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第二章随机过程分析学习指导要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程,它不能用确切的时间函数描述可从两种不同角度理解对应不同随机试验结果的时间过程的集合,随机过程是随机变量概念的延伸.随机过程的分布函数和概率密度函数如果久是一个随机过程,那么其在时刻外取值
(九)是一个随机变量式用小于或等于某一数值xi的概率为P[
(九)<xi]^随机过程的一维分布函数为Fi(x)Zi)二口氢力)<xi](2-1)如果Fi(x19A)的偏导数存在,那么久的一维概率密度函数为对于任意时刻ti和亥,把式A)<xi和式,2)<%2同时成立的概率称为随机过程如)的二维分布函数如果存在,那么称力⑶X2;小编为随机过程虱,)的二维概率密度函数对于任意时刻九,亥,・・.,G,把£(%%2,,4;G%,,n)=P{44)<玉,却2)<々,)44}(2-5)称为随机过程鼠的〃维分布函数如果存在,那么称为⑶应…居;小打,…,G)为随机过程式的n维概率密度函数.随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数随机过程釜)在任意给定时刻,的取值式是一个随机变量,其均值为其中,/1(%)为J⑺的概率密度函数随机过程式的均值是时间确实定函数,记作⑺,它表示随机过程如)的〃个样本函数曲线的摆动中心随机过程氧的方差的定义如下随机过程基的方差常记作『⑺随机过程J⑺的方差的另一个常用的公式为也就是说,方差等于均方值与均值平方之差,它表示随机过程在时刻对于均值⑺的偏离程度随机过程禁的相关函数的定义如下式中,式⑴和式切分别是在和亥时刻观测得到的随机变量RQi亥)是两个变量和攵确实定函数随机过程差)的相关函数表示在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度随机过程自⑺的协方差函数的定义如下式中〃
(6)、4(亥)分别是在力和尬时刻得到的禁的均值;方⑶12;九2)是氧的二维概率密度函数B(th亥)与亥)之间有如下关系式:假设a(/i)=〃2)=0,那么B(t\力)=R(t\.亥)随机过程J⑺和〃S的互相关函数的定义如下.平稳过程及其性质平稳过程包括严平稳过程〔强平稳过程或狭义平稳过程)和广义平稳过程如果随机过程J⑺的任意有限维分布函数与时间起点无关,也就是说,对于任意的正整数〃和所有实数4有那么称该随机过程是严格意义下的平稳随机过程,简称严平稳随机过程严平稳随机过程的一维分布函数和均值都与时间无关,二维分布函数和自相关函数都只与时间间隔有关把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅均值与时间无关和自相关函数只与时间间隔有关的随机过程定义为广义平稳随机过程严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)因此,在求解各种统计平均时,无需无限屡次的样本,只要获得一次考察,用一次实现的“时间平均〃值代替平稳随机过程的“统计平均〃值即可,从而使测量和计算大为简化平稳过程的)的功率谱密度与其自相关函数是一付立叶变换对据此,可以得到两条结论平稳过程夕)的功率等于其自相关函数在零点的取值R
(0);各态历经过程任一样本函数的功率谱密度等于平稳过程的功率谱密度.高斯过程高斯过程又被称为正态随机过程如果随机过程和)的任意〃维5=12…〕分布均服从正态分布,那么称它为正态过程或高斯过程,其〃维正态概率密度函数表示式为其中,数学期望二仇式4)];方差/k=£以4)-]2;归一化协方差矩阵行列式如果高斯过程在不同时刻不相关,那么它们也是统计独立的高斯过程经过线性系统后,其系统输出也是高斯过程.窄带随机过程如果随机过程J⑺的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围力内,即满足4f4的条件,且人远离零频率,那么称其为窄带随机过程随机过程1)可以表示为其中,在⑺为随机包络;然⑺为随机相位;公为中心角频率显然,在⑺和化⑺的变化相对于载波产生的相移(公的变化要缓慢得多将窄带随机过程表示式展开为其中乙⑺二七⑺cos皿⑺];乙⑺二优⑺sin皿⑺⑺和(分别被称为同相分量和正交分量窄带随机过程氧的统计特性可以由在⑺和假⑺或乙⑺和和)的统计特性确定假设如)的统计特性,那么在⑺和矮⑺或品⑺和参⑺的统计特性也随之确定由于久平稳且均值为零,故对于任意的时间3都有£片(3=0所以假设窄带过程J⑺是平稳的,那么短⑺和蓝⑺也是平稳的平稳窄带随机过程双的自相关函数可以表示为一个均值为零的窄带平稳高斯过程式,它的同相分量蓝⑺和正交分量J)同样是平稳高斯过程,而且均值为零,方差也一样此外,在同一时刻上得到的品⑺与其是统计独立的优服从瑞利(Rayleigh)分布经服从均匀分布.高斯白噪声和带限白噪声电子系统中常见的热噪声近似为白噪声,白噪声的幅值服从高斯分布因此,在通信系统中,常用高斯白噪声作为信道中的噪声模型白噪声通过一个有限带宽的信道或滤波器后,输出噪声的带宽就是有限的,如果其频谱在信道或滤波器的通带内仍具有白色特性,那么称其为带限白噪声白噪声〃⑺的功率谱密度在所有频率上均为常数,即或者其中,为正常数式2-20是白噪声〃⑺的双边功率谱密度,式2-21是其单边功率谱密度白噪声〃⑺的自相关函数为上式说明,白噪声仅在了=时才相关,而在任何两个不同时刻的随机变量都是不相关的如果白噪声幅值的概率分布服从高斯分布,那么称之为高斯白噪声高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间,不仅是互不相关的,而且还是统计独立的带限白噪声一般包括低通白噪声和带通白噪声如果白噪声通过理想低通滤波器或理想低通信道时,那么其输出的噪声被称为低通白噪声;如果白噪声通过理想带通滤波器或理想带通信道时,那么其输出的噪声被称为带通白噪声难点随机过程分析的难点主要包括平稳随机过程通过线性系统后的分布函数、概率密度函数和数字特征设平稳随机过程J⑺的均值、自相关函数和功率谱密度分别为〃i、R⑺和系统单位冲激响应和传输函数分别为〃⑺和Hfo输出随机过程乙⑺的均值为式中,”0是线性系统H⑴在f=0处的频率响应由此可见,输出过程的均值是一个常数输出随机过程的自相关函数为上式说明,随机过程蕊⑺的自相关函数仅是时间间隔「的函数综合上面两点,假设线性系统的输入是平稳的,那么输出也是平稳的输出随机过程乙⑺的功率谱密度为由上是式可见,输出随机过程1⑺的功率谱密度等于输入随机过程自⑺的功率谱密度乘以系统传输函数模值的平方随机过程⑺可以表示为当自⑺是高斯分布的时,占1乙以乙是一个高斯随机变量,而无限个高斯随机变量的叠加也是一个高斯分布的因此,随机过程1⑺呈高斯分布习题详解2-1设随机过程{X=Acos®+Bcoscor-oo/oo为常数,A、B为互相独立的随机变量,且EA=EB=0DA=DB=o2试判断Xt是否为平稳过程解E[Xt]=矶A]cosa+E[司sin〃》=0因此,XQ的均值与时间无关,自相关函数只与时间间隔有关,它是平稳过程2-2离散白噪声=其中,是X〃是两两不相关的随机变量,且E[X〃]=0D[X〃]=2试求X〃的功率谱密度解X〃的自相关函数为X〃的功率谱密度为2-3零均值平稳随机过程{XQ-oo«voo}的功率谱密度为试求其自相关函数、方差和平均功率解由于/-2=e一咖,因此,自相关函数为co+a_方差为r[XZ]=R0-E2[X0]=70=7/24o平均功率为2-4电路图如图题2-4所示如果输入平稳过程{Xt-8q8}的均值根x为零,自相关函数为«=e一附,0〉心0羊工试求输出过程{丫⑺-8«voo}的均值〃自相关RC函数以、功率谱密度Sy0解由电路分析的知识可得两边取付立叶变换,得到此系统的传输函数为此系统的脉冲响应函数为输出过程的均值为输出过程的功率谱密度为输出过程的自相关函数为2-5高斯随机变量X的均值为0方差为1试求随机变量Y=6X+5的概率密度;0解高斯随机变量通过线性变换后仍然是高斯随机变量,y也是高斯随机变量随机变量y的均值为随机变量y的方差为随机变量y的概率密度为2-6随机过程X«=5sinm+e其中,是随机变量概率P柒0=02P0=
0.5n=
0.8试求随机变量X2的均值,随机过程XQ的自相关函数7式01解随机变量X2的均值为随机过程X⑺的自相关函数1为2-7随机过程X⑺=X]sing-X2C0S3,其中,X和X2都是均值为0方差为『的彼此独立的高斯随机变量,试求随机过程X⑺的均值、方差、一维概率密度函数和自相关函数解随机过程X⑺的均值为随机过程X⑺的方差为随机过程X⑺的自相关函数为其中,T=t2-t\o随机过程X⑺的一维概率密度函数为2-8平稳随机过程X⑺和y⑺的均值分别为数和自相关函数分别为7和Ryt且它们彼此独立随机过程Z1Q=X0+y⑺和z2o=x«y⑺的解随机过程Z]⑺的自相关函数为随机过程Z2⑺的自相关函数为2-9随机过程X/=o⑺cos3o/+e其中,随机变量在02兀上服从均匀分布,是⑺广义平稳过程,且其自相关函数为⑺与统计独立试求随机过程X⑺的自相关函数、功率谱密度和平均功率,并判断其是否为广义平稳过程解随机过程X⑺的均值为随机过程X⑺的自相关函数为其中,T=t2-t\o由此可见,随机过程XQ的自相关函数只与时间间隔有关,均值函数与时间无关,是广义平稳过程随机过程X⑺的功率谱密度为随机过程X⑺的平均功率为2-10随机过程X⑺的均值为0自相关函数为⑺,它通过一个如图题2-10所示的系统后的输出为随机过程r0o试求随机过程y⑺的自相关函数和功率谱密度解由题意可得因此,系统的传输函数为随机过程y⑺的功率谱密度为随机过程y⑺的自相关函数为2-11理想带通滤波器的中心频率为人,带宽为B幅度为1如图题2-11所示输入此滤波器的高斯白噪声的均值为0单边功率谱密度为小试求滤波器输出噪声的自相关函数、平均功率和一维概率密度函数解输出噪声的双边功率谱密度为输出噪声的自相关函数为输出噪声的平均功率为输出噪声仍然是高斯过程,其均值和方差分别为输出噪声的一维概率密度函数为2-12功率谱密度为Px⑺的平稳过程X⑺通过图题2-12所示的系统试求输出随机过程y⑺的功率谱密度,并判断其是否平稳解这是一个线性系统,所以,随机过程丫⑺也是一个平稳过程系统传输函数为随机过程丫⑺的功率谱密度为2-13平稳随机过程X1⑺和X2⑺的均值都为0且互不相关,他们分别通过一个线性时不变系统后的输出分别为H⑺和匕⑺试判断匕⑺与丫2⑺是否互不相关解由于因此所以,匕⑺与丫2⑺是互不相关的。