第25讲 改变结构柳暗花明，“等”生“不等”放缩有度

第25讲改变结构柳暗花明，“等”生“不等”放缩有度典型例题【例1】已知久〃为非负数M=/+44+=]，求知的最值.【例2】已知++=1储+〃2+02=上求证地]

3.【例3】已知实数内满足

3、+3』、”则要的取值范围是强化训练.在VABC中，已知内角4B、的对边分别为久枚°若空工=出匕变四.求bsinA-sinC”2的取值范围.c.设4为常数，且an=3〃t—2an_xhgZir-j1证明:对任意〃3〃+—1〃一/2〃+—l〃x2〃%;5L」2假设对任意几.1都有凡〉《一求的取值范围.解答过程【例1】已知以〃为非负数Mn/+Ha+bui.求M的最值.【解析】【解法1】（均值代换法）根据久〃的对称性采用均值代换，可令11（1Aa——tb=—\-tOxx11—22I2）\A4・・.M/=--tI，7iiiA又QOm易得〃讪=0=$，陷海=例-=L4o\L【解法2]（基本不等式法）QdW涉0・・・/+〃摩她・・・2（々2+/72）••・2（〃4+4）圉〃2+力2）2gg+02]=；.・・/+/A.当且仅当Q=〃=L时等号成立.82又Q0领b1啖0又赞上」葭.，+人4a+b=l.当且仅当力之一为0时等号成立.综上，Mman=]Mmax=L・【解法3】三角换元法Q0麴h10系必la+b=l=cos2^b=sin2^6e09—_2M=cos8^+sin8^=sin%+cosej-2sin4^cos4^=^sin26+cos2^y-2sin2^cos261-2sin46cos4^\Y=2\-sin226-l-14JQ•.诩si/ze!，・.•〃版111ax=1【例2】已知+/+=1/+/+2=1求证:—J_轰上i.3【解析】【解法1】消元法由4+〃+=1得=1一+与将此代人〃2+〃+，=1并化简整理2得/+/72+々+与2—24+〃=0又a+b\2^a2+b

2.二/贝口有--2~+〃+匕f—2+力，0即a+/a+匕一§”0解之得O^!h+b—.41即崂I-c―解得——领上

1.33【解法2】（构造不等式法）依题意得1—2=/+/，消元得（1—c）22（l—/）.（a+b）22（.+/）整理得3c2—2c—Lo解得—1领k

1.3【解法3］（反证法）假设C1或C—L当C1时，则4+/2+/1这与已知+人23事实上，由（o+Z）2»2（4+〃）得a+仇，^2（6Z2+Z2）J2X-=±.・.〃+/7=1一.与/+/=1—矛盾.9综上所述，假设cl或c—L不成立.・・・—领上

1.33【解法4］（判别式法）由a+〃+c=l得=1—P+C）将此式代人a2+b2+c2=i并化简整理（实质是消去〃）得k+（c-l）b+，—c=

0.依题意知上述关于/，的一元二次方程在实数范围内有解则A=（c-1）2-4（c2-c）=-3c2+2c+

1..0即3c2-2c-U0解得

1.327”+27）’【例3］已知实数xy满足3+3=

9、+9\则的取值范围是I«_/【解析】[解法1]整体换元设t=3X+3由3A+3=

9、+9y=

3、+

3、y一2x3x3【解法2]三角换元令3=/3=力厕〃0b0Q3+3y=9x+9\:.a+b=a2+b\即/—/=必—也即〃2+82一o2二利用余弦定理，求得二W又•・・4+〃C（三角形两边之和大于第三边）・•・1”士，

2.C2设4为常数，且a〃=3i—2q~〃£Z.1证明:对任意几.14=」「3〃+x2〃1+—1〃xT%；5L」2假设对任意几.1都有%%t，求%的取值范围.【解析】1【解法1]数学归纳法

①当几=1时q=3°—2%=1—24即]=1—20，.二当〃=1时，等式成立.1厂1

②假设几=kk..l时，等式成立即ak=—+—I】2k卜_]攵・2%5L」则％用=3-2ak=3%_[3攵+—I—》]—―1女・2人%1-I=1[3M+―2+[+―也就是说当〃=左+1时等式也成立.由

①和

②可知，等式对于任何neZ成立.【解法2】构造法an=3i-241=4=-〃〃-13〃一=3%=_

2.9+]=33〃3〃t72-13〃5=-2••・{2-1是公比为首项为3〃531a11V

2、%—上的等比数列・•・一上=4--°53〃55人3即an=-[3n+―1严.21+—12a0/

3、〃一2⑴当〃为奇数时1式为5%—1—°52/

3、〃-22当〃为偶数时⑴式为54—1〉——•••CLyX1H=0°551\\综上所述，

①式对任意Z成立，有0不.故”0的取值范围是0—.、3J。