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专题01线段双中点模型
一、基础知识回顾1）线段中点的概念把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点2）线段中点的性质线段的中点平分这条线段已知点C是线段AB的中点，则AC=BC=1AB（单中点模型）ACB.
二、线段双中点模型的概述两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离模型一两线段无公共部分（作和）已知点B是线段AC上任意一点，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=；AC证明丁点M、N为线段AB、BC的中点AMB=-ABBN=-BC/22则MN=MB+BN=1AB+|BC=|（AB+BC）=1AC文字语言结论两中点的距离二被平分的两条线段和的一半MBNC•・••模型二两线段有公共部分（作差）1）已知点B在线段AC的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN=%C证明丁点M、N为线段AB、BC的中点AMB=-ABBN=1BC22AMCNB••・••则MN=MB-NB」AB」BC=Q4B-BC=-AC22222）已知点B在线段CA的延长线上，点M、N分别为线段AB、BC的中点，则MN^AC4证明・・•点M、N为线段AB、BC的中点1，MB=-ABBN=-BC••2M则MN=NB-MB=|BC-|AB=|[BC-AB）=^AC文字语言结论两中点的距离二被平分的两条线段差的一半图解:速记口诀一半一半又一半【基础过关练】
1.（2022・四川省内江市开学考试）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，设=则MN的长度是（）AMCNB•••••A.2aB.a1C.-Q2【答案】C0CF=-CD-—x60=30cm或B/7=乂60=30cm.分两种情况讨论:2222
①如图1当A3在CD的左侧且点3和点C重合时.EF=BE+CF=20+30=50cm或E/=8E+8F=20+30=50cm；
②如图
2.当A3在CD上且点5和点重合时.EF=CF-BE=30-20=10cm或EF=BF-BE=30-20=10cm.综上所述此时两根木棒的中点石和b间的距离是50c7%或10cm.11I1।■・■■■AEB（C）FDDAFEB（C）图1图2【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论作出图形更形象直观.
7.如图1已知点C在线段AB上，线段AO10厘米，BC=6厘米，点MN分别是ACBC的中点.1111I」」AMCNBACB图1图2
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第
（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B点Q以lcm/s的速度沿AB向左运动，终点为A当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【答案】
（1）8厘米；
（2）1a；
（3）t=4或日或【分析】
（1）
（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案.【详解】
（1）回线段AO10厘米，806厘米，点N分别是5c的中点_1_113cM=2a0=5厘米，CN=2bC=3厘米，@MN=CM+CN=8厘米；
（2）回点N分别是ACBC的中点，0CM=2accn=2bc111田MN=CM+CN=2AC+2BC=2a；
（3）
①当0＜区5时，C是线段PQ的中点，得10-26-t解得Z=4；1626
②当5VK3时，P为线段C的中点，2t-10=16-3Z解得片5；1611
③当3VW6时，为线段PC的中点，6-Z=3r-16解得U2；
④当6＜区8时，C为线段P的中点，2Z-10=/-6解得片4舍，2611综上所述U4或可或下.【点睛】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于/的方程是解题关键，耍分类讨论，以防遗漏.
8.1如图，已知点C在线段AB上，线段AC=6BC=4点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；2根据1的计算过程与结果，设AC+BC=a其它条件不变，请猜想出MN的长度吗？并说明理由；3对于1题，如果将〃点C在线段AB上〃改为〃点C在射线AB上〃，其它条件不变，求MN的长度.【答案】15；2能，=理由见解析；3MN=5或L2【分析】1根据点/、N分别是AC、3的中点，先求出MC、CN的长度，再利用=CM+CN即可求出的长度即可；2根据点M、N分别是AC、8C的中点，可知CN=；BC再利用MN=CM+CN即可求出的长度；3根据题意画出图形，分两种情况讨论
①点在点5的左边时；
②点在点3的右边.【详解】1团M为AC的中点，0MC=1aC=1x6=
3.12N为8C的中点，^\CN=-BC=-x4=2^MN=MC+CN=3+2=
5.222能，MN=a.理由如下团M为AC的中点，^MC=-AC.212N为3C的中点，^\CN=-BC.2EAC+8C=m^MN=MC^-CN=-AC^--BC=-AC+BC}=-a.222723回M为AC的中点，^\MC=-AC=-x6=
3.2213N为8C的中点，0CA^=-BC=-x4=
2.22根据点的位置，有以下2种情况
①点C在点8的左边时，由1得MN=5；
②点C在点区的右边时，MN=MC—CN=3—2=
1.综上所述MN=5或L【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键.
9.如图，点C在线段上，AC=10cmBC=8cm点MN分别是ACBC的中点.⑴求线段MN的长.⑵若点C为线段AN上任意一点，满足AC+3C=tzcm其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.⑶若点C在线段A5的延长线上，且满足AC—3C=反m点MN分别为4C的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.AM~C_N【答案】⑴9cm;⑵见解析;⑶见解析.【分析】1根据题意结合图形得出AC+BC，即可得出答案，2根据题意结合图形得出=;AC+3C，即可得出答案，3直接根据题意画出图形，进而利用MN二MC-NC二:AC-^BC求出即可.AB~3/Nt【详解】解1根据点MN分别为线段AC8C的中点AC=10cmBC=8cm得MC=5cmCN=4cm.所以M/V=MC+CN=9cm.2MN=-AB=—acm.22理由根据点MN分别为线段AC8C的中点，得CM=1ACCN=-BC922所以+昼C」AC+8C=Lcm.2222⑶A/N=gbcm.如图:AB~MNt理由因为M为AC的中点，所以CM=《AC.因为N为3C的中点，所以CN=15C.2所以MN=CM—CN=（AC—3C）=Z2cm.22【点睛】本题主要考查了两点之间距离和线段中点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握线段中点的性质.
10.如图，点C在线段AB上，AC=8mC3=6s点MN分别是AG5c的中点.|||||AMCNB⑴求线段MN的长；
（2）若C为线段A3上任一点，满足AC+C3=〃，其它条件不变，猜想MN的长度，并说明理由；
（3）若在线段A3的延长线上，且满足AC-屈=叫N分别为AG的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
（4）请用一句简洁的话，描述你发现的结论.【答案】⑴7s；
（2）MN=S，证明解解析；
（3）MN=E，证明见解析；
（4）见解析【分析】
（1）根据〃点M、N分别是AC、3C的中点，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可；
（2）当C为线段A3上一点，且MN分别是AC8c的中点，则存在MN=g；
（3）点在A3的延长线上时，根据M、N分别为AC、8C的中点，即可求出MN的长度；
（4）根据前面的结果解答即可.【详解】解
（1）MN分别是AC3C的中点，AC=8cmCB=6cm・•・MC=-ACCN=-BC22QMN=MC+CN=；（AC+BC）\MN=g（8+6）=7cm⑵MN吟•・N分别是ACBC的中点:.MC=-ACCN=-BC22又QMN=MC+CN.MN=-（AC+BC）=-
（3）MN=g^\AC—BC=b9iac在点笈的右边，如图不I|I.I|ABMNC；M，N分别是AC3C的中点，AC—BC=b:.MC=-AC.NC=-BC2又［NM=MC-NCih.\MN=-AC-BC=-4只要满足点C在线段A3所在直线上，点MN分别是AG的中点.那么MN就等于A3的一半【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键.
11.已知如图，一条直线上依次有A、B、C三点.1若5C=60AC=3AB9求A8的长；⑵若点是射线B上一点，点〃为四的中点，点N为8的中点，求令的值；3当点P在线段3C的延长线上运动时，点E是AP中点，点/是3c中点，下列结论中:_rp
②二口是定值.其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值.Er•••ABC•••ABC•••ABC【答案】⑴4B=30；⑵2;3
①详见解析;
②详见解析.【分析】1由AOAB+BO3AB可得；2分三种情况
①D在BC之间时
②D在AB之间时
③D在A点左侧时；3分三种情况讨论
①F、E在BC之间，F在E左侧
②F在BC之间，E在CP之间
③F、E在BC之间F在E右侧；【详解】10BC=6OAC=AB+BC=3ABf0AB=3O；2回点/为3中点，点N为中点，^\BM=BDDN=NC
①在BC之间时BC=BD+CD=2MD+2DN=2MNBCE——=2MN
②在A3之间时:DMBNBC=DC-DB=2DN-2MB=2BN+2MB-2MB=2BN+2MB=2MN.BC0——=2MN
③在A点左侧时:BC=DN+NB=MN+DN-NB=MN+MB-NB=MN+MN+NB-NB=2MNBCE——=2MNBC故——=2MN3点£是4月的中点，点尸是3c的中点.0AE=EPBF=CF@ABFECPEF=FC-EC=|BC-AC+AE=1AC-AB-AC+AE=AE-BP=AP-AB=2AE-ABAC-BP=AC-2AE+ABAC-BP0-EF—=
2.
②AB_FCEPEF=1BC^CE=yBC+AE-AC=1AC-AB+AE-AC=AE-^-AB-1/1CBP=AP-AB=2AE-ABAC-BP=AC+AB-2AEAC—BP团一^=
2.
③ABEFCPEF=CE-CF=CE-^-BC=AC-AE-^BC=AC-AE-|AC-AB=|AC-AE+yyABBP=AP-AB=2AE-AB0AC-BP=AC+AB-2AEAC-BP0———=
2.【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键.【分析】根据点M、N分别是4C、8C的中点，可知CM=]aCCN=13C再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度.【详解】团点M、N分别是AC、3C的中点，0CM=-ACCN=、BC22
⑦MN=CM+CN=1（AC+3C）=；〃.故选C.C为线段A3上任意一点，2E分别是ACC3的中点，若AB=10cm则OE的长是（）.A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【答案】D【分析】先画好符合题意的图形，再证明oc=！acce=!bc再利用线段的和可得答案.22【详解】解如图，•••••4DCEB•后分别是ACCB的中点，•・DC=-ACCE=-BC22AC+BC=AB=10:.DE=DC-hCE=-（AC-l-BC）=-AB=
5.故选D.【点睛】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差关系，掌握线段的和差与中点的定义是解题的关键.
3.已知线段AC和3C在同一直线上，AC=8cm.BC=3cm则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（）A.
5.5cmB.
2.5cmC.4cmD.
5.5cm
2.5cm【答案】D【分析】先根据线段中点的定义求出CECF然后分点8不在线段AC上时，EF=CE+CF点3在线段AC上时，E/=CE-CT两种情况计算即可得解.【详解】解设AC、5c的中点分别为E、FEL4C=8c/%8C=3c7h国CE=yAC=4cmCF=yBC=
1.5cmAECFB如图所示，当点8不在线段AC上时，EF=CE+CF=4+
1.5=
5.5C772EBFC如图所示，当点8在线段AC上时，EF=CE-CF=4-
1.5=
2.5c〃2综上所述，AC和中点间的距离为
2.5的或
5.5的.故答案为
2.5cm或
5.5cm故选D.【点睛】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
4.如图所示，点P是AB的中点，点Q是BC的中点.A3=6cmSC=4cm则PQ=AB=6cmQC=2cm则AC=AB=6cm3Q=2cm则AQ二cm.【答案】15；210；
38.【分析】
（1）点P是AB的中点求出PB的长，由点Q是BC的中点求出BQ的长，然后可求出PQ的长；
（2）由点Q是BC的中点求出BC的长，然后可求出AC的长;
（3）直接把AB与BQ相加即可；【详解】
（1）回点P是AB的中点，AB=6cmHPB=3cm团点Q是BC的中点，BC=4cm0BQ=2cm0PQ=3+2=5cm；2点Q是BC的中点，QC=2cm0BC=4cm0AC=6+4=lOcm；0AB=6cm5Q=2cm0AQ=6+2=8cm.故答案为15；210；
38.【点睛】本题考查了线段中点的计算，如果点C把线段A3分成相等的两条线段AC与8C那么点叫做线段A3的中点，这时AC=或AB=2AC=28C.2020•甘肃・甘州中学七年级阶段练习线段AB上有点C点C使AC CB=23点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，若MN=4则AB的长是.【答案】8【分析】因为点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点，所以AC=2MCBC=2CN即可求得.【详解】解如图团点M和点N分别是线段AC和线段CB的中点HAC=2MCBC=2CN又回MN=40AB=AC+BC=2MC+2NC=2MC+NC=2MN=2x4=8•••••AMCNr故答案为
8.【点睛】本题考查线段的中点，掌握线段之间的关系是解题的关键..如图，M是线段4的中点，N是线段3的中点.1如果AC=8cmBC=6cm求MTV的长.2如果AM=5cmC7V=2cm求线段4的长.AMCNB【答案】17cm214cm.【分析】1根据中点的定义可求MCNC再相加即可求解；2根据中点的定义可求ACBC再相加即可求解.【详解】解:1如图MC=8+2=4cmNC=6-2=3cmMN=MC+NC=4+3=7cm.答MN的长是7cm.2AC=5x2=10cmBC=2x2=4cmAB=AC+BC=10+4=14cm.答线段AB的长是14cm.【点睛】本题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握，对中点定义的应用是解答本题的关键.
7.如图，已知点4民在同一直线上，〃N分别是AC3c的中点.AMBN~~C1若A3=20BC=8求MN的长；^AB=aBC=S求跖V的长；3若AB=〃3C=b求MN的长；4从123的结果中能得到什么结论？【答案】11；2:〃；3工Q；4线段MN的长度等于线段的一半，与B点的22位置无关.【分析】1先求解AC再利用中点的含义求解MCNC再利用线段的差可得答案；2先利用含的代数式AC再利用中点的含义，用含的代数式“CNC再利用线段的差可得答案；3先利用含〃力的代数式AC再利用中点的含义，用含〃*的代数式CNC再利用线段的差可得答案；4由123总结出结论即可.【详解】解1AB=20BC=SMN分别是AC3C的中点，・・・AB^BC=AC=2SMC=-AC=14NC=-BC=^
22.\MN=MC-NC=\4-4=}
0.AB=a.BC=S9MN分别是AC3C的中点，・・.AB+BC=AC=a+^MC=-AC=-a^^NC=-BC=^222・・.MN=MC-NC=La+4-4=La.22AB=aBC=b”N分别是ACBC的中点，・・.AB+BC=AC=a+b.MC=-AC=-a+-bNC=-BC=-b22222:.MN=MC-NC=-a+-b--b=-a.22224由123的结果中可得线段MN的长度等于线段AB的一半，与3点的位置无关.【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握利用线段的中点及线段的和差关系求解线段的长度是解题的关键.【提高测试】
1.点AB在同一条直线上，AB=6cmBC=2cm〃为A3中点，N为8C中点则MN的长度为（）A.2cmB.4cmC.2cm或4cmD.不能确定【答案】C【分析】分点C在直线AB上和直线AB的延长线上两种情况，分别利用线段中点的定义和线段的和差解答即可.【详解】解
①当点C在直线AB上时团加为A5中点，N为BC中点、0AM=BM=^AB=3BN=CN=^-BC=10MN=BM-BN=3-1=2;
②当点C在直线AB延长上时团”为A5中点，N为BC中点、0AM=BM=^-AB=3BN=CN=^BC=113MN=BM+BN=3+1=4综上，MN的长度为2cm或4cm.故答案为C.【点睛】本题主要考查了线段中点的定义以及线段的和差运算，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键.
2.（易错）（202四川绵阳・七年级期末）已知线段AB=10cm点C是直线AB上一点，BC=4cm若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可.【详解】解根据题意画图如下MCNB=10cmBC=4cmM是AC的中点，N是BC的中点^MN=MC^-CN=-AC+-BC=-AB=5cm；222AMBn^AB=10cm.BC=4cmM是AC的中点，N是BC的中点，^\MN=MC-CN=-AC--BC=-AB=5cm.222故选D.【点睛】本题考查的知识点是与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解此题的关键.
3.如图，在数轴上有AB两点（点5在点A的右边），点C是数轴上不与A5两点重合的一个动点，点/、N分别是线段ACBC的中点，如果点A表示数a点B表示数求线段MN的长度.下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（）甲说若点C在线段A3上运动时，线段的长度为:S-〃）；乙说若点C在射线上运动时，线段的长度为;5-）；丙说若点在射线84上运动时，线段MN的长度为:（+
0.••AABA.只有甲正确B.只有乙正确C.只有丙正确D.三人均不正确【答案】A【分析】分别求得点C在线段4B上运动时，点在射线AB上运动时和点在射线刚上运动时，线段的长度，判定即可.【详解】解点C在线段上运动时，如下图AMCNB・•・・••甲说法正确；当点在射线45上运动时，如下图AMBNC・••••MN=-AC--BC=-AB=-（b-a）2222乙说法不正确；当点在射线区4上运动时，如下图CMANBMN=-BC--AC=-AB=-b-a2222丙说法不正确故选A【点睛】此题考查了数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点的位置进行分类讨论分别求解.
34.如图，已知A、B、C三点在同一直线上，A3=24cmBC=-ABE是AC的中点，O是AB的中点，则E的长.A1111ICDEB【答案】
4.5cm【分析】根据中点的定义求出AD根据已知可求BC=9进一步由AC=AB+BC求得AC再根据中点的定义求得AE再根据DE二AE-AD即可求解.【详解】［2AB=24cmD是AB中点，0AD=yAB=12cm30BC=-^ABo0BC=9AC=AB+BC=33cm配是AC中点330AE=-AC=—cm2330DE=AE-AD=—-12=
4.5cm2HDE=
4.5cm.【点睛】本题考查两点间距离，线段中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
5.如图，C为线段A3上的两点，MN分别是线段AC的中点.1如果CQ=5cmM7V=8cm求A3的长；2如果MN=b求CD的长..M*NI【答案】1线段AB的长为11cm；22b-a.【分析】1先根据MN分别是线段ACBO的中点，可得再根据MC+CZ+QN=MN=8cm可得MC+DN=8-5=3cm进而可得:AC+5O=2A/C+2£W=2x3=6cm所以A5=AC+CQ+5O=AC+3£+C£=6+5=llcm2根据MN分别是线段ACBD的中点，可得CM=AM=；ACBN=DN=；BD再根据AM+BN=MC+DN=AB-MN可得MC+DN=a-b进而可得:C=MN-QMC+DN=b-a-b=2b-a.【详解】1MN分别是线段AC的中点，^MC=-ACfDN^-BDf^MC+CD+DN=MN=8cm^\MC+DN=8-5=3cmz^AC+BD=2MC+2DN=2x3=6cm^AB=AC+CD+BD=AC+BD+CD=6+5=11cm即线段A8的长为11cm2MN分别是线段AC5的中点，^\CM=AM=-ACBN=DN=-BD^AM+BN=MC+DN=AB-MN^\MC+DN=a-b^CD=MN-MC+DN=b一a-h=2b-a.【点睛】本题主要考查线段的中点性质和线段和差关系解决本题的关键是要熟练掌握线段中点性质，根据线段和差关系进行求解.
6.课间休息时小明拿着两根木棒玩，小华看到后要小明给他玩，小明说〃较短木棒AB长40cm较长木棒CD长60cm将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E和点F则点E和点F间的距离是多少？你说对了我就给你玩〃聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E和F间的距离是多少？【答案】50cm或10cm.【分析】根据中点定义求出BE、3尸的长度，然后分
①A3在CQ的左侧且点B和点重合时，EF=BE+BF
②当A3在上且点8和点重合时，EF=BF-BE分别代入数据进行计算即可得解.【详解】回点E是A8的中点，0BE=^AB=^x4O=2Ocm.22团点方是CO的中点或点尸是8D的中点。
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