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素养提升微专题
(四)“双变量问题的转化”在解决函数与导数综合题时,我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变显问题,由于两个变量都在变动,因此不知把哪个变量当成自变量进行函数研究,从而无法展开思路,造成无从下手的感觉,正因为如此,这样的问题往往穿插在高考试卷压轴题的某些步骤之中,是考生感到困惑的难点问题之一,这里给出处埋这类问题的几种解题思想,希望能给同学们以帮助和启发.
一、指定“主变量”思想[例1]已知OWmv〃,试比较e+in(加+1)与l+ln(〃+l)的大小,并给出证明.函本题涉及两个变量这里不妨把〃?当成常数,指定〃为主变量尤
二、化归为值域或最值思想[例2]已知函数段户优+.F-.Hn4(〃1)对\/1]/2£1-11]|/1口);/
(12)|0-1求实数的取值范围.I分析I该题虽然有两个变量X1/2但由于VX1X2£卜11]总有府1)疯24小于火幻在区间卜11]上的最大值与最小值的差因此该问题便可化归为求函数的最大值与最小值问题.
三、化归为函数单调性思想[例3]已知函数以=a+llnx+at2+la-l若对M儿〃£0+8|/〃火2|24|/〃-川求a的取值范围.
四、代换变量,“变量归一”思想[例4]已知函数段=21nx+Fl若用眼是两个不相等的正数,且於+段2=0试比较加+也与2的大小,并说明理由.[例5]若函数段fMqF+⑵a0存在两个极值点xi42求/U1七代2的取值范围.针对训练.已知函数Jx=a\nx+$2在其图象上任取两个不同的点P占yiCX22Cvi总能使得殁业包2求实数的取值范围..设函数段=24X+;函数虱¥二好2汝+1若对Vxi£
[12]3x2£[
0.1]使_/即2g12成立,求实数人的取值范围..已知函数x=M+alnx且凡有两个极值点x』2其中片£12]求凡⑴次⑵的最小值.素养提升微专题四“双变量问题的转化”[例1]解构造函数7x=]-+lnm+1-1-lnx+1/W[w+oo/w0由八击=邕一击=uXnW0在[〃2,+8上恒成立,,於在人I,CyVIJLtIXJD[〃7+8上单调递增,,Hxmin可7=0于是当0mn时/〃=e加+lnm+1-1-lnn+10即e+ln〃?+11+ln/7+l.[例2]解由/U=lna+2nM=dllna+2x所以-0=0当x[-10]时〃・号01迎0比0所以八*0故©在[-10]上单调递减;当x£[01]时1Kln02xK所以/xN故/W在[0』]上单调递增.因此於min=iA0=1-ax=maX{/1J-1}.又川次-1=+1-1〃-,+1+1114=21n4设//3=c7-;-21naa£[1+8则3=1+a_|=吗」,所以〃
①在[1+oo上单调递增,又力1=0所以,当a\时%0即川次・D所以危max守U=a+l-lna因为四用£[-11][/的次12|勺》70001加=0・13要使题设中的不等式恒成立,只需cMnaSe-1成立便可.设pa=a-\na-e+1a1+oo因为=所以3a在1+8上单调递增,又*e=0所以由pa0得好已又所以IvaSe.因此所求实数a的取值范围为le].【例3】解/x二号+23・0〃1・・.人工〈0即於在0+8上单调递减不妨设0〃几・\/〃24〃,即4〃2+4加/〃+4〃令R%=yx+4ji贝U尸.0在0+8上单调递减,FU=fx+40即号+2以+4W0在0+8上恒成立,则心-蔡云在]£0+8上恒成立,令当xeo[时单调递减,当—;+8时〃30及单调递增.〃xmin=aQ=-2a-2,〃的取值范围为-oor2]11504]解•;Jxi+/X2=0;•好+xl=2-2\nxixi即3+122=2+2口处2巾112设r=xiX2^0+co则X]+X22=2+2x\X2-2\nx\X2=2+2t-2\nt构造函数/2r=2+2/-21n/re0+oo由/7V=2-1=竿,当七01时⑺0;当fe1+8时/V0,力⑺min=/ll=
4.若r=X|X2=l时,则X2二一,代入Xl+X22=2+2%|X2-21nXiX2得X|=X2=1这与XIK2X1是两个不相等的正数相矛盾尤2#
1..//=2+2/-21n/4即xi+及24xi+xi2【例5】解八不二3『-6ar+12由题意,得/=36r2-4x3x120即a2xi+x2=24Kl也=4故火川切2=-4/+24设以=-4/+24第=-122+24=-122-2又a2所以g0ga=-4/+24c7在2+oo上单调递减,所以ga^2=-4x23+24x2=16即+/2的取值范围是-
816.【针对训练】
1.解合2/1%20•t•Jix]2xi-2x
2../Ui-2x」j{xi-lx
2.xrx2令gx=yir-2『Hnx+/-2x贝Igxigx2,函数gx在0+8上为增函数,•••且=+1-2贝1」gxN对V.e£+co恒成立.・aN-x2+2x当x时例产-f+2片-412+摩1当且仅当时,等号成立,因此实数的取值范围是[1+
8..解若对Vxie[1213x2e[[]使J3遂8成立,只需於mi且冷面,由ytofxMx+Q得/工二1-4所以在
[12]上八xW0即人幻是减函数,所以/Wmin=A2=-
5.因为ga=f-2bx+1=x-b2+1-b2当b0时gx在[01]上单调递增gxmin=gO=l需-5十不成立;7当b\时蚣在[01]上单调递减gx而n招1=2-24需-522-26解得培,此时b*当061时gx在[0加上单调递减,在Sl]上单调递增gC*nin=gS=l-〃需-5N1-/解得后-乃或此时无解.综上实数方的取值范围是E,+
8..解危的定义域为o+8/a=i+,+E令八人二°,则f+#+1=必有两个不相等的实根处必又XI0伊-401/.%!+X2=-Cl0/.^-2X2=一,〃=(工1%2=101,四)次切守3)/5)=xi-+alnxi-(^--%1+aln今=2(%iq)+2Hnxi=21]q)-211+^Inxi.令〃(x)=2(%q)・2(%+)lnx»x£(l2]・・・爪=2+珏』弓21+杷]如矍萼当一£12]时/30附幻单调递减••・力1向=%⑵=3・51n2・••/D兆2的最小值为3-51n
2.。