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2023届新高考数学高频考点专项练习专题十四考点38双曲线及其性质(B卷)
22.已知双曲线三-上=1直线/过其左焦点交双曲线左支于A8两点,且m7为双曲线的右焦点,△八8鸟的周长为20则机的值为().已知P是双曲线土-匕=1的右支上一点,MN分别是圆(x+5)2+y2=4和916(x-5)2+y2=i上的点则1PMi-|PN|的最大值为()
22.已知双曲线C:3-==1(>0力>0)的下、上焦点分别为点历在C的下支上,过a~b~点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为.若周一眼周恒成立,则C的离心率的A.x/5
(2)证明过程见解析.解析
(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为乐虚轴的一个顶点为(0力),\-ab\瓜「「依题意得J从+二炉=7,即6而二岳,即34%2=2
①+/),
①又点P(2』)在双曲线上,1所以——tt=1»即crb1=4b2—a1
②alr由
①②解得/=2,6=1,*所以双曲线C的方程为y-y2=l.
(2)当直线AB的斜率不存在时,点A〃关于x轴对称设人(为为),8(%-%)则由勺+=1解得上1+二^=1小一2苟一2即一7=解得%=0不符合题意,所以直线A3的斜率存在.xo~z2不妨设直线A8的方程为),=奴+7代入整理得(2攵2Tx2+46+2/2+2=0(2攵2_1砌,A0设A(芭),J8(必),4kl则%+%=一五「,即与乙K1kx.+t-\履,+/—1即整理得24-1斗马+,-24+1X+x2—4/=0整理得/+22f+l-2A=0即,-1/+2-1=0所以1或,=1-M.当f=l时,直线AB的方程为,=去+1经过定点/;当,=1一2攵时,直线A8的方程为y=-2+1经过定点P21不符合题意.综上,直线48过定点
01.
6.已知双曲线C:土-乙=1(〃70)的左、右焦点分别为片,F、过点F作双曲线C的渐近4m线的垂线,垂足分别为MN两点.若AOMN的面积为2则双曲线的虚轴长为()
227.已知双曲线£:二-与=1(0/0)的离心率为与C1同渐近线的双曲线C过点ab~4
(22),直线/:x+y-4=0与x轴、),轴分别交于8两点,且与双曲线C交于,UIMI1111若CD=2CB则4=()53B.-C.-
88228.(多选)已知T居分别是双曲线:当■-与=1(〃0力0)的左、右焦点,过E且倾斜角为a~b~a的直线交双曲线C的右支于48两点,/为△4£工的内心,为坐标原点,则下列结论成立的是()A.若C的离心率e=0则a的取值范围是花)U(7u).若|A用=2|A周且|A用;〔A周.|A8|则的离心率e=2D.过F作鸟垂足为P,若/的横坐标为,〃,则|*=〃.(多选)已知点为双曲线C:二-二=1(〃0〃0)所在平面内一点,耳(-仁0)居(c0)分别kly为C的左、右焦点,P81EE,|P用=4,线段小尸居分别交双曲线于M.N两点塔=〃.设双曲线的离心率为e则下列说法正确的有()|N周A.若/Y;平行渐近线,则e=2B.若4=4则e=内+2C.若〃=3则e=Bd.4=G(2+)〃31().已知焦点在x轴上的双曲线上-一二二1的两条渐近线互相垂直,则实数m=in2-nr.已知双曲线C:二-4=140力0的右顶点、右焦点分别为AF,过点A的直线与C的一条渐近线交于点直线板与的一个交点为州4知-47=43・小,且FN=2NM则双曲线的离心率为..已知尸为双曲线C:1■-5=1的左焦点,P为双曲线同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点4瓦0在线段PQ上,则△PQF的周长为.
22.已知双曲线•-0=13010的右焦点为尸c0直线/:y=Zx+c与P的左、右两支及x轴分别交于ABC三点,若x轴上的点M满足|8W|=3|A尸且ZAFB=NCBF=4FBM则「的离心率为..已知双曲线C:5-/la0力0的右焦点为网20点尸到C的渐近线的距离为
1.1求的方程.2若直线4与的右支相切,切点为只4与直线4x=3交于点,问X轴上是否存在定点2M使得MP_LMQ若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
15.双曲线C:£-g=la0方0经过点P2l且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离a-b~为乎.1求双曲线C的方程2过点的两条直线4《与双曲线C分别交于A,6两点A8两点不与点重合,设直线小/2的斜率分别为匕,k2若4+的=1证明直线A8过定点.答案以及解析.答案B解析由已知,卜川+」图+|叫|=
20.又卸=4则|A闾+忸周=
16.根据双曲线的定义2a=\AF2\-\AF]=\BF2\-\BF\所以4a=|A用+忸周一|人耳|+忸用=16-4=12即“3所以〃2=片=
9..答案D解析设双曲线的两个焦点分别是£-50与玛50则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点与M,耳三点共线例为的延长线与圆x+52+y2=4的交点及与NF2三点共线N为线段尸鸟与圆.1-52+V=1的交点时,所求的值最大,此时1PMi-|PN|=|用+2—|尸周—1=|尸耳卜|尸+3=6+3=9故选D..答案A解析设旧周=2c则点二到渐近线y=±4的距离d=-=b.b\Ja2+b2由双曲线的定义可得|M段一|M间=2a故网眉二|MK|+2a则IMD|+|M段=|MO|+|M|+2a的最小值为d+2a=2a+b,由|MQ|忻周-四周恒成立,得周〉情周恒成立,即2a+b2c^b2c-2a即〃2牝2+4/一8℃BPc2-cr4c2+4a2-Sa故1£.故选A.a34答案:C解析根据双曲线的定义有|A用-14用=2
①,忸用-忸用=2
②由于-AB月为等边三角形因此|A周二|A0=忸用,
①+
②得忸周一卜用=4〃,则|AB|=|A段=忸周=4〃,忸用=6*又N£8名=60,所以2c2=6a2+4a2—2x6ax4axg即7/=/=7解得/=|则b2=c2-a2=6所以双曲线的方程为=6解析:由题意得|P周二人||=%|用=.因为耨=血,所以|「制=应归用=回.在IP叼RtV尸鸟中,以为/^^二匕在丫*/中,cosNP玛耳=史国:优*一用c2|尸工||名片|所以双曲线C的离心率》=逐,故选A..答案C解析连接MN交x轴于点£则MN_LO
5.因为OM所以\MF2\=b.因为RL〜30,所以隅=隅=岗,即\OD\=—=~|历|=竺=竺.因为CCCCS^oMN=-x2|MD|x|OD|=^=2故劭=/二^+/,则/-4+4=0解得6=2故2c双曲线C的虚轴长为
4.故选C..答案C..设G/一y2=aaxO将点A代入得4-8=a解得a=-4v2r25/.C2:^--y=l与直线/联立得力=半UlMIULI5\易得%=0儿=4QCD=ACB_4=24_a―4k2解得丸=3故选c.
88.答案BCD22解析对于选项A当《=四时,双曲线二-4=1的渐近线方程为,=±x其倾斜角分a~b~别为匕龙,因为过居且倾斜角为a的直线与双曲线的右支交于A8两点,所以a的取值范44围是2里]故A错误.144J对于选项B由双曲线的定义可知|4周一|A段=3,又|4用=2|A闾,故上周=2a|A周=4〃由|A6『=|a图.|A8|得|A8|=8a所以忸闻=6a连接5「则忸用=8〃4a由|AB|=|B/得cos/£46=2=L在△人月行中,由余弦定理得84cosA=44+24-Ze」得c=2〃,故6=£=2故B正确.2x4ax24a对于选项C因为C的离心率e=2所以2/=c设的内切圆/的半径为r则-1用xr_g|A用xr—gxgx2cx〃=%|A6卜|人鸟|-c=gr2a-c=0故C正确.对于选项D设gPIA£=E因为鸟尸_LA/AP为/片4鸟的平分线,所以AAE鸟为等腰三角形,|AE|=|A曰|PE|=|P7讣则段=|AE|+|班|-|A用=|班|=2〃,在△府历中,OP为中位线.所以|OP|=;|3|=a.设△4片用的内切圆/与片用相切的切点分别为RMM则M皿0又|人用一|人用=|4|+|用一|AN|-|N4|=\DFl\-\NF2\=\MFi\-\MF2\=c+m-c-m=2m=2a,所以“=〃,|OP|=a=〃,故D正确.故选BCD.
9.答案ACD解析由题意△々•;行为直角三角形,点P坐标为c±2Gc直线PG斜率=±x/5NP6=
60.不妨设点P在第一象限,如图.选项A若P耳平行渐近线,则2=白,得e=2故A正确.a选项B若2=4则|MZ|二c•.连接加工图略,由/购片=60,解得\MF2\=2a=\MF2\-\MFt\=-lc得e=6+l故B错误.选项C若〃=3贝1」加周=手.连接N图略,由/尸巴耳=90,解得\NF1\=^y~c:.2a=\NF]\-\NF2\=^^-c»得e=G,故C正确.选项DQ|P用=4c=/l|M用,.•.也用二手,点M的坐标为/=空—c%=小,代入aAA双曲线方程得石生口,Q|M|=^,则”黑二造.・.4=竿=正等,b~11a〃〃V33故D正确.故选ACD..答案1v2v2fm>0解析双曲线^——2=1的焦点在x轴上,・・・、即<加<也.双曲线的两m2-nrI7/7条渐近线互相垂直,—口二犷二21犷=_]即〃]一1〃+2=0解得帆=1负值舍\JmyJm去..答案V13-2解析因为AM-AN=AM-FV所以AM-AN-AW-F/V=6=0即AMLA77不妨设点M的坐标为3M.设点Nxy因为点尸c0FN=2NM所以x-gy=2a-aZ-y=2a-2x2b-2y则x=%;=弓代入双曲线方程得”吁倒々—=1整理得c2+4ac—9a2=0,则e2+4e~g-0,解得e—/13—2舍负.a~b~.答案:3222解析根据题意,得双曲线C:工-二=1的左焦点F-x/130虚轴长为6所以点AV13049是双曲线的右焦点,如图所示|PF|-|4P|=2a=4
①\QF\-\QA\=2^7=4
②・「PQ的长等于虚轴长的2倍,.\|PQ|=12由
①+
②得,I0用+|QP|—|PQ|=8周长为|P尸|+|尸|+|「|=8+2|尸|=
32.故答案为
32.
13.答案>/7解析依题意得C为厂的左焦点,则|C/|=2c.由=得AF//3M.”AM|=3|A/=二;,.[CM[=6c.JFM|=4c.设|4用=/〃,则|AM|=3/〃,・.4CBF=4FBM.L£l==2=_L.|BC\=—\ZABF=ZAFB|||FM|4c22/J48HAf|=〃,|AC|=.由双曲线的定义知,|A用-1AC|=%,即m--m=2a:.m=〃223
①.又|AC|一|4/|=2〃,JBF\=-m-2a=m\BF\=\AB\=\AF\=m即413产是等边三2角形,.•./尸8=乙48月=
60.在4月加中,由余弦定理知,…=53即白’化简得由
①②得°2=7/,所以r的离心率“=£=疗.2M20解析
(1)易知C的渐近线方程为区±〃),=OC=2所以打20)到渐近线的距离d=J==(=b=T所以/=c-b2=3所以C的方程为£-)2=
1.3
(2)由题意易知直线4的斜率存在,设其方程为),=丘+〃,联立人与的方程,消去y得(3公―1)』+6kj)ix+3ni2+3=0A=36后/_]2(38-1)(+1)=12(〉+1-3犬)=0得m2二3-一1则〃7*
0.设切点P
(7)则%=一缶=d3k2in2-3k21y二峪+m=fin==mmm设(£,%),因为Q是直线人与直线的交点,所以々=],丹=]4+〃心假设x轴上存在定点M(Xu,0)使得MP_LMQUUUUL1U则MPMQ=(%—%凹)•(占—与,工)=(内一%)(W一小)+先=xlx2+yly2-x0(x}+x2)+xl9k3k(33n22m2m\2mJ,
3.3k(c、=不一彳七一1+一(小一2)2m=3伉-2)(
2.+1)+(与-2)=(%-2)1+鸿),UUUllliu故存在%=2使得MPMQ=()即MP_LMQ所以x轴上存在定点M
(20)使得MQ_LMQ.r
215.答案
(1)耳一),2=
1.。