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第八章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第一课时最值、范围、证明问题课时规范练
1.
2020.广东佛山二模已知4—小，0仅小，
0.直线AM相交于点且它们的斜率之积是一:⑴求点M的轨迹〃的方程；⑵过点A的直线与轨迹广交于点Q与y轴交于点C过Tl0作CT的垂线交y轴于点求证AD//BQ.解析1设〃%y则直线AM的斜率以加=1玩，直线的斜率无河=x2所以点M的轨迹厂的方程为7+y2=lyW
0.2证明设直线AQ的方程为y=4x+小1+5m/+1附3x+25F—5=0r-2厂25^—5y[51—5A2文A一邓0所以一小也=1+5标即3=]+5后，则易得0邓k直线CT的斜率r=一小左大CTLTD所以直线7D的方程为丁=点0一1令x=0得0一点1所以直线的斜率履=一二，又直线BQ的斜率Icbq=；_%=—T7所以kAD=/CBQ所以AQ〃8Q.DK
22.过双曲线±—5=1的右焦点92倾斜角为30的直线交双曲线于A8两点，为坐标原3O点，B为左焦点.⑴求|A3|；2求△A05的面积.解析1由题意得〃2=3=6=
9230.…V3直线方程为y=qX-3，由卜弓x-3得2H手x.3『=
6.以2—2=6Q即5x2+6x—27=
0.*.%=—3或x=《.|—3^3|_
3、3+
92723.（
2020.贵阳模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆，+%=1（4＞＞0）的离心率为I，过椭圆右焦点/作两条互相垂直的弦与CD当直线A3斜率为0时，\AB\=
4.⑴求椭圆的方程;⑵若IA8I+IC尸万，求直线A8的方程.c1解析
（1）由题意知e=—=52=
4.又/二/十寸，解得〃=28=小22所以椭圆方程为+《=
1.I⑵
①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|+|C£|=7不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为1AxiyBg闻，则直线CD的方程为y=K将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得3+4^2x2-8^+4^—12=08F4^—12贝”为+12=立定，W％2=不;而，所以|A5|=Ne+1|xi—%2|=7超+l・y/Xl+x22—4xiX212公+1=—3+4於—*84F+1248=3+4M3标+4=亍所以直线A3的方程为x—y—l=Q或x+y—1=
0..
2020.淄博模拟椭圆C三十卷=1〃〉0的离心率为右其左焦点到点PQ1的距离为加
5.⑴求椭圆C的标准方程；2若直线/丫=+机与椭圆C相交于AB两点4B不是左、右顶点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点.求证直线/过定点，并求出该定点的坐标.解析1因为左焦点一c0到点P21的距离为册5所以N2+为2+1=®解得c=
1.c1又e=—=5解得〃=2所以〃=q2—/=
3.X2V2所以所求椭圆C的方程为会+3=
1.I2证明［殳Axiyi3x2y2y=kx-\-my消去y得3+4Z:2x2+8m^x+4m2—3=0A—64m2启—163+4Z^m2—30化为3+4Z^m
2.—8mk4m2-3所以的+%2=讦而%2=3+43y\yi=kx\+mkx2+m=Z^xiX2+mkx\+x2+m2=因为以A3为直径的圆过椭圆右顶点20kAD-kBD=-l所以y\y2-\-x\X2~2x\+12+4=，3苏―4右4m2—316mk.A八所以3+我+3+4S+向+4=0・化为7/+16mZ+4%2=0解得mi=-2km2=—且满足3+4合一AT〉.当m=—2攵时，/:y=Zx—2直线过定点20与已知矛盾；当”=一争寸，/:尸爪一共直线过定点停，
0.
2、综上可知，直线/过定点丘，O..已知抛物线C产=2*经过点尸12过点01的直线/与抛物线有两个不同的交点AB且直线B4交y轴于直线交y轴于N.⑴求直线/的斜率的取值范围；⑵设为原点，A=XQO断=〃的，求证为定值.解析⑴因为抛物线y2=2〃x过点
（12）所以2〃=4即〃=
2.故抛物线的方程为y2=4x.由题意知，直线/的斜率存在且不为
0.设直线I的方程为y=Ax+l（攵W0）（y2=4x由々得左2/十（2左-4）x+1=
0.［），=履+1依题意/=（2左-4）2—4XRX10解得上V0或0VkVI.又弘与y轴相交，故直线/不过点（1-2）.从而k不—
3.所以直线/的斜率的取值范围是（一8-3）U（-30）U
（01）.2证明设A»yiBX2yi.由
（1）知为+12=2k—41•¥1%2=狂.直线PA的方程为y—2=rx—
1./xi—1—y।-I-2—kx1-I-]令x=0得点M的纵坐标为多=[+2=-+
2.XI—1XI—1—kjci.~~I-1同理得点N的纵坐标为yN=-+
2.Xi—1由曲QN=^Qb得2=1~yM/z=1-yN.“、，1J
1.1所以7+-=~+~a〃1—yM1—yNXL1X2-1Ck—1xik—1X212x1X2—Xl+x2k—\X\X2241k2k~11洒=
2.所以为定值.z〃。
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