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第一章多项式练习题第一章多项式练习题第一章多项式一.填空题
1、当px是多项式时,由px|fxgx可推出px|fx或px|gxo
2、当fx与gx时,由fx|gxhx可推出fx|hxo
3、设fx=x3+3x2+ax+b用x+1除余数为3用x-l除余数为5那么a=b=o
4、设fx=x4+3x2-kx+2用x-l除余数为3则k二
05、如果x2T2|x4-3x3+6x2+ax+b则a=b=
6、fx没重根的充份必要条件就是
7、如果fx=x3-3x+k于向阳根,那么k=
8.若不可约多项式px是fx的k重因式,则px是fklx的因式
9、a是fx的根的充分必要条件是
10、以1为二重根,21+i为单根的次数最高的实系数多项式为fx=o
11.艾森施坦因辨别法就是推论多项式在有理数域上不容约的一个条件答案
1、不容约
2、互素
3、a=0b=
14、k=
35、a=3b=-
76、fxf*x=17k=±
28.单因式
9、x-a|fx10x5-6x4+15x3-20x2+14x-
411.充份二.判断并说明理由
1、若fx|gx+hxfx|gx则fx|hx
2、若fx|gxhx则fx|gx或fx|hx
23.设fxp[x]且flfl0则xlfx.
4、设px就是数域p上不容约多项式,如果px就是fx的k轻因式,则px就是fx的k-1轻因式
5.任何两个多项式的最小公四式不因数域的不断扩大而发生改变
6.若一整系数多项式fx有有理根,则fx在有理数域上可约
7.若fx无有理根,则fx在q上不可约
8.在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都就是有理数的.
9、fx=x4-2x3+8x-10在有理数域上不容约答案
1、J
2、X当fx是不可约时才成立
3.J
4、
45.
76.X次数22时成立
7.X
8.VV三.选择题
1、以下数集不是数域的是0a、abi|ab是有理数,i2=-lb、abi|ab就是整数,i2=-lc、ab2|ab是有理数d、全体有理数
2、关于多项式的相乘以下命题恰当的就是a、若fx|gxhx且fx|gx则fx|hxb、若gx|fxhx|fxMgxhx|fxc、若fx|gx+hxfxIgx-hx则fx|gx且fx|hxd、若fx|gxfx|hx则fx|gxhx
3、关于多项式的最大公因式,以下结论正确的是a^若fx|gxhx且fx|gx则fxhx=1b、若存在uxvx使得fxux+gxvx=dx则dx是fx和gx的最大公因式c、若dx|fx且有fxux+gxvx=dx则dx是fx和gx的最大公因式d、若因式gxhx=l则fxhx=lKgxhx=l
4、关于不可约多项式px以下结论不正确的是a、若pxfxgx则px|fx或pxgxb、若qx也是不可约多项式则pxqx=1或px=cqxcWOc、px是任何数域上的不可约多项式d、px是有理数域上的不可约多项式
5、关于多项式的重因式,以下结论恰当的就是0a、若px是fx的k重因式,则px是fx的k+1重因式b、若px是fx的k重因式则px是fxfx的公因式c、若px是fx的因式,则px是fx的重因式d、若px就是fx的重因式,则px就是fxfxfx的单因式
26、关于多项式的根,以下结论不正确的是a、a就是fx的根的充份必要条件就是x-a|fxb、若fx没有理根,则fx在有理数域上不容约c、每个次数21的复数系数多项式,在复数域中存有根d、一个三次的实系数多项式必存有实根
7、设fx=x3-3x2+tx-l是整系数多项式,当t=时,fx在有理数域上可约a、lb^Oc、Td、3或-
58、设fx=x3+tx2+3x-l是整系数多项式,当t=时,fx在有理数域上可约a、lb、Tc、0d、5或-
39、设fx=x5+5x+L以下结论不正确的是a、fx在有理数域上不容约b、fx在有理数域上有理数c、fx存有一实根d、fx没有理根
10.fxanxnanlxnl确的就是a.panqaOb.panqanc.pa0qand.pa0qa0alxa0z[x]若分数PPq互素是fx的有理根,则下列结论正q答案、b
2、c
3、d
4.c
5、d
6、b
7、d
8、d
9、biO.c四.计算题
1、谋mp的值并使x2+3x+21x4-mx2-px+2解用带余除法求得rx=-3m+p+15x-2m+12令rxR即求得nF-6p=3谋lm并使fxxlx5x2能够被gxxmxl相乘3223mp150m60数学分析1因fx3gx2故商qx满足用户qxl且设qxxp则由可得x3lx25x2x3mpx2pmlxpp2pml5pmlfxqxgx从而p2m2l4o解法2用带余除法x2mxlx3lx25x2xlmx3mx2xlmx24x2lmx2mlmxlm4m2lmx2ml于是fxgxxlm4m2lmx2ml因gx|fx则4m2lm02ml0从而l4m
23.设fxx43x3x24x3gx3x310x22x3求fxgx并求uxvx使fxgxuxfxvxgxofxgxx3;ux3122xlvxxx
5554、判断fx=x4-6x2+8x-3有无重四式,如果有,求其重数.求解fx=4x3-12x+8fxfx=x-12x-1就是fx的三重因式备注谋fx轻因式的方法
1.谋fx;
2.求fxfxdxo当dxl则无重因式当dxl则于向阳四式,且dx即为为一些轻因式的乘积,据此,也可以实地考察fx有没有重根
6、谋fx=4x4-7x2-5x+l的有理根,并写下fx在有理数域上的标准水解式解有理根为?11二重水解式为fx=4x+2x2-x-l
2247、未知i2-i就是fx=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的两个根,谋fx的全部根解全部根为i-i2-i2+i128>求以1为二重根1-i为单根的次数最低的实系数多项式fx.求解fx=x4-4x3-x2-6x+
29、已知1-i是fx=x4-4x3-5x2-2x-2的根,求fx的全部根求解全部根为1+i1-i1+21-2五.证明题
1、试证用x2-l除fx税金余式为f1flflflx22证明:设余式为ax+b则存有fx=x2-lqx+ax+bf1=a+bf-1=-a+b求得a二flflflflb222^证明,fx+gxfx-gx=fxgx证明:fxgx=dx则dxfx+gxdx|fx-gx设dlx就是fx+gxfx-gx的任一公因式则dix|fx+gx+fx-gx=zfxdlx|fx+gx-fx+gx=zgx故dlx|fxdlx|gx从而dlx|dx初等矩阵
3、设px是次数大于零的多项式如果对任意多项式fxgx由px|fxgx可推出px|fx或px|gx那么px是不可约多项式证明假设px就是有理数的设px=plxp2x其中?plxpxp2xpx似乎px|plxp2x^px|plxpx|p2x这与题设矛盾,即px就是不容约的.设px是px中一个次数?1的多项式如果对于fxgxpx从px|fxgx可推出px|fx或px|gx则px就是px中的一个不容约多项式证明类似上题,用反证法若pxpx可约,则Px可分解为pxflxf2xflxf2xpx且Px|flxf2x故由题建有px|flx或px|f2x矛盾
5.设px就是px中一个次数1的多项式如果对fxpx都存有px|fx或pxfxl则Px是数域p上的不可约多项式证明用反证法如果px在p上有理数,则px可以数集两个次数较低的多项式的乘积pxflxf2x且可设flx的首项系数为1于是px|flx且pxflxflxl与题设立矛盾
6、设fx;anxn+anTxnT+…alx+aO是整系数多项式证明,如果aOan均为奇数,f⑴fT中至少有一个为奇数那么fx无有理根证明若fx存有有理根uuuv互索,则v|anu|aO知uv均为奇数,由x-|fx得,vx-u|fx取x=lvv有u-v|flu+v|f-l故均为偶数,这与题设矛盾,所以fx无有理根6。