新高考一轮复习人教A版1.5　基本不等式学案

1.5基本不等式课程标准有的放矢掌握基本不等式标W坐（小力20）.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问【教材梳理】1基本不等式如果AOb0那么也过号，当且仅当=〃时，等号成立.该式叫基本不等式，其中，号叫做正数，〃的算术平均数，迎叫做正数，〃的几何平均数.基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2几个重要不等式

3.基本不等式求最值⑴设X），为正数，若积X），等于定值P那么当工=），时，和工+），有最小值2螃（简记为积定和最小）.

（2）设x1y为正数，若和x+），等于定值S那么当x=y时，积盯有最大值:S（简记为和定积最大）.【常用结论】

4.常用推论（i）m+z）2w2（/+〃2）.

（2）/+/+c22ab+be+ac.

（3）|2ab|Wi+Z2—（a2+从）WlabW/+〃.2一/—r_a+Z一/♦+及

（4）-j~~-2-（6^0）.a+b即有正数”的调和平均数W几何平均数W算术平均数W平方平均数.5三元均值不等式疗+护+/、22abc.以上两个不等式中小bc£R当且仅当a=h=c时等号成立.6二维形式柯西不等式若abcd都是实数，则32+房“2+，2a.+/7t/2当且仅当，以=

6.时，等号成立.‘郸判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“J”，错误的画“X”.I«b£Ra+b2^4ab.2020b20则a2-\-b2^2y[ab.3函数y=x+=的最小值是

2.人4函数y=cosx+S;x£0劣的最小值等于

4.“Q

0.且0”是个+“22”的充分不必要条件.解⑴J;⑵X；⑶X；4X；⑸J.❷教材改编已知a，〃仁01且aWb下列各式中最大的是A.cr-\~trB.ly/abC.2abD.a~\~b解因为ab£01所以/〈ab2bay[aby[b所以aby[ab当aWb时，由均值不等式可知所以a+62，^由上可知，a+b2y[ab2aba-\~bcr+lr所以四个式子中”十〃最大.故选D.❸教材习题改编设Q0则3—3x-的最大值是人B.3-272D.3—2小3X+:卜3—2y7^=3—2但当且仅当3x=1即尸坐时等号成立.故选D.@教材改编）点（，〃，〃）是一次函数），=1一%图象上一动点，则2，”+2〃的最小值是.解由题意可知m+〃=l又因为2”02〃0所以2+22242‘・2=2镜祈=2也当且仅当2三2即机=〃=5寸等号成立.所以2+2的最小值是2巾.故填考点一利用基本不等式求最值命题角度1直接求最值己知〃0/0且4a+b=l则取的最大值为解法一因为a0/04a+Z=l所以l=4a+b22币元=中耗当且仅当44=/=3即=（，时，等号成立.所以，^得，abWj*则时的最大值为七.解法二因为4〃+人=1所以ab=^•4a・反娶驾=上当且仅当4a=b=^即a=|时等号成立，所以的最大值为上故填点【点拨】在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项（必要时，还要考虑常数项）必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.（E^l（2022河北武强中学高三月考）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值为（）A.16B.18C.20D.不能确定解设直角三角形的两直角边为ah面积为S则a+b=12当且仅当〃==6时，等号成立.故选B.命题角度2配凑法求最值A.2+小D.2建解当Q2时，府）=x+^^=x-2+2（J_2）+22勺G-2）•/壮才+2=6+2当且仅当X—2=0（vL9）»即工=2+平时取等号，所以«r）的最小值为2+#.故选A.⑵已知eOb0则与+言幕的最小值为.+3=—2+3=

1.当且仅当5—以=己Q，即x=l时，等号成立.故选B.

（2）（2020年辽宁六校高一月考）若0x|则_y=x回一城的最大值为解因为KiJ所以y=xyJI—1—4f=知4$I—

4.dW.X4+；~~—=^.当且仅当4f=l一©2即彳=乎时取等号.则=八/1—4『的最大值为故选C.⑶函数尸Hxl的最小值为.41/1n.X2—2x+1+2x—2+

33、3解当x1时，y==■]=x-1+_]+222y/3+

2.当且仅当x-1—.X

1.X1Xi即尸小+1时，等号成立.故填2书+

2.命题角度3常数代换求最值⑴（2020届山东滨州高三9月期初考试）已知〃0〃0且2〃+〃=加则2a+b的最小值为解因为〃0/20由24+0=4靖+:=1故2〃+方=24+力信+!=4+与+如4+4=

8.当且仅当华=，，即》=2=4时等号成立.另解因为a0b0所以ab=2a+b2R^解得必28当且仅当2a=Z时等号成立.故填

8.2已知奇函数ZU是定义在R上的单调函数，若正实数4〃满足2幻+五-4=0则此小值是A-3B-3C.2D.4解因为420+见-4=0所以—4因为奇函数yx是定义在R上的单调函数所以/2a=—fib—4=fi4—bf所以2〃=4-5即2+〃=4所以23+1+匕=6所以专+齐杷伍+1+”］岛+力14=X4+4=当且仅当不£［=4，即〃=；〃=3时取等号，【点拨】在求最值中，如果两个代数式中一个是整式纨+勿，另一个是分式则常凑出可以使八y用基本不等式的形式片十一:，多数情况下，让两个代数式相乘.A.2BC.小D.2啦解因为直线/过点（一12）所以-4—20+2=0即2=1所以］+L+£）x2=；（4+当且仅当=*即4=2时取等号.此时直线/的斜率月=

2.故选A.

（2）（2021屈苏州高三期初调研）设a0b0且2+8=I则5+A.的最小值为4B.的最小值为2■+1C.的最小值为与D.无最小值=小一18=3—2啦时等号成立.故选B.命题角度4换元法求最值A.IC.3D.4解:原式可化为（x+y）2=l+3冷Wl+3（浮J令尸x+y得3+12尸，解得一24W2所以x+.y的最大值为2当且仅当x=y=l时等号成立.故选B.【点拨】已知条件中含f+产，x+），混合结构的常可通过换元法用基本不等式求最值，一般“求谁设谁，再建立不等式求解.设xy均为正实数，且孙=8+x+y则xy的最小值为.解因为xy均为正实数，所以孙=8+工+），28+2^（当且仅当x=），时等号成立），令得Z2—2/—820解得/24即孙216故xy的最小值为

16.故填

16.命题角度5消元法求最值（2020江苏卷）已知5/尸+），4=1（心y£R）则1+）2的最小值是.1-y4因为5j22+y4=1所以$且因=53当且仅当白=与，即/=余，9=）时取等号.所以『+）2的最小值为点故填J）JIU4J0【点拨】消元法即根据条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值问题求解.若被消去的元带有范围，则这个范围常由主元确定.已知心0）0满足f+2A y=1则Zt+y的最小值为解由条件得），=/一宗则2r+），==+当2小.当且仅当工=），=当时取等号.故填小命题角度6多次运用基本不等式求最值1（2021天津卷）已知0比0则5+/+的最小值为解5+翁+力

22、^/+〃=/心2隹当且仅当“=/且=会即=/=啦时取等号.故填2也【点拨】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，为了达到求最值的目的，需多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件应是相同的.解因为必＞0所以〃+*+।=曳*[=4ab+£2244aA・*=4当且仅当考点二利用基本不等式求参数（）A.[2+8）C.[6+8）解由题意得/+/+毫=皇+毫22dpz^=存，当且仅当+〃=历时取等号.因此，而24628结合ab=l可知a+〃

22.因此正实数〃？的取值范围是[8+8）.故选D.【点拨】基本不等式的综合应用，主要体现在恒成立问题中的求参数范围及与其他知识的交汇.实数的取值集合为A.[I4]B.04C.041D.l414r—1Q解由题意可得一.J+:对任意x2恒成立由〃0x—20C/JiNCc一.4（A—2）1j/4（A—2）14“「何一%一十工工二飞一%一.三二万，当且仅当4（二2）=±即x=2+当时取等号aAz乙84则4-不不，解得0＜aW

4.故选C.考点三利用基本不等式解决实际问题（2021江苏南京市第二十九中学高一月考）某建筑队在一块矩形地块4MPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABC的学生公寓，要求定点C在地块的对角线MN上，B分别在边AM4N上.

（1）若4M=30mAN=20m求/W和A分别为多少米时矩形学生公寓A4CO的面积最大？最大值是多少平方米

（2）若矩形4MPN的面积为600问学生公寓A8C的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.（工+上）2则xv=600X扑走W600X3020=150\1J当且仅当苏=去，即x=15y=10时取等号则A8=15mAQ=10m时，矩形学生公寓48CQ面积最大，最大值为150m⑵由⑴可得就+*=］，则1K焉赤又4M力％=600则x）W150当且仅当忘=京，即I=竽，〉=当时取等号则学生公寓A8CO的面积有最大值150nr.【点拨】应用题重在审题，准确理解题意，问题就解决了一小半.随着新高考对应用的加强，考生应强化信息提取能力训练.（2021河北张家口高一期末）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形（图中空白部分）种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400nr.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9〃，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2m求整个绿化面枳的最小值.解1设草坪的宽为xm长为，m由面积均为400m2得=也2X因为矩形草坪的长比宽至少大9m所以幽2x+9所以f+9x-400W0解得一25WxWl6A又x0所以0aW

16.所以草坪宽的最大值为16m.2记整个绿化面积为SnR由题意可得S=2x+6G，+4=2r+6平+4=824+8x+*2824+160V5m2当且仅当x=lh/5时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为824+l6S2m

2.重要不等式使用前提等号成立条件a2+b2^2abah^Ra=bb.一+722ab-ab0a=bb.a.cab0a=b曲w（安）-a力£Ra=b哨w华4Ra=b。