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第五讲古典概型知识梳理•双基自测知识梳理知识点一基本事件的特点⑴任何两个基本事件是一互斥―的.2任何事件都可以表示成溪本事件—的和除不可能事件.知识点二古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.1有限性试验中所有可能出现的基本事件—只有有限个_.2等可能性每个基本事件出现的可能性.相笠知识点三古典概型的概率公式_4包含的基本事件的个数I基本事件的总数—回国回回任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和..求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.回回回叵题组一走出误区.判断下列结论是否正确请在括号中打“或“X””在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.X2掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.X3从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概型.X4有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为/V5从12345中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是
0.
2.V题组二走进教材同理,高中生中,阅读时间不少于30个小时的学生频率为0X10=
0.35AXI200=420人.・..该校所有学生中,阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450+420=
870.3由分层抽样知,抽取的初中生有60名,高中生有40名.记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,至少抽到1名高中生”为事件A.XX60=
3.XX40=
2.则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人所有可能的情况有《=10种,其中至少有一名高中生的情况有或一或=7种,7・•・所求概率为m=07-―一―—―一——————一一―—――一一一一一一名师讲坛•素养提升有放回抽样与无放回抽样►►■例612021・湖南长沙一中月考已知7件产品中有5件合格品,2件次品,为找出这2件次品,每次任取一件检验,检验后不放回,则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为2有10个球,其中3个白球7个红球,有人有放回地进行摸球,则其第三次才摸到白球的概率为—.I解析]1解法一考查两件次品的位置,共有C^=21种取法,因为恰好第五次取出最后一件次品,依题意另一件次品只能排234位,共有=3种取法,故概率为今相比一dc^cicU^cl1解法一P=飞=]7X7X3=014710X10X10〔变式训练4〕袋中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”,每次从中任意摸出一个小球,直到“和”、“谐”两个小球都摸到就停止摸球.
①若有放回地摸球,则恰好在第三次停止摸球的概率为一宗_;
②若无放回地摸球,则恰好在第三次停止摸球的概率为qclCRd_5cjc!+del54X4X4一五取
②尸=
132.(Pi33T3改编)袋中装有3个白球,2个黄球,1个黑球,从中任取两球,则取出的两球有黑球的概率为=两球不同色的概率为.JL[解析]记“取出两球有黑球”为事件A则P(A)=!|=^=|两球不同色的取法有题组三走向高考.(2018•新课标II)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和,如30=7+随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(C)A-nB-14cD,J1518[解析]不超过30的素数有,2357111317192329共10个,从中选2个不同的数31有Co=45种,和等于30的有
(723)
(1119)
(1317)共3种,则所求概率尸=布=9故选C..(2019•课标全国III3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(D)C.|D.3Aa2i[解析]记“两位女同学相邻”为“事件A”,则P(A)=黄=不故选D.
5.(2019•课标全国II)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(B)A2「3A-3B-5C.ID.\[解析]解法一记5只兔子分别为4BCDE其中测量过某项指标的3只兔子为ABC则从这5只兔子中,随机取出3只的基本事件有ABD9ABE9ACD9ACEADEBCDBCEBDECDE共10种,其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABDABEACD9ACE9BCDBCE共6种,所以所求事件的概率故选B.C支43解法二记“恰有2只测量过该指标”为事件A则P(A)=宣=率故选B.考点突破•互动探究考点一简单的古典概型问题——自主练透»■例1
(1)(2017•课标全国II)从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(D)A工B110口5-3「2CU)D5
(2)(
2021.四川攀枝花统考)有编号分别为1234的4个红球和4个黑球,随机取出3个则取出的球的编号互不相同的概率是(A)A.yB.1C.yD.y
(3)(2019・全国I6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(A)A-16B-32C区DnJ3216
(4)(2021•湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(C)A工B1a.606
(5)(
2021.安徽合肥质检)在新冠肺炎疫情联防联控期间,某居委会从辖区内ABC三个小区志愿者中各选取2人,随机安排到这三个小区,协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人,则每位志愿者不安排在自己居住小区,且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为(C)2有编号分别为1234的4个红球和4个黑球,随机取出3个,基本事件总数〃==56取出的编号互不相同包含的基本事件个数m=caaa=32或加=笔口=32则取m324出的编号互不相同的概率是尸喘=养=会故选A.3重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的20重卦共有26=64种,重卦中恰有3个“阳爻”的共有C2XC=2O种.故所求概率=含=亮故选A.4解法一当“数”位于第一位时,礼和乐相邻有4种情况,礼和乐顺序有2种,其他剩下的有AW种情况,由间接法得到满足条件的情况有Ag—当“数”在第二位时,礼和乐相邻有3种情况,礼和乐顺序有2种,其它剩下的有AT种,由间接法得到满足条件的情况有A^-CU^共有用一共AlA^+Ag—C[A3A环中情况不考虑限制因素,总数有Ag种故满足条件的事件的概率为:7一GA3A+Ag—ClM!3AR-60解法二当“数”位于第一位时,有A认彳种;当数”位于第二位时,有C1A才+C$M5从辖区内AB三个小区志愿者中各选取2人,随机安排到这三个小区,每个小每位志愿者不安排在自己居住小区,且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为m=dCiClCiC|C|=8S4则所求概率为=命=太,选C.zzU4-J、7[引申]本例4中,1“必须分开”改为“相邻”则概率为_京_32“必须分开”改为“不和数相邻”的概率为一方4U[解析]1P=Qp=名师克彼求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法,具体应用时可根据需要灵活选择.〔变式训练1〕12021•河南郑州名校调研甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相,则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为A
22021.广东百校联考十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相.现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位3同学抽取的礼物都喜欢的概率是一总OO[解析]1;甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相,基本事件总数〃=Aa=24甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数w=A4—A执3=20・・・甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为⑵依题意可分类为
①甲同学选马则有CjCj=18种,
②甲同学选牛,则有CgCj=27种.所有情况有A%种,则这三位同学选取的礼物都满意的概率尸=悬=*.考点二较复杂的古典概型问题——多维探究角度1古典概型与平面向量的交汇►►■例2把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m第二次出现的点数为力向量p=机,〃,0=2/,则向量p〃g的概率为Ba.tB-nc-o-J9°,6[解析]—向量p〃q・••加-2〃=0・・・加=2〃满足条件的加,〃有3个214263又基本事件的总数为36=1=故选B.角度2古典概型与解析几何的交汇2►►■例
32021.甘肃兰州模拟双曲线C/一5=1>0历>0其中£{1234}h£{1234}且qb取到其中每个数都是等可能的,则直线/y=x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为BA1B3A・48C.D.fZob[解析]直线/y=x与双曲线C的左、右支各有一个交点,则/l基本事件总数为4X4=16满足条件的/的情况有121314232434共6个或CJ+G+C]=6个故概率为、O角度3古典概型与函数的交汇列42021・吉林省实验中学月考已知函数/工=*3+4%2+〃工+1若,是从123三个数中任取的一个数,〃是从012三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为DA.B.1C.1D.t[解析]求导得/x=f+2以+反,要满足题意需f+Zac+/nO有两个不等实根,即/=4容一分2>0即h也又mb的取法共有3X3=9种其中满足泌的有1020A921303132共6种,故所求的概率为尸=§=
1.名师克彼较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.〔变式训练2〕
(1)(角度1)设平面向量=(肛1)b=Qn)9其中加,ne{1234}记%_!_(〃一b)”为事件A则事件A发生的概率为(A)A1B1A84C.|D.;
(2)(角度2)(
2020.河北七校联考)若m是集合{1357911}中任意选取的一个元素,则椭圆5+皆=1的焦距为整数的概率为3—.
(3)(角度3)(2020・四川威远中学月考)若〃,—{—1012}则函数於)=〃f+2x+人有零点的概率为(A)D.[解析]
(1)gJ_(〃一力)台〃・(〃一万)=00加2—2加一〃+1=0即〃=(/%—1尸,又加、〃£{1234}〃)共有16个,而事件A仅包括
(21)
(34)2个,21・・尸
(4)~$=R,故选A.
(2)由题意知椭圆的焦距2c=2\/三一2或2c=
2、2—m/.m-l3lh31,所求概率P=d=].
(3)〃3£{—1012},3)的取法有16种,函数y=/(x)有零点即4—4M20由表知符合条件的m切有13种13,所求概率为讳,故选A.考点三古典概率与统计的综合——师生共研»■例5
(1)(2013•陕西)对一批产品的长度(单位毫米)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[2025)上为一等品,在区间[1520)和[2530)上为二等品,在区间口0/5)和[3035]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是(D)C.D.
(2)(2021•河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内4BC三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估,考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位,现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位,其考评分数如下A类行业858277788387;3类行业:766780857981;C类行业:
8789768675849082.
①计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数;
②若从抽取的A类行业这6个单位中,再随机选取3个单位进行某项调查,求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率.[解析]
(1)由频率分布直方图的性质可知,样本数据在区间[2530)上的频率为1—5X()X5=
0.45故任取1件为二等品的概率为
0.
45.
(2)
①由题意,得抽取的ABC三类行业单位个数之比为
334.由分层抽样的定义,有3A类行业的单位个数为mX200=603B类行业的单位个数为布义200=604C类行业的单位个数为mX200=80故该城区ABC三类行业中每类行业的单位个数分别为
606080.
②记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位为事件又A类行业的6个单位中有4个“量级”单位,记2个“非量级”单位或P⑼=1—P而=1一名师克被有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型,已成为高考考查的热点,概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,即可解决此类问题.〔变式训练3〕202y衡水中学模拟某中学有初中生1800人,高中生1200人,为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间然后按“初中生”和“高中生”分为两组,再将每组学生的阅读时间单位小时分为5组:[010[1020[2030[3040
[4050]并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.⑴写出的值;⑵试估计该校所有学生中,阅读时间不少于30个小时的学生人数;⑶从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人,求至少抽到1名高中生的概[解析]1由题意得4义2=
0.
03.
2.・初中生中,阅读时间不少于30个小时的学生频率为X10=
0.
25./.XI800=450人.baba-1012—110—1-2000001—10122-2024。