所示,长方形纸片A8CO中,沿着直线后尸折叠,求作四边形ERSO关于直线EF的对称图形.不要求写作法图3-5•••♦.为了美化环境,在一块正方形空地上分别种植不同的花草,现将这块空地按以下要求分成四块[1分割后的整个图形必须是轴对称图形;2四块图形形状一样;3四块图形面积相等,现已有两种不同的分法
①分别作两条对角线〔图
①,
②过一条边的四等分点作该边的垂线段[图
②,图
②中的两个图形的分割看作同一种方法.请你按照上述三个要求,分别在图
③的三个正方形中,给出另外三种不同的分割方法.只画图,不写作法图3-6••••综合、运用、诊断.如图3—7A、3两点在直线/的同侧,点A与A关于直线/对称,连接A3交/于尸点,假设=•••••••・・•⑴求AP+PB;2假设点M是直线/上异于P点的任意一点,求证AM+MBAP+PB.图3-7••••A、5两点在直线/的同侧,试分别画出符合条件的点M.m如图3—8在/上求作一点使得IAM-BMI最小;作法•••图3-8••••2如图3—9在/上求作一点使得最大;作法•♦•图3-9•••♦3如图3—10在/上求作一点使得AM+5M最小.图3-10拓展、探究、思考[1如图3—11点A、B、在直线/的同侧,在直线/上,求作一点P使得四边形APBC的周长最小;图3—112如图3—12线段小点A、5在直线/的同侧,在直线/上,求作两点尸、Q点P在点的左侧且尸=〃,四边形APQB的周长最小.图3-12[1如图3—13,点〃在锐角乙43的内部,在04边上求作一点P在05边上求作一点Q,使得APMQ的周长最小;图3-132如图3—14点M在锐角NAOB的内部,在OB边上求作一点P使得点尸到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小.图3-14测试4用坐标表示轴对称学习要求・♦♦♦.运用所学的轴对称知识,认识和掌握在平面直角坐标系中,与点关于X轴或y轴对称点的坐标的规律进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或,轴对称的图形..能运用轴对称的性质,解决简单的数学问题或实际问题,提高分析问题和解决问题的能力.••♦•课堂学习检测
一、解答题
1.按要求分别写出各对应点的坐标:
2.线段A3并且A、8两点的坐标分别为一21和[
23.1在图4—1中分别画出线段A3关于x轴和y轴的对称线段4s及A2员并写出相应端点的坐标.图4—1••••[2在图4-2中分别画出线段AB关于直线x=-1和直线y=4的对称线段及44以,并写出相应端点的坐标.图4一2•••♦
3.如图4—3四边形ABCQ的顶点坐标分别为AU1B[51C[54D[24分别写出四边形A5C关于x轴、y轴对称的四边形A8G和42良22的顶点坐标.图4—3••••综合、运用、诊断
4.如图4—4AA3C中,点A的坐标为01点的坐标为[43点B的坐标为[31如果要使AA5与AA8C全等,求点的坐标.图4-4••••拓展、探究、思考
5.如图4—5在平面直角坐标系中,直线/是第
一、三象限的角平分线.图4—5••••实验与探究1由图观察易知A02关于直线/的对称点4的坐标为[20请在图中分别标明8[
53、C[一25关于直线/的对称点
8、C的位置,并写出它们的坐标
8、C;归纳与发现2结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现坐标平面内任一点P
⑦,/关于第
一、三象限的角平分线/的对称点P的坐标为〔不必证明;运用与拓广3两点[1—
3、Ef-1—4〕,试在直线/上确定一点Q使点到、£两点的距离之和最小,并求出点坐标.测试5等腰三角形的性质学习要求••♦♦掌握等腰三角形的性质,并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.课堂学习检测
一、填空题•••••
1.的叫做等腰三角形.
2.m等腰三角形的性质]是.••♦♦••••••••••••2等腰三角形的性质2是.3等腰三角形的对称性是它的对称轴是.图5-
13.如图5—1根据条件,填写由此得出的结论和理由.[1[•••△ABC中,AB=ACZB=.〔)••••••••••••⑵:△ABC中,AB=ACZ1=Z2垂直平分.()♦•・•・♦•・・・•♦•⑶「△ABC中,AB=ACADA.BC.BD=.1)••••••••••••[4)・・・A43C中,AB=ACBD=DC.AD±.()•••・♦••••••♦.等腰三角形中,假设底角是65,则顶角的度数是.等腰三角形的周长为10cm一边长为3cm则其他两边长分别为..等腰三角形一个角为70°则其他两个角分别是..等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20,则等腰三角形的底角等于
二、选择题.等腰直角三角形的底边长为5cm则它的面积是()•・♦••・・・・♦♦•••A.25cmB.
12.5cm••••••••••••・•C.10cmD・
6.25cm
9.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm则它的周长是(〕••••••••••••••••••••••••••••••••A.63cmB.51cmC.63cm和51cmD.以上都不正确.△ABC中,AB=AC是AC上一点,且AQ=BO=5C则NA等于〔)♦・•••••••♦•••••••••••••・♦•••♦♦•♦♦♦••••••A.45°B.36°C.90°D.135°综合、运用、诊断
一、解答题.如图5—2AA5C中,AB=ACD、E在3c边上,HAD=AE.求证BD=CE.图5-2••••.如图5—3D、E分别为
45、AC上的点,AC=BC=BDAD^AEDE=CE求N8的度数.图5-3••••.如图5—4AA3C中,AB=AC是AB上一点,延长C4至E使AE=AZ.试确定EQ与8C的位置关系,并证明你的结论.图5-4••••拓展、探究、思考.如图5—5RtAABC中,ZBAC=90°,AB=AC是3C的中点,AE=BF.求证1DE=DF;[2△DE尸为等腰直角三角形.图5—5••••.在平面直角坐标系中,点P[23Q32请在x轴和y轴上分别找到M点和N点,使四边形PQMN周长最小.〔1〕作出M点和N点.2求出M点和N点的坐标.图5—6••••测试6等腰三角形的判定学习要求•••♦掌握等腰三角形的判定定理.课堂学习检测
一、填空题.等腰三角形的判定定理是..△A5c中,ZB=50°ZA=80°AB=5cm贝UAC=..如图6—1AE//BCZ1=Z2假设A8=4cm则AC=..如图6—2ZA=ZBZC+ZCDE=180°假设石=2cm则AQ=.图6—1图6—2图6—3图6—4••••・♦•・・♦••
5.如图6—3四边形A3CO中,AB=AD/B=/D假设C7=L8cm则3C=.•••••••••♦•・♦••••••・♦•••••••••••・•・♦♦•・•••.如图6—4/XABC中,BO、CO分别平分NA8C、ZACBOM//ABON//ACBC=10cm则△OWN的周长=..△ABC中,CO平分NACBDE〃BC交AC于EDE=7cmAE=5cm则AC=..△ABC中,AB=AC3是角平分线,假设NA=36,则图中有个等腰三角形..判断以下命题的真假1有两个内角分别是
70、40°的三角形是等腰三角形.〔・••••••・♦•・・♦••••••••••••••••2〕平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形.〔••••••••••••••••••••••••••••••a•3有两个内角不等的三角形不是等腰三角形.•••••••••••••••••••••A•4〕如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等,那么这个三角形是等腰三角形.[••••综合、运用、诊断
一、解答题.如图6—5AABC中,8C边上有、E两点Z1=Z2N3=N
4.求证△ABC是等腰三角形.图6—5••••.如图6—6AABC中,AB=AC七在CA的延长线上,ED±BC.求证AE—AF.图6-6•••♦.如图6—7AA3C中,ZACB=90°COJ_A3于,5尸平分NA3C交CQ于E交AC于尸.求证CE=CF.图6-7••••.如图6—8在△ABC中,ZBAC=60°ZACB=40°P、Q分别在8C、CA±并且AP、8分别为NB4C、NA3C的角平分线,求证BQ-\-AQ=AB-\-BP.图6-8••••拓展、探究、思考.如图6—9假设A、3是平面上的定点,在平面上找一点C使AA5C构成等腰直角三角形,问这样的点有几个并在图6—9中画出点的位置.图6—9••••.如图6—10对于顶角NA为36的等腰AA8G请设计出三种不同的分法,WAABC分割为三个三角形,并且使每个三角形都是等腰三角形.图6—10测试7等腰三角形的判定与性质学习要求••••熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进展推理和计算.课堂学习检测
一、填空题•••••.如果一个三角形的两条高线相等〔如图7—1那么这个三角形一定是.图7—1••••.如图7—2在△ABC中,高A、BE交于H点、假设8=AC则NA3C=.图7—2••••.如图7—3AABC中,AB^ACAD=BDAC^CD则NBAC=.图7—3•••♦.如图7—4在AABC中,ZABC=120°点、E分别在AC和A5上,且AE=EQ=DB=BC则NA的度数为°.・•••••••••••••••••••图7—4••••.如图7—5AA8C是等腰直角三角形,8平分NA5CDE_LBC于点、E且8C=10cm则的周长为cm.♦••••••••••••••图7—5••••
二、选择题
6.2XABC中三边为〃、b、c满足关系式一h[h—c[c—a]—图7—50则这个三角形一定为〔•••••••••••A.等边三角形B.等腰三角形点A[24B—15C-3-7D[6—8E[90F[0—2关于y轴的对称点A]B C]E F【关于工轴的对称点A1CDu1〕F。